Vorkurs Mathematik

(1)

Swanhild Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al

Fakultät für Mathematik und Informatik

Vorkurs Mathematik

5. – 9.10.2015

1 Zahlbereiche

Natürliche Zahlen

Der grundlegende Zahlenbereich ist die Menge der natürlichen Zahlen

N

= {1, 2, 3, . . .}.

In vielen Fällen ist es sinnvoll die Zahl 0 mit einzubeziehen:

N0

=

N

∪ {0} = {0, 1, 2, . . .}.

Vorkurs 2015 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al

Vorkurs Mathematik Fakultät 1

TU Bergakademie Freiberg 1

Ganze Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen ist

Z

= {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.

Die natürlichen Zahlen sind eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen.

(2)

Rationale Zahlen

Brüche aus ganzen und natürlichen Zahlen (ungleich Null) bilden die rationalen Zahlen

Q

=

n

m

n : m ∈

Z

, n ∈

No

.

Rationale Zahlen lassen sich als endliche Dezimalzahlen oder unendliche periodische Dezimalzahlen darstellen.

Beispiele:

1 2 = 0.5; 633

25 = 25.32; 1

3 = 0.3333 . . . = 0.3;

14 44 = 0.3181818 . . . = 0.318; 73 18 = 4.05.

Was versteht man unter Erweitern und Kürzen von Brüchen? Wird der Wert eines Bruches dabei geändert oder beibehalten?

Wiederholen Sie an selbstgewählten Beispielen, wie man Brüche addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert. Formulieren Sie jeweils eine entsprechende Gesetzmäßigkeit mit Hilfe von Variablen.

Ganz allgemein gefragt: Wozu braucht man in der Mathematik und in den Natur-/Ingenieur- bzw. Wirtschaftswissenschaften Variablen?

Irrationale Zahlen

Irrationale Zahlen sind nicht periodische, unendliche Dezimalzahlen.

√ 2 ist eine irrationale Zahl.

Beispiele:

√ 2 = 1.14142 . . . ; π = 3.14159 . . . ; e = 2.71828 . . .

Reelle Zahlen

Die Menge der rationalen Zahlen

Q

und die Menge aller irrationalen Zahlen bilden die Menge der reellen Zahlen

R

.

Bei allen bisherigen Beispielen handelt es sich also um reelle Zahlen.

S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Fakultät 1

(3)

Zur Visualisierung reeller Zahlen benutzt man oft den Zahlenstrahl.

Markieren Sie auf diesem die Zahlen − 2, − 0.5, 0,

²₃

,

³₂

, √ 2, √

3 und π.

Ein Beweis der Irrationalität von √

2 findet sich bereits in Euklids Elementen aus dem 3. oder 4. Jh. v. Chr. – bis zur 2. Hälfte des 19. Jh.

das nach der Bibel weitverbreitetste Buch der Weltliteratur.

Erarbeiten Sie sich Euklids Beweisidee anhand geeigneter Quellen.

2 Lineare Gleichungen

Einer der einfachsten Gleichungstypen ist die lineare Gleichung ax = b

Dabei sind a, b ∈

R

gegeben und x ∈

R

gesucht.

Im Fall a 6= 0 ist die eindeutige Lösung gegeben durch x = b

a .

Wie verhält es sich mit der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen im Fall a = 0?

Finden Sie Argumente, weshalb die Division durch Null

nicht

sinnvoll definiert werden kann.

3 Binomische Formeln und quadratische Gleichung

Erste binomische Formel

(a + b)

²

= a

²

+ 2ab + b

²

Statt eines Beweises verdeutlichen wir die Aussage geometrisch:

(4)

Zweite binomische Formel

(a − b)

²

= a

²

− 2ab + b

²

(a − b)

²

+ b

²

+ 2(ab − b

²

) = a

²

⇐⇒ (a − b)

²

+ 2ab − b

²

= a

²

⇐⇒ (a − b)

²

= a

²

− 2ab + b

²

Dritte binomische Formel

(a + b)(a − b) = a

²

− b

²

Versuchen Sie sich nun an einem Beweis, d. h. multiplizieren Sie aus.

Hausaufgabe: Finden Sie eine geometrische Visualierung der dritten binomischen Formel. Beginnen Sie mit einem Rechteck mit Seitenlängen a und a + b.

Die quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax

²

+ bx + c = 0, mit a, b, c ∈

R

, a 6 = 0.

Dividiert man beide Seiten durch a erhält man die Normalform x

²

+ px + q = 0,

wobei p =

^b_a

und q =

_a^c

zu setzen sind.

Assoziiert mit diesen Gleichungen ist die quadratische Funktion f(x) = ax

²

+ bx + c, a, b, c ∈

R, a

6= 0,

deren Nullstellen (Argumente x

0

mit f(x

0

) = 0) genau die Lösungen der erstgenannten quadratischen Gleichung sind.

Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.

(5)

Visualisierung einer Parabel und ihrer Nullstellen

Im Fall a = 1 (hier gezeichnet) spricht man von einer Normalparabel.

Satz 3.1 (p–q–Formel, Mitternachtsformel).

Im Falle D :=

^p₄²

− q ≥ 0 hat die Gleichung x

²

+ px + q = 0 die reellen Lösungen

x

1/2

= − p 2 ±

r

p

²

4 − q.

Für D < 0 gibt es hingegen keine reelle Lösung.

Lösen Sie die quadratischen Gleichungen x

²

+ 4x − 5 = 0 und x

²

− 2x + 1 = 0.

Beweisen Sie die p–q–Formel. Führen Sie dazu für den Term x

²

+ px eine quadratische Ergänzung durch.

Gleichungen, die sich auf quadratische zurückführen lassen Hierbei ist vor allem an folgendes zu denken:

Ausklammern von x bzw. einer Potenz x

^m

,

Substitutionen der Form t = x

^m

(z. B. t = x

²

bei der biquadratischen Gleichung),

Mischformen aus vorgenannten Methoden.

Machen Sie sich die Vorgehensweisen folgender Beispiele klar:

x

⁵

− 2x

⁴

− 2x

³

= 0,

x

⁴

+ 4x

²

− 5 = 0,

x

⁷

+ 4x

⁵

− 5x

³

= 0.

(6)

Scheitelpunktdarstellung von Parabeln Durch simples Ausmultiplizieren bestätigt man:

Satz 3.2.

Eine Parabel y = ax

²

+ bx + c (a 6 = 0) kann äquivalent in der

Scheitelpunktform

y = a(x − x

S

)

²

+ y

S

mit x

S

= −

_2a^b

und y

S

= c −

_4a^b²

dargestellt werden. Der Punkt (x

S

, y

S

) heißt

Scheitelpunkt

der Parabel.

Die Parabel ist für a > 0 nach oben und für a < 0 nach unten geöffnet.

Beispiel 1

f(x) = (x − 1)

²

− 4

= x

²

− 2x + 1 − 4

= x

²

− 2x − 3

Beispiel 2

f(x) = − (x − 1)

²

+ 4

= − x

²

+ 2x − 1 + 4

= − x

²

+ 2x + 3

(7)

Exkurs: Kegelschnitte

Bei der Parabel handelt es sich um einen Kegelschnitt. Weitere Kegelschnitte sind die Ellipse (Spezialfall: Kreis) und die Hyperbel.

Bild: Duk/OgreBot (Wikimedia Commons) Vorkurs 2015 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al

Auf der Ellipse ist die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Brennpunkten F

1

und F

2

gleich einer gegebenen Konstante.

Bild: Ag2gaeh (Wikimedia Commons)

Stimmen die Brennpunkte überein, ergibt sich der Kreis als Spezialfall.

Auf der Hyperbel ist die Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Brennpunkten gleich einer gegebenen Konstante.

Bild: Ag2gaeh (Wikimedia Commons)

Wo finden sich Kegelschnitte in Natur und Umwelt wieder?

(8)

Die Gleichung des Kreises mit Radius r und Mittelpunkt (x

M

, y

M

) lautet (x − x

M

)

²

+ (y − y

M

)

²

= r

²

.

Liegt der Mittelpunkt im Ursprung ((x

M

, y

M

) = (0, 0)), ergibt sich speziell

x

²

+ y

²

= r

²

.

Die Gleichungen von Ellipse und Hyperbel mit Mittelpunkt im Ursprung, Koordinatenachsen als Hauptachsen und Halbachsen a und b lauten

x

²

a

²

+ y

²

b

²

= 1 und x

²

a

²

− y

²

b

²

= 1.

Wählt man als Mittelpunkt (x

M

, y

M

), so sind x und y wieder durch x − x

m

bzw. y − y

m

zu ersetzen.

4 Polynome und ihre Nullstellen

p(x) =

an

x

ⁿ

+ a

n 1

x

ⁿ ¹

+ . . . + a

1

x +

a0 Gradn

f¨uhrender

Koeffizient Absolutglied

a

n

, a

n−1

, . . . , a

1

, a

0

... Koeffizienten a

n

= 1 ... normiertes Polynom

Motivierende Frage: Kann z. B. man die Nullstellen von p(x) = x

³

− 5x

²

+ 5x − 1 analytisch bestimmen?

Satz 4.1 (Polynomdivision).

Sind f(x) und g(x) Polynome mit g(x) 6 = 0, dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome q(x) und r(x) mit

f(x) = g(x)q(x) + r(x) bzw. f(x)

g(x) = q(x) + r(x) g(x) . Entweder ist r(x) = 0, d.h. f(x) ist durch g(x) (ohne Rest) teilbar, oder der Grad von r(x) ist kleiner als der Grad von g(x).

Satz 4.2 (Abspaltung von Linearfaktoren).

x − x

0

ist Linearfaktor des Polynoms p(x) genau dann, wenn x

0

Nullstelle des Polynoms ist. p(x) ist also in diesem Fall ohne Rest durch x − x

0

teilbar.

(9)

Exkurs: Der Satz von Vieta

Sind x

1

, x

2

die Lösungen der quadratischen Gleichung x

²

+ px + q = 0,

d. h. die Nullstellen des Polynoms p(x) = x

²

+ px + q, so lässt sich das Polynom auch in der Form

p(x) = (x − x

1

)(x − x

2

)

schreiben. Durch Ausmultiplizieren und Vergleichen ergibt sich Satz 4.3 (von Vieta).

Für die Lösungen x

1

und x

2

der quadratischen Gleichung x

²

+ px + q = 0 gilt

p = − (x

1

+ x

2

) und q = x

1

· x

2

.

Doch wie gelangt man an Nullstellen von Polynomen höherer Ordnung?

Mitunter hat man bei ganzzahligen Koeffizienten Glück:

Satz 4.4.

Besitzt das Polynom p(x) ganzzahlige Koeffizienten, so ist jede ganzzahlige Nullstelle Teiler des Absolutglieds.

Beispiel: Das Absolutglied des Polynoms p(x) = x

³

− 12x

²

+ 47x − 60 ist − 60. Als ganzzahlige Nullstellen kommen somit ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5,

± 6, ± 10, ± 12, ± 15, ± 20, ± 30 und ± 60 in Frage.

Durch systematisches Probieren erhalten wir x

1

= 3 als Nullstelle, denn 3

³

− 12 · 3

²

+ 47 · 3 − 60 = 27 − 108 + 141 − 60 = 0.

Wir wissen jetzt also, dass p(x) ohne Rest durch x − 3 teilbar ist.

Die Abspaltung des Linearfaktors erfolgt jetzt per Polynomdivision, analog zum schriftlichen Dividieren von Zahlen:

(x

³

− 12x

²

+47x − 60) : (x − 3) = x

²

− 9x + 20 x

³

− 3x

²

− 9x

²

+ 47x

− 9x

²

+ 27x 20x − 60 20x − 60 0 Folglich ist

p(x) = x

³

− 12x

²

+ 47x − 60 = (x − 3)(x

²

− 9x + 20).

(10)

Die quadratische Gleichung x

²

− 9x + 20 = 0 besitzt die Lösungen

x

2/3

= − − 9 2 ±

r

( − 9)

²

4 − 20 = 9 2 ±

r

81 4 − 80

4 = 9 2 ± 1

2 , d. h. die restlichen beiden Nullstellen sind x

2

= 4 und x

2

= 5. Das Polynom p(x) lässt sich faktorisieren gemäß

p(x) = (x − 3)(x − 4)(x − 5).

Ermitteln Sie auf diese Weise die Lösungen der kubischen Gleichung x

³

− 5x

²

+ 5x − 1 = 0.

5 Gleichungen, Ungleichungen und Beträge

Motivierendes Beispiel und Warnung: Gesucht sind alle reellen Lösungen der Gleichung

x + 2 x

²

− 4 = 1.

Nach Multiplikation beider Seiten mit x

²

− 4 ergibt sich die quadratische Gleichung

x + 2 = x

²

− 4 ⇐⇒ x

²

− 4 − x − 2 = x

²

− x − 6 = 0.

Die p–q–Formel liefert x

1/2

= 1

2 ±

r

1 4 + 6 = 1 2 ±

r

1 + 24 4 = 1

2 ± 5 2 und damit die beiden Lösungen x

1

= 3 und x

2

= −2.

Das ist falsch!

Doch wo liegt der Fehler?

Ein Plot ist kein Nachweis, aber eine gute Idee!

Im Plot sieht man, dass x = 3 die einzige Lösung der Gleichung

x+2

x²−4

= 1 ist. Weiterhin liegt in x = 2 eine Polstelle vor.

Das wird auch deutlich, wenn man x

²

− 4 = (x − 2)(x + 2) schreibt.

(11)

Richtige Lösung

Wegen x

²

− 4 = (x − 2)(x + 2) ist der Nenner für x = −2 bzw. x = 2 nicht definiert, da sonst durch Null dividiert würde.

Für x 6= −2 und x 6= 2 gilt x + 2

x

²

− 4 = x + 2

(x + 2)(x − 2) = 1

x − 2 = 1 ⇐⇒ 1 = x − 2 ⇐⇒ x = 3.

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösung x = 3.

Da für x 6= ±2 äquivalent umgeformt wurde, gibt es keine weiteren Lösungen, und die Probe dient lediglich der Prüfung auf Rechenfehler.

Lösen von Gleichungen

Eine Gleichung kann immer auch als Nullstellenaufgabe f(x) = 0

^!

aufgefasst werden. Vorgehensweise:

Man bestimme den maximalen Definitionsbereich von f.

Durch äquivalentes Umformen vereinfache man die Gleichung so, dass die Lösungen einfach bestimmt/abgelesen werden können.

Grundsatz: Auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe tun.

Äquivalente Umformungen sind:

Addition, Subtraktion,

Multiplikation mit einer Zahl ungleich Null, Division durch eine Zahl ungleich Null,

Anwendung von eineindeutigen Funktionen (Begriffe später), sofern alles definiert ist.

Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung x − 2

x + 1 + x

x − 1 = 1 + 2x

x

²

− 1

(12)

Betrag und Betragsgleichungen Definition:

| x | :=

x, x ≥ 0,

−x, x < 0.

Der Betrag | x | gibt den Abstand des Punkts x von 0 auf der Zahlengeraden an. Der Abstand ist nichtnegativ.

Beträge von Funktionen

| f(x) | =

f(x), f(x) ≥ 0,

−f(x), f(x) < 0.

Beispiel: f(x) = x − 1

Beispiel: f(x) = −x

²

+ 2x + 3

(13)

Betragsgleichungen

Beim Auflösen von Beträgen wird für

jeden

in der Gleichung vorkommenden Betrag eine Fallunterscheidung notwendig.

Die Gleichung

| x | = a, a ∈

R

, a > 0, hat z. B. die Lösungen x

1

= − a und x

2

= a.

Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung

| 2x − 1 | = 2.

Achten Sie dabei auf eine saubere Unterscheidung der Fälle 2x − 1 ≥ 0 und 2x − 1 < 0.

Stellen Sie die Situation auch geometrisch dar.

Äquivalentes Umformen von Ungleichungen

Wird auf beiden Seiten der Ungleichung eine reelle Zahl addiert oder subtrahiert, so ändert sich das Relationszeichen nicht.

Wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer

positiven

reellen Zahl multipliziert (oder dividiert), so ändert sich das

Relationszeichen nicht.

Wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer

negativen

reellen Zahl mulipliziert (oder dividiert), so

kehrt sich das Relationszeichen um.

Bestimmen Sie alle Lösungen der Ungleichung − 4x + 3 < x − 2.

(14)

Betragsungleichungen

Wie bei den Betragsgleichungen ist bei der Auflösung

jedes

vorkommenden Betrags eine Fallunterscheidung durchzuführen.

Bestimmen Sie alle x ∈

R, für die gilt:

2x < |x − 1|.

6 Funktionen und ihre Umkehrbarkeit

Definition 6.1.

Seien A und B Mengen. Eine Funktion f : A → B ist eine Vorschrift, durch die jedem x ∈ A genau ein y = f(x) ∈ B zugeordnet wird.

A heißt Definitionsbereich von f, B heißt Zielmenge von f, und f(A) := {f (x) : x ∈ A} ⊆ B heißt Wertebereich oder Bild von f.

Zu einer gegebenen Menge A

⁰

⊆ A heißt

f(A

⁰

) := { f(x) : x ∈ A

⁰

} ⊆ B

das Bild von A

⁰

unter f . Zu einer gegebenen Menge B

⁰

⊆ B heißt f

⁻¹

(B

⁰

) := {x ∈ A : f(x) ∈ B

⁰

}

das Urbild von B

⁰

unter f.

Definition 6.2.

Eine Funktion f : A → B heißt

injektiv (eineindeutig), wenn für alle x

1

, x

2

∈ A mit x

1

6 = x

2

stets f (x

1

) 6 = f(x

2

) gilt,

surjektiv, wenn es zu jedem y ∈ B ein x ∈ A gibt mit y = f(x), bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist.

Ist f bijektiv, so existiert die Umkehrfunktion

f

⁻¹

: B → A, f

⁻¹

(y) = x : ⇔ y = f(x).

(15)

Der Graph der Umkehrfunktion f

⁻¹

ergibt sich aus dem Graphen der Funktion f durch Spiegeln an der Geraden y = x.

y = f(x) ⇐⇒ f

⁻¹

(y) = f

⁻¹

(f (x)) = x

Die gezeigten Wurzelfunktionen x 7→ √

x und x 7→ √

³

x sind die Umkehrfunktionen von f(x) = x

²

und f(x) = x

³

mit den nichtnegativen Zahlen als Definitionsbereich.

Definition 6.3 (Wurzel).

Die n-te Wurzel, n ∈

N

, aus einer reellen Zahl a ≥ 0, ist diejenige nichtnegative reelle Zahl b, für die b

ⁿ

= a gilt. Man schreibt b = √

ⁿ

a.

Die n-te Wurzel bzw. die Wurzelfunktion f(x) = √

ⁿ

x ist nur für

nichtnegative x ≥ 0 definiert.

(16)

7 Potenzen und Potenzgesetze

1. Schritt: x

ⁿ

, n ∈

N,

also eine natürliche Zahl (ungleich Null). Wie jeder weiß, gilt:

10

⁶

· 10

³

= 10

|

· 10 · 10

{z

· 10 · 10 · 10

}

· 10

|

· 10

{z

· 10

}

= 10

|

· 10 · 10 · 10 · 10

{z

· 10 · 10 · 10 · 10

}

= 10

⁹

6+3 = 9 Faktoren

Das gilt deshalb auch allgemein für jede reelle Zahl x ∈

R

und natürliche Zahlen m, n ∈

N

x

ⁿ

· x

^m

= x

|

· x . . . x

{z

· x

}

· x

|

· x . . . x

{z

· x

}

= x

|

· x . . . x ·

{z

x · x . . . x · x

}

= x

^n+m

n Faktoren m Faktoren n+m Faktoren

sowie analog (x

^m

)

ⁿ

= x

^(mn)

und

^x_x^mⁿ

= x

^m−n

, falls m > n.

Rationale und reelle Exponenten 2. Schritt: Wir definieren zunächst x

¹ⁿ

.

Die Umkehrfunktion zu x

ⁿ

(x > 0) ist x

ⁿ¹

:= √

ⁿ

x. Sie erfüllt die Gleichung

x

¹ⁿn

= x.

Wegen der diskutierten Probleme mit der Umkehrfunktion bei geradem Exponenten n definiert man x

ⁿ¹

nur für nichtnegative x.

Für positive rationale Exponenten definieren wir x

^mⁿ

=

x

ⁿ¹m

= ( √

ⁿ

x)

^m

, x ≥ 0, n, m ∈

N

. 3. Schritt: Per Definition ist x

⁰

= 1 für alle x ∈

R

.

4. Schritt: Negative ganze Zahlen − n, n ∈

N

. Für x 6 = 0 gilt x ·

_x¹

= 1 und damit auch

x

ⁿ

· 1

x

n

= 1 = x

ⁿ

x

ⁿ

= x

ⁿ

1 x

ⁿ

. Deshalb definiert man x

⁻ⁿ

:=

_x¹n

, und es gilt

x

^m

· x

⁻ⁿ

= x

^m

x

ⁿ

= x

^m⁻ⁿ

. Ergebnis: Für rationale Zahlen r =

^m_n

ist

x

^mⁿ

= ( √

ⁿ

x)

^m

.

Für irrationale α ∈

R

wird x

^α

mittels Stetigkeitsargument definiert: Zu jeder irrationalen Zahl α gibt es eine Folge rationaler Zahlen mit

n→∞

lim r

n

= α, und wir definieren:

x

^α

:= lim

n→∞

x

^rⁿ

.

(17)

Potenzgesetze

Für beliebige reelle Zahlen a, b, c ∈

R

und natürliche Zahlen n ∈

N

sowie m ∈

Z

gelten die folgenden Potenzgesetze:

(a

^b

)

^c

= a

^(bc)

, a > 0, a

^b+c

= a

^b

a

^c

, a > 0, (ab)

^c

= a

^c

b

^c

, a, b > 0,

a

⁻^b

= 1

a

^b

, a > 0 a

^b⁻^c

= a

^b

a

^c

, a > 0 a

ⁿ¹

= √

ⁿ

a, a ≥ 0.

a

^mⁿ

= √

ⁿ

a

^m

= ( √

ⁿ

a)

^m

, a ≥ 0.

8 Potenz- und Wurzelgleichungen

Wurzel und Quadrat

Für beliebige reellen Zahlen x gilt √ x

²

=

p

( − x)

²

=

p

| x |

²

und somit

√x²=|x|

.

Somit hat die Gleichung √ x

²

= a im Fall a < 0 keine reelle Lösung,

im Fall a ≥ 0 zwei reelle Lösungen, nämlich x = a und x = − a.

Achtung: Die Lösung x = − a im zweiten Fall wird häufig vergessen!

Quadrieren und Potenzieren mit geradem Exponenten Beispiel: Aus x = −3 folgt x

²

= (−3)

²

= 9. Wenden wir das Wurzelziehen als Umkehroperation an, so folgt

√ x

²

= | x | = √ 9 = 3, und wir erhalten 2 Lösungen x

1

= −3 und x

2

= 3.

Merke: Quadrieren ist

keine

äquivalente Umformung!

Trotzdem wird man in vielen Fällen quadrieren, um eine Lösung zu erhalten. In diesem Fall

muss

man eine Probe machen, um beim Quadrieren entstandene Scheinlösungen zu identifizieren.

Das Phänomen tritt analog bei sämtlichen Potenzen mit geradem

Exponenten auf.

(18)

Potenzieren mit ungeradem Exponenten

Beispiel: Die Gleichung x

³

= − 8 besitzt die einzige Lösung x = − 2.

Allerdings darf diese nicht als x = √

³

− 8 geschrieben werden, denn Wurzeln sind nur für nichtnegative Zahlen definiert!

Die korrekten Schritte beim äquivalenten Umformen lauten hier x

³

= − 8 ⇐⇒ − x

³

= 8 ⇐⇒ ( − x)

³

= 8

⇐⇒ −x = √

³

8 = 2 ⇐⇒ x = −2.

Eine Probe ist entbehrlich, da äquivalent umgeformt wurde. Sie schadet aber auch nicht.

Exkurs: Warum nicht einfach √

³

− 8 = − 2?

Ein Grund wäre die Allgemeingültigkeit der Potenzgesetze: Es gilt für m ∈

Z

, n, k ∈

N:

x

^mⁿ

= x

^m·k^n·k

. Würde man fälschlicherweise mit −2 = √

³

−8 rechnen, so folgt daraus ein Widerspruch:

−2 = √

³

−8 = (−8)

¹³

= (−8)

^1·2^3·2

= (−8)

²⁶

=

p⁶

(−8)

²

= √

⁶

64 = 2.

Eine weitere Begründung lernen Sie in HM 1 kennen: in den komplexen Zahlen hat die Gleichung x

³

= − 8 drei verschiedene Lösungen!

Lösen von Potenzgleichungen

Die Gleichung x

ⁿ

= a mit

geradem

Exponenten n ∈

N

besitzt:

genau die beiden Lösungen x

1/2

= ± √

ⁿ

a, falls a ≥ 0, keine Lösung, falls a < 0.

Die Gleichung x

ⁿ

= a mit

ungeradem

Exponenten n ∈

N

besitzt:

die eindeutige Lösung x = √

ⁿ

a, falls a ≥ 0, die eindeutige Lösung x = −

pⁿ

| a | = − √

ⁿ

− a, falls a < 0.

(19)

Lösungsverfahren für Wurzelgleichungen

1.

Den maximalen Definitionsbereich bestimmen.

2.

Quadrieren bzw. Potenzieren bis keine Wurzeln mehr auftreten.

3.

Resultierende Gleichung lösen.

4.

Abgleich der erhaltenen Lösungen mit dem Definitionsbereich.

5.

Probe.

Lösen Sie die beiden Wurzelgleichungen

√ x − 1 + √

x + 2 = 1

und

p4

x

³

+ 4 = √ x + 2

Die Gleichung √

x − 1 + √

x + 2 = 1 besitzt keine Lösung.

Die Gleichung

p4

x

³

+ 4 = √ x + 2

besitzt die Lösungen x

0

= 0, x

1

=

¹⁻^√₂¹⁷

und x

2

=

¹⁺^√₂¹⁷

.

(20)

9 Exponential- und Logarithmusfunktion und assoziierte Gleichungen

Die Exponentialfunktion x 7→ a

^x

ist für a > 0 und alle x ∈

R

definiert.

Gebräuchliche Werte für die Basis sind die Zahlen 10, 2 und e ≈ 2.71828.

Plot von Exponentialfunktionen zu verschiedenen Basen:

Die Eulersche Zahl e

Ein Startkapital von 1e werde jeweils für ein Jahr angelegt. Auf Leonhard Euler (1707-1783) geht folgende Überlegung zum Zinseszins zurück:

Bei jährlicher Verzinsung mit 100% sind am Jahresende 2e fällig.

Bei halbjährlicher Verzinsung mit 50% sind am Jahresende (1 +

¹₂

)

²e

= 2.25e zu zahlen.

Bei vierteljährlicher Verzinsung mit 25% sind am Jahresende (1 +

¹₄

)

⁴e

≈ 2.44e zu zahlen.

Frage: Wie wächst die zu zahlende Summe, wenn

¹⁰⁰_n

% pro

¹_n

-tel des Jahres zu zahlen sind? Wird diese Zahl beliebig groß?

Euler: Nein, denn

e := lim

n→∞

1 + 1

n

≈ 2.71828.

(21)

Exponential- und Logarithmusfunktion

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Eponentialfunktion.

Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion ist das offene Intervall (0; ∞ ). Der Logarithmus ist folglich nur für positive Argumente x definiert. Für die Basis a gilt a > 0.

Wozu braucht man den Logarithmus?

Schallpegel (dB)

Schallintensität (W/m²)

Düsenjet in 500m Entfernung Rock-Konzert

U-Bahn

PKW leise Unterhaltung

ruhiges Zimmer

Blätterrauschen Hörbarkeitsgrenze 0

30 60 90 120

10^-12 10^-9 10^-6 10^-3 1

Wie laut ist laut?

Die Schallintensität I läuft von I

0

= 10

⁻¹²_m^W2

bis über 10

⁰

= 1

_m^W2

, deshalb ist eine logarithmische Darstellung als Schallpegel P besser:

P = 10 log

₁₀

I I

0

.

Logarithmische Darstellung, Logarithmenpapier

Schalldruckpegel L

p

= 20 log

₁₀_P^P₀

mit P

0

= 2 · 10

⁻⁵

Pa.

Wegen der über weite Strecken extrem flachen Kurve ist eine Darstellung

mit den üblichen linear skalierten Achsen wenig aussagekräftig.

(22)

Viel besser ist eine halblogarithmische Darstellung (Logarithmenpapier):

Schalldruckpegel L

p

= 20 log

₁₀_P^P₀

mit P

0

= 2 · 10

⁻⁵

Pa.

Rechnen mit Logarithmen

Alle Logarithmengesetze ergeben sich aus den Potenzgesetzen.

Für x, y > 0 und a > 0, a 6 = 1 sowie r, b > 0 gilt b = log

_a

c ⇐⇒ a

^b

= c,

a

^b

= e

^b^lna

,

log

_a

(xy) = log

_a

x + log

_a

y, log

_a

x y

= log

_a

x − log

_a

y,

log

_a

x

^r

= r log

_a

x, log

_a

x

⁻^r

= log

_a_x¹r

= − log

_a

x

^r

= − r log

_a

x, wichtige Beziehungen: log

_a

1 = ln 1 = 0, log

_a

a = ln e = 1.

Umrechnungsformel: log

_a

x =

^log_log^b^x

ba

und log

_a

x =

^ln_ln^x_a

.

Logarithmen- und Exponentialgleichungen Maximalen Definitionsbereich bestimmen.

Logarithmen- und Potenzgesetze anwenden und Gleichung lösen.

Liegt die Lösung im Definitionsbereich? (Betrifft vor allem Logarithmen.)

Beispiel:

log

₁₀

(x − 2) = 1 ( ⇐⇒ log

₁₀

(x − 2) = log

₁₀

10)

= ⇒ x − 2 = 10

⇐⇒ x = 12

Da x = 12 im Definitionsbereich liegt, ist x = 12 Lösung der Gleichung.

(23)

Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung ln x − 1

2 ln(3x − 2) = 0.

Beispiel zur Exponentialgleichung:

9

^x⁻¹

= 3

⁶

· 3

^x

Maximaler Definitionsbereich: x ∈

R

. Anwenden von Potenzgesetzen:

9

^x⁻¹

= (3

²

)

^x⁻¹

= 3

^2(x⁻¹⁾

und 3

⁶

· 3

^x

= 3

^6+x

ergibt

3

^2(x−1)

= 3

^6+x

| log

₃

⇐⇒ 2(x − 1) = 6 + x

⇐⇒ x = 8.

Plot zum Beispiel 9

^x⁻¹

= 3

⁶

· 3

^x

mit x = 8 als Lösung:

(24)

Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung 3

^x+3

− 2 · 5

^x

= 5

^x+1

+ 2(3

^x

+ 5

^x

).

10 Winkel und Winkelmessung

Winkel. . . Teil der Ebene, der von zwei Strahlen („Schenkeln“) mit gleichem Anfangspunkt („Scheitel“) begrenzt wird

Winkelmessung. . . Quantitative Erfassung der „Öffnungweite“, d. h.

lediglich der relativen Lage der Strahlen zueinander

Bogenmaß

Die Winkelmessung im Bogenmaß erfolgt unter Beachtung des Drehsinns am Einheitskreis:

1 1

0

ϕ ϕ

Die Größe des Winkels im Bogenmaß entspricht der Länge des ausgeschnitten Bogens auf dem Einheitskreis. Der Vollkreis entspricht einem Winkel von 2π (Umfang des Einheitskreises).

Einheit: Zur Identifikation als Winkel verwendet man mitunter den Radiant: 1 rad= 1

^m_m

= 1. Mathematisch gesehen ist das verzichtbar.

(25)

Gradmaß

Beim Gradmaß wird die Größe des Vollkreises auf 360

^◦

normiert.

Damit entspricht dem Winkel π im Bogenmaß die Gradangabe 180

^◦

. Für beliebige Winkel gelten die Umrechnungsformeln

Winkel in Grad = 180

π · Winkel in Radiant Winkel in Radiant = π

180 · Winkel in Grad

Wie groß ist der rechte Winkel (90

^◦

) im Bogenmaß? Wieviel Grad entspricht 1 rad?

Winkelmesser mit Grad und Radiant

Prägen Sie sich einige Werte auch im Bogenmaß ein. Achten Sie beim Rechnen mit Winkeln auf korrekte Taschenrechnereinstellung (

^◦

/rad).

Bogenminuten und Bogensekunden

Im Zusammenhang mit der Gradskala sind neben der üblichen Dezimaldarstellung auch kleinere Einheiten in Gebrauch:

Eine Bogenminute (1

⁰

) ist der 60-te Teil eines Grads.

Eine Bogensekunde (1

⁰⁰

) ist der 60-te Teil einer Bogenminute bzw.

der 3600-te Teil eines Grades.

Angaben mit Grad, Bogenminuten und Bogensekunden verwendet man vor allem in der Geographie und in der Astronomie.

In Google Earth kann man für den Hörsaal WIN 1005 die geografischen

Koordinaten 50

^◦

55

⁰

30

⁰⁰

N und 13

^◦

20

⁰

01

⁰⁰

O ablesen. Wie lauten die

Angaben in Grad mit den gewohnten Nachkommastellen?

(26)

Geographische Längen und Breiten

Positionen auf der Erdoberfläche lassen sich immer mittels zweier Winkel (geogr. Länge (links) und Breite (rechts)) angeben:

Welchem Weg entspricht 1

^◦

(1

⁰

, 1

⁰⁰

) Breite auf der Erdoberfläche, wenn man sich entlang eines Meridians bewegt? Gehen Sie von einer kugelförmigen Erde mit 40000 km Umfang aus.

Schätzen Sie Blickwinkel

In der Astronomie erfasst man Durchmesser und Abstände von Objekten an der Himmelskugel ebenfalls über Winkelgrößen. Schätzen Sie:

den Winkel, den die gespreizte Hand (Ringfinger- bis

Daumenspitze); der Handrücken; der Zeigefinger bei gestrecktem Arm überdeckt,

die „Länge“ des Großen Wagens,

den Durchmesser der Sonne (des Mondes),

den Abstand Mizar-Alkor (mittlerer Deichsel(doppel)stern des Großen Wagens),

die Auflösung des menschlichen Auges / die minimale Distanz zweier getrennt sichtbarer Sterne,

den maximale Abstand des Gallileischen Jupitermondes Ganymed zum Jupiter,

den Durchmesser des Jupiterscheibchens.

Gon und Strich

Neben Grad und Radiant sind vereinzelt noch weitere Einheiten in Gebrauch. Insbesondere wären zu nennen:

das Gon ist der 400-te Teil eines Vollkreises, ein rechter Winkel entspricht also 100 gon.

Gebrauch vor allem im Vermessungs- und Markscheidewesen.

der nautische Strich ist der 32-te Teil eines Vollkreises.

Gebrauch vor allem in der Seefahrt zur Grobpeilung.

Kompassrose mit Strichteilung

(27)

11 Winkelfunktionen und Trigonometrie

Unter dem Begriff Winkelfunktionen fasst man die Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens zusammen. Wir erinnern uns zunächst an die Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis.

1 1

cosϕ sinϕ

0

ϕ ϕ

Durch Skalieren der Skizze erhält man die klassischen

Winkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck – doch dazu später.

Betrachtet man Sinus und Kosinus in Abhängigkeit vom Winkel x, entstehen zwei 2π-periodische Funktionen, deren Graphen lediglich um

π

2

gegeneinander verschoben sind:

−1 0 1

−2π −π 0 π 2π

Sinus

Kosinus

Eigenschaften von Sinus und Kosinus

sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x), d. h. Sinus und Kosinus sind 2π-periodisch, sin(−x) = − sin(x), cos(−x) = cos(x), d. h. der Sinus ist ungerade, der Kosinus gerade, sin(x) = cos(x − π/2) und cos(x) = sin(x + π/2), d. h. die Graphen sind um π/2 gegeneinander verschoben, sin

²

(x) + cos

²

(x) = 1 (Satz des Pythagoras),

sin(x) = 0 ⇔ x = kπ mit k ∈

Z

und cos(x) = 0 ⇔ x = (k + 0.5)π mit k ∈

Z,

sin(x) ist auf [ − π/2, π/2] streng monoton wachsend und

cos(x) ist auf [0, π] streng monoton fallend.

(28)

Markante Funktionswerte

Es ist empfehlenswert, sich wenigstens einige Funktionswerte für Sinus und Kosinus einzuprägen:

0/0

^◦ ^π₆

/30

^◦ ^π₄

/45

^◦ ^π₃

/60

^◦ ^π₂

/90

^◦

sin x 0

¹₂ ^√₂² ^√₂³

1 cos x 1

^√₂³ ^√₂² ¹₂

0 Aufgrund von Periodizität, Symmetrien usw. kann man daraus auf eine Reihe weiterer Werte schließen. Zum Beispiel ist

sin 120

^◦

= sin 60

^◦

=

√ 3 2 .

Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichungen sin(2x + 1) = 0 und cos( π

2 − 3x) =

√ 3 2 . Nutzen Sie die die Eigenschaften von Seite 80 wie auch die Funktionswerttabelle auf Seite 81.

Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen

f(x) = sin(2x + 1) und g(x) = cos( π 2 − 3x).

Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse aus dem vorigen Beispiel graphisch.

Was ändert sich am Graphen einer Funktion y = f(x), wenn man x durch kx (k > 0), −x bzw. x − c ersetzt? Was ändert sich wenn man y = kf (x) (k > 0) statt y = f (x) betrachtet?

Tangens und Kotangens

Der Tangens von x ist definiert durch f :

R

\

k +

¹₂

π : k ∈

Z

→

R

, x 7→ tan(x) := sin(x) cos(x) . Der Kotangens von x ist definiert durch

f :

R

\ { kπ : k ∈

Z} →R

, x 7→ cot(x) := cos(x) sin(x) . Im Gebrauch ist vor allem der Tangens.

Wichtige Eigenschaften:

tan und cot sind π-periodische Funktionen,

tan( − x) = − tan(x) und cot( − x) = − cot(x), d. h. beide Funktionen sind ungerade,

tan ist auf (−π/2, π/2) streng monoton wachsend und cot ist auf (0, π) streng monoton fallend.

(29)

Graphische Darstellung

−4

−2 0 2 4

−2π −π 0 π 2π

Tangens Kotangens

−1 0 1

−1 0

1 cot(x)

cos(x) sin(x)

x tan(x)

Dargestellt sind die Graphen von Tangens und Kotangens sowie die graphische Interpretation am Einheitskreis.

Seiten-Winkel-Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck Im rechtwinkligen Dreieck sollten Sie zumindest folgende Beziehungen (auswendig!) kennen:

Satz des Pythagoras: a

²

+ b

²

= c

²

.

Winkelbeziehungen: sin β =

^b_c

cos β =

^a_c

, tan β =

^b_a

Flächeninhalt: A =

¹₂

ab

b a

c

α

β

Machen Sie sich klar, dass die Winkelbeziehungen unmittelbar aus der Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis folgen.

Seiten-Winkel-Beziehungen im allgemeinen Dreieck Allgemein gelten in Dreiecken die folgenden Beziehungen:

Kosinussatz: c

²

= a

²

+ b

²

− 2ab cos γ Sinussatz:

_sin^a_α

=

_sin^b_β

=

_sin^c_γ

Flächeninhalt: A =

¹₂

ch

c

=

¹₂

ab sin γ

b a

c

α β

hc γ

Man leite Sinus- und Kosinussatz unter Rückführung auf die

Beziehungen in rechtwinkligen Dreiecken her.

(30)

Arkusfunktionen

Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen nennt man Arkusfunktionen.

Da die trigonometrischen Funktionen auf

R

nicht eineindeutig sind, muss man Einschränkungen auf bestimmte Intervalle vornehmen.

Man schränkt Kosinus und Kotangens auf [0, π] sowie Sinus und Tangens auf

−

^π₂

,

^π₂

ein, und erhält die Umkehrfunktionen

arcsin : [−1,1]→

−^π2,^π₂

, y= arcsin(x) :⇔ x= siny, y∈[−^π2,^π₂], arccos : [−1,1]→[0, π], y= arccos(x) :⇔ x= cosy, y∈[0, π], arctan : R→

−^π2,^π₂

, y= arctan(x) :⇔ x= tany, y∈[−^π2,^π₂], arccot: R→[0, π], y=arccot(x) :⇔ x= coty, y∈[0, π].

mit Namen Arkussinus, Arkuscosinus, Arkustangens und Arkuskotangens.

Graphische Darstellung

−1 0 1

−π/2 0 π/2 π

arcsin arccos

−4 −2 0 2 4

π

π/2

0

−π/2 arctan arccot

Graphen sämtlicher Arkusfunktionen.

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und einen guten Start ins Studium an der TU Bergakademie Freiberg!

Originalfoto: Regi51