SobolevräumeundPoincaré-Ungleichung EliasHaslauer

LMU München, Germany • Elias Haslauer

Sobolevräume und Poincaré-Ungleichung

Seminar Numerische Analysis bei Prof. Lars Diening

Wintersemester 2014/2015

Die Funktionenräume L

Definition

Sei 1 ≤ p ≤ ∞, G ⊆

eine offene Menge.

L

(G ) := {u : G →

| u Lebesgue-messbar, ||u||

< ∞}

||u||

:=

Z

G

|u(x )|

dx

p < ∞

||u||

:= inf

N⊂G N Nullmenge

sup

x∈G\N

|u(x )| p = ∞

Schwache Ableitungen

Definition

Sei α = (α

, ..., α

) ∈

ein Multiindex mit |α| = P

i=1

α

. Eine Funktion u ∈ L

(G) besitzt die schwache Ableitung v

∈ L

(G), wenn für alle Testfunktionen ϕ ∈ C

(G ) gilt:

Z

G

uD

ϕ = (−1)

Z

G

v

ϕ

Man schreibt v

= D

u =

.

Dabei ist L

(G ) = {u : G →

| ∀G

⊂⊂ G, offen: u|

∈ L

(G

)},

C

(G ) = {ϕ ∈ C

(G ) | supp ϕ kompakt und Teilmenge von G }

Sobolevräume

Definition

Sei m ∈

und p ∈ [1, ∞].

H

(G) :={u ∈ L

(G ) | u besitzt schwache Ableitungen D

u ∈ L

(G ) für 0 ≤ |α| ≤ m}

||u ||

:=





m

X

|α|=0

||D

u||





1 p

p < ∞

||u||

:= max

|α|≤m

||D

u||

p = ∞

Alternative Definitionen

Früher: Zwei verschiedene Definitionen von Sobolevräumen:

•

im obigen Sinn als Räume von Funktionen mit schwachen Ableitungen (W

)

•

als Abschluss von C

∩ W

(H

)

= ⇒ Meyers und Serrin, 1964: H=W

Poincaré-Ungleichung: Allgemeine Formulierung

Satz

Sei 1 ≤ p ≤ ∞, G eine konvexe beschränkte offene Teilmenge des

, u ∈ H

(G ). Dann existiert eine nur von p und G abhängige Konstante C , so dass

||u − u ¯

||

≤ C ||∇u||

. Dabei sei ¯ u

=

R

G

u(x )dx.

Wir untersuchen im Folgenden ausschließlich Fälle mit ¯ u

= 0.

Poincaré-Ungleichung für einen n-dimensionalen Würfel

Sei G = (0, d )

. Dann gilt für alle v ∈ H

(G )

||v ||

≤ d ||∇v ||

.

Beweis: Es reicht aus, die Ungleichung für v ∈ C

(G ) zu beweisen, denn da C

(G ) in H

(G ) dicht liegt, existiert eine Cauchy-Folge v

⊂ C

(G),

||v − v

||

→ 0. Es gilt dann:

||v ||

≤ ||v

||

+ ||v

− v ||

≤ d ||∇v

||

+ ||v

− v ||

≤ d ||∇v ||

+ d ||∇(v

− v )||

+ ||v

− v ||

−→ d ||∇v ||

Für v ∈ C

(G ) definiere v ¯ (X ) :=

( v (x ) x ∈ G 0 x ∈ / G . Es folgt

¯

v (x

, ..., x

) = Z

0

∂

∂x

v ¯ (s , x

, .., x

)ds.

Wähle

+

= 1, dann folgt mit der Hölder-Ungleichung:

|¯ v (x

, ..., x

)|

≤ Z

0

∂

∂x

¯ v (s , x

, ..., x

)

ds

≤ d

Z

0

∂

∂x

v ¯ (s, x

, ..., x

)

p

ds

Integration beider Seiten nach x

: Z

0

|¯ v (x

, ..., x

)|

dx

≤ d

p q+1

Z

0

∂

∂x

v ¯ (s, x

, ..., x

)

p

ds

Integration in restliche Koordinatenrichtungen:

⇒ Z

G

|¯ v (x

, ..., x

)|

dx ≤ d

Z

G

∂

∂x

¯ v (x

, ..., x

)

p

dx

⇒ Z

G

|v (x )|

dx

≤ d Z

G

∂

∂x

v (x )

p

dx

Lemma

Sei G ⊂

ein konvexes Gebiet mit d (G ) = sup

|x − y | und sei u ∈ C

(G ) wobei R

G

u = 0. Dann gilt für x ∈ G :

|u(x )| ≤ d (G )

n|G |

Z

G

|∇u(y )|

|y − x |

dy falls

R

G

|∇u(y)|

|y−x|ⁿ⁻¹

dy < ∞

Beweis: Für x , y ∈ G , x 6= y sei z (t) := x + t(y − x ), t ∈ [0, 1]. Es gilt:

u(x ) − u(y ) = u(z (0)) − u(z (1)) = − Z

0

d

dt u(z(t))dt

= − Z

0

∇u(x + t(y − x )) · (y − x )dt s := |y − x |t ⇒ = −

Z

0

∇u

x + s y − x

|y − x |

· y − x

|y − x | ds ξ := y − x

|y − x | ⇒ = − Z

0

d

ds u(x + sξ)ds

Integriere bezüglich y , dann folgt mit R

G

u(y )dy = 0, R

G

dx = |G |:

u(x ) = − 1

|G | Z

G

Z

d

ds u(x + s ξ)dsdy

|u(x )| ≤ 1

|G|

Z

{y,|y−x|<d(G)}

Z

0

d

ds u(x + s ξ)

dsdy

≤ 1

|G|

Z

B_d(G)(x)

Z

d

ds u(x + sξ)

dsdy

1 Z

Z

Z

d

≤ d (G )

n|G|

Z

Z

Sⁿ⁻¹

d

ds u(x + s ξ)

do (ξ)ds

= d (G )

n|G|

Z

Z

Sⁿ⁻¹

d

ds u(x + s ξ)

s

s

do (ξ)ds

= d (G )

n|G|

Z

R

u(z )

|z − x |

dz

= d (G )

Z |∇u(z )|

dz

Lemma

Zu jedem konvexen beschränkten Gebiet G ⊂

existiert eine Konstante c, so dass für alle u ∈ H

∩ C

(G ) mit R

G

U = 0 und 1 ≤ p ≤ ∞ gilt:

||u||

≤ c||∇u||

. Dabei ist

c ≤ d (G)

|S

|

n|G |

Beweis: Aus dem ersten Lemma folgt:

||u||

= Z

G

|u(x )|

dx

≤ d (G )

n|G |

Z

G

Z

G

|∇u(y )|

|y − x |

dy

dx

Sei p > 1, dann gilt mit der Hölder-Ungleichung:

Z

G

Z

G

|∇u(y )|

|y − x |

dy

dx =

= Z

G

Z

G

|∇u(y )||y − x |

|y − x |

dy

dx

≤ Z

G

Z

G

|∇u(y )|

|y − x |

dy Z

G

|y − x |

dy

dx (?)

Weiter gilt:

Z

G

|y − x|

dy ≤ Z

Bd(G)(x)

|y − x |

dy

= Z

0

Z

Sⁿ⁻¹

r

do (ξ)dr = d (G )|S

| Und damit:

(?) ≤ (d (G )|S

|)

Z

G

Z

G

|∇u(y )|

|y − x |

dydx

≤ (d (G )|S

|)

Z

G

|∇u(y )|

dy

Und damit folgt:

Poincaré-Ungleichung

Satz

Zu jedem konvexen beschränkten Gebiet G ⊂

gibt es eine Konstante c ≤ d (G )

, so dass für alle u ∈ H

(G ) mit R

G

u = 0 und 1 ≤ p ≤ ∞ gilt:

||u||

≤ c||∇u||

.

Beweis: Folgt aus den beiden Lemmata zusammen mit der Tatsache, dass H

(G ) ∩ C

(G )

1,p||

= H

Literatur

•

Dobrowolski, Manfred: Angewandte Funktionalanalysis, Berlin 2010

•

Dziuk, Gerhard: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen, Berlin 2010

•

Königsberger, Konrad: Analysis 2, Berlin 2002

•

Meyers, Norman und Serrin, James: H=W, in: PNAS, Juni 1964, 51(6): 1055f. (auch: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/

articles/PMC300210/pdf/pnas00180-0073.pdf)