Ungleichung von Hausdorff-Young

Seminararbeit aus Analysis

Fabian Mußnig

Notationen

• F¨ur normierte R¨aume X und Y bezeichne B(X, Y) die Menge aller beschr¨ankten linearen Abbildungen T :X→Y.

• SeiXein topologischer Raum. Wir bezeichnen mitX⁰den topologischen Dualraum von X - f¨ur ein normiertesX ist das gerade B(X,C).

• IstXmit zwei Normenk·k₀undk·k₁versehen, so bezeichnen wir die dazugeh¨origen Dualr¨aume mit X_k·k⁰ 0

0 und X_k·k⁰ 0

1, welche jeweils mit den Normen k · k⁰₀ und k · k⁰₁ versehen sind. Ist es zudem notwendig eine Unterscheidung beiX selbst zu treffen, so verwenden wir X_k·k0 bzw.X_k·k1.

• F¨ur z = x+iy ∈ C mit x, y ∈ R, sei <(z) = x der Realteil und =(z) = y der Imagin¨arteil von z.

• F¨ur einx∈X und ein x⁰ ∈X⁰ verwenden wirhx, x⁰i:=x⁰(x).

1 Holomorphe Funktionen

Holomorphe Funktionen sind als Abbildungen vonCnachCbekannt. Wir wollen diesen Begriff nun auf Funktionen, die Werte in allgemeinen normierten R¨aumen annehmen, ausdehnen.

Definition. Seien Ω⊆Coffen,Xein normierter Raum undF : Ω→X. Wir sagenF ist holomorph auf Ω, genau dann, wenn f¨ur jedes x⁰ ∈X⁰ die Funktionh_x⁰(z) :=hF(z), x⁰i holomorph (im klassischen Sinn) auf Ω ist.

Man beachte, dass in diesem Sinne definierte holomorphe Funktionen insbesondere stetig sind. Oft wird diese Definition auch als schwache Holomorphie bezeichnet und eine Definition analog zur komplexen Differenzierbarkeit wird f¨ur die Holomorphie verwendet. Man kann jedoch zeigen, dass schwach holomorphe Funktionen bereits holomorph sind (vgl. [2], S. 2-4).

F¨ur klassisch holomorphe Funktionen gilt, dass sie auch analytisch sind, d.h. sie lassen sich lokal in eine Potenzreihe entwickeln. Dieses Ergebnis wollen wir f¨ur Banach-R¨aume auch auf den neu definierten Holomorphie-Begriff ausdehnen. Zuerst ben¨otigen wir Cauchy’sche Integralformel. Seien Ω⊆Coffen, X ein Banach Raum und F : Ω→ X holomorph. Sind z0 ∈Ω und r >0 so, dass U(z0, r)⊂Ω, dann gilt

F(z) = 1 2πi

I

∂U(z0,r)

F(ζ)

(ζ−z) dζ ∀z∈U(z₀, r), wobei das Integral als Riemann’sches Kurvenintegral zu verstehen ist.

Beweis. Wir nehmen an, es gibt ein z∈U(z₀, r), sodass die Gleichung nicht gilt. DaX⁰ punktetrennend aufX operiert, gibt es also einx⁰ ∈X⁰, sodass

x⁰◦F(z)6=x⁰ 1 2πi

I

∂U(z0,r)

F(ζ) (ζ−z) dζ

!

= 1 2πi

I

∂U(z0,r)

x⁰◦F(ζ) (ζ−z) dζ

Dax⁰◦F jedoch eine holomorphe Abbildung vonCnachCist, muss Gleichheit gelten.

Bemerkung. Das Kurvenintegral l¨asst sich analog wie eine Riemannsumme als Reihe de- finieren. Man beachte, dass es jedoch bei nichtstetigen Funktionen zu Problemen kommen kann. Ebenso kann es im Fall eines nicht vollst¨andigen Raumes vorkommen, dass der Grenzwert der Folge der Partialsummen nicht mehr im Raum liegen muss. (vgl. [3], S.

476 ff.)

F¨ur Ω, X, z₀ undrwie in obigem Lemma, k¨onnen wir nunF(z) als Potenzreihe anschrei- ben:

F(z) = 1 2πi

I

∂U(z0,r)

F(ζ) (ζ−z) dζ

= 1 2πi

I

∂U(z0,r)

F(ζ)· 1 ζ−z0

· ζ−z0

ζ−z0−(z−z0) dζ

= 1 2πi

I

∂U(z0,r)

F(ζ)

(ζ−z₀) · 1 1− ^z−z_ζ−z⁰

0

dζ

= 1 2πi

I

∂U(z0,r)

F(ζ) (ζ−z0)

∞

X

n=0

z−z0

ζ−z0

n

dζ

=

∞

X

n=0

1 2πi

I

∂U(z0,r)

F(ζ)

(ζ−z₀)ⁿ⁺¹ dζ·(z−z₀)ⁿ ∀z∈U(z₀, r)

Man bemerke, dass in der letzten Gleichheit die Vertauschung von Summation und Integration erlaubt ist, da die geometrische Reihe auf U(z₀, r) gleichm¨aßig konvergiert!

Offensichtlich sind umgekehrt Abbildungen mit Werten in normierten R¨aumen, die sich als Potenzreihe darstellen lassen, holomorph in oben definiertem Sinn.

Lemma. Seien Ω ⊂ C, X ein Banach-Raum und F : Ω → X, sowie G : Ω → X⁰ holomorph. Dann ist auch die Funktion h(z) := hF(z), G(z)i holomorph als Abbildung von Ω nach C.

Beweis. DaF undGholomorph sind, gilt auf einer Umgebung vonz0 ∈Ω, dass F(z) = P∞

n=0a_n(z−z₀)ⁿ, sowie G(z) = P∞

k=0b_k(z−z₀)^k (X⁰ ist ebenso ein Banach-Raum).

Somit folgt

h(z) =h

∞

X

n=0

a_n(z−z₀)ⁿ,

∞

X

k=0

b_k(z−z₀)^ki

=

∞

X

n=0

ha_n,

∞

X

k=0

b_k(z−z₀)^ki(z−z₀)ⁿ

=

∞

X

n=0 n

X

k=0

ha_k, bn−ki(z−z0)^n−k(z−z0)^k

!

=

∞

X

n=0 n

X

k=0

ha_k, bn−ki

!

(z−z₀)ⁿ

Die Umordnung der Doppelreihe ist erlaubt, da die Potenzreihen absolut konvergieren.

2 Interpolation von Normen und der Satz von Riesz-Thorin

Mit Hilfe des neu geschaffenen Holomorphie-Begriffes werden wir nun Normen interpo- lieren. Das nachfolgende Kapitel wurde dabei gr¨oßtenteils

”Interpolation of Norms and of Linear Operators“ aus [4], S. 105-109, nachempfunden.

Definition.

• F¨ur einen linearen Raum X, der mit zwei Normen k · k₀ und k · k₁ versehen ist, und Ω = {z ∈ C : 0 ≤ <(z) ≤ 1} bezeichnen wir mit X den Raum aller X- wertigen Funktionen, die auf einer Umgebung von Ω bez¨uglichk · k₀, als auchk · k₁, holomorph und beschr¨ankt sind. Offensichtlich ist X ein linearer-Raum.

• Wir definieren eine Abbildung k · k:X →[0,∞) :F 7→ kFk, wobei kFk:= sup

y∈R

{kF(iy)k₀,kF(1 +iy)k₁}.

Offensichtlich definiertk · k eine Norm aufX, denn es gilt

– Ist 0≡F ∈ X, so gilt offensichtlich, dasskFk= 0. Sei umgekehrtkFk= 0, so folgt insbesondere, dasshF(z), x⁰i= 0, f¨ur allex⁰ ∈X_k·k⁰ 0

1, z∈ {z∈C:<(z) = 1}. Da diese Abbildungen holomorph auf ihrem Definitionsbereich sind, folgt aus dem Identit¨atssatz, dass es sich bereits um Nullabbildungen handelt, also hF(z), x⁰i= 0,∀x⁰ ∈X_k·k⁰ 0

1,∀z∈Ω. DaX_k·k⁰ 0

1 punktetrennend auf X operiert, muss aber auchF auf das Nullelement inX abbilden. Somit gilt F ≡0∈ X. – F¨urλ∈Cund F ∈ X gilt:

kλFk= sup

y∈R

{kλF(iy)k₀,kλF(1 +iy)k₁}

= sup

y∈R

{|λ| · kF(iy)k₀,|λ| · kF(1 +iy)k₁}=|λ| · kFk

– F¨urF, G∈ X gilt:

kF+Gk= sup

y∈R

{kF(iy) +G(iy)k₀,kF(1 +iy) +G(1 +iy)k₁}

≤sup

y∈R

{kF(iy)k₀+kG(iy)k₀,kF(1 +iy)k₁+kG(1 +iy)k₁}

≤sup

y∈R

{kF(iy)k₀,kF(1 +iy)k₁}+ sup

y∈R

{kG(iy)k₀,kG(1 +iy)k₁}

=kFk+kGk

• F¨ur 0< α < 1 sei X_α := {F ∈ X : F(α) = 0} - offensichtlich ist X_α ein linearer Unterraum. Wir sagen, dassk · k₀ undk · k₁konsistent sind, wennX_αabgeschlossen inX ist, f¨ur alle α∈(0,1).

Das folgende Lemma gibt uns nun ein hinreichendes Kriterium f¨ur die Konsistenz.

Lemma. Existiert f¨ur jedes x ∈X ein stetiges (in Hinblick auf sowohl k · k₀, als auch k · k₁), lineares Funktional x⁰, sodass hx, x⁰i 6= 0, so sind k · k₀ und k · k₁ konsistent.

Beweis. Sei Fn ∈ X, n ∈ N und gelte Fn → F auf X. F¨ur ein beliebiges lineares, stetiges Funktional x⁰ ∈ X_k·k⁰ 0

0

∩X_k·k⁰ 0

1 sind die Funktionen hF_n(z), x⁰i beschr¨ankt und holomorph auf Ω. Zus¨atzlich konvergiert hF_n(z), x⁰i gleichm¨aßig auf ∂Ω := {z ∈ C :

<(z) = 0∨ <(z) = 1}, wie man aus der Definition der Norm auf X sieht.

Nach dem Satz von Phragm´en-Lindel¨of nimmt hF_n(z)−F(z), x⁰i f¨ur alle n ∈ N sein betragsm¨aßiges Supremum in Ω aber genau auf ∂Ω an. Somit folgt also gleichm¨aßgie Konvergenz auf ganz Ω. Insbesondere gilt f¨ur 0< α <1, dass

hF(α), x⁰i= lim

n→∞hF_n(α), x⁰i

Sei nun also zus¨atzlich vorausgesetzt, dass die F_n ausX_α sind, so folgt hF(α), x⁰i= 0

Da x⁰ jedoch beliebig war, kann das nur bedeuten, dass F(α) = 0 und somit F ∈ X_α,

womitX_α abgeschlossen ist.

Bemerkung. Die Bedingung hx, x⁰i 6= 0 im vorangegangenen Lemma bedeutet gerade, dass X_k·k⁰ 0

0 ∩X_k·k⁰ 0

1 punktetrennend aufX operiert.

F¨ur konsistente Normen und 0< α <1 k¨onnen wir den Faktorraum X/X_α betrachten.

DaX_αabgeschlossen ist, erhalten wir eine Normk·k_X/Xα := inf_T∈Xαk·+Tk_X aufX/X_α. Betrachten wir nun die Abbildung

ι:

(X/X_α→X F 7→F(α)

Offensichtlich ist ιlinear, denn es gilt:

ι(tF +G) =tF(α) +G(α) =tι(F) +ι(G), F, G∈ X/X_α, t∈R. Zudem istι injektiv, denn aus der Definition vonX/X_α folgt, dass

ι(F) = 0⇔F(α) = 0⇔F ≡0∈ X/X_α

F¨ur den Beweis der Surjektivit¨at seix∈X fest und 06≡F ∈ X beliebig. Wir setzen G(z) :=F(z)−F(α) +x.

Offensichtlich gilt f¨ur ein beliebiges stetiges (bzgl. k · k₀ und k · k₁) lineares Funktional x⁰, dass

hG(z), x⁰i=hF(z), x⁰i+hx−F(α), x⁰i

| {z }

=const.

und somit holomorph ist. Also istGein Element aus X. Betrachten wir nun die Projek- tion vonG auf X/X_α, so haben wir ein passendes Urbild von x unterι.

Insgesamt erhalten wir, dassιein Isomorphismus ist. Somit k¨onnen wir aufX eine neue Norm k · k_α mittels kF(α)k_α := kFk_X/Xα, F ∈ X/X_α definieren und bezeichnen k · k_α als eine interpolierende Norm. Insbesondere folgt f¨ur ein x ∈ X und ein F ∈ X mit F(α) =x, dass kxk_α≤ kFk.

Satz. Seien X und Y jeweils mit zwei konsistenten Normen k · k^X₀ , k · k^X₁ bzw. k · k^Y₀, k·k^Y₁ versehen. SeiS eine lineare beschr¨ankte Abbildung vonXnach Y (bez¨uglich beiden Normpaaren), also

S ∈ B(X_k·kX 0 , Y_k·kY

0)∩ B(X_k·kX 1 , Y_k·kY

1 ).

Dann gilt S∈ B(X_k·kX α, Y_k·kY

α) f¨ur 0< α <1. Anders ausgedr¨uckt B(X_k·kX

0 , Y_k·kY

0)∩ B(X_k·kX 1 , Y_k·kY

1) = \

0≤α≤1

B(X_k·kX α, Y_k·kY

α).

Zudem gilt f¨ur die entsprechenden Abbildungsnormen kSk_α ≤ kSk^1−α₀ kSk^α₁.

Beweis. Wir bezeichnen mit Y den Raum der Y-wertigen holomorphen Funktionen.

Wir wollen nun die AbbildungS :X → Y ausdehnen aufS :X → Y, F 7→ SF, wobei SF(z) =S(F(z)), z∈Ω. Dazu m¨ussen wir zeigen, dassSF auch holomorph ist.

Als beschr¨ankte lineare Abbildung zwischen zwei normierten R¨aumen hatSeine konjun- gierte Abbildung S⁰ ∈ B(Y⁰, X⁰), wobei die topologischen Dualr¨aume hierbei nat¨urlich von den jeweils betrachteten Normen abh¨angen. Somit gilt also f¨ur ein y⁰ ∈Y⁰

hSF(z), y⁰i=hF(z), S⁰(y⁰)

| {z }

=x⁰∈X⁰

i=hF(z), x⁰i

Da der rechte Ausdruck per Definition vonF holomorph ist, ist also auchSF holomorph und somitSF ∈ Y (die Beschr¨anktheit folgt dabei elementar aus der Beschr¨anktheit von S).

Sei nun α ∈ (0,1) fest und x ∈ X mit kxk_α = 1. Dann existiert also ein F ∈ X/X_α, sodass F(α) =xund

kFk_X/Xα = 1 = inf

T∈X_αkF+Tk_X.

Somit gibt es f¨ur alle ε > 0 ein F ∈ X mit F(α) = x und kFkX < 1 +ε. Setzen wir nun G(z) := e^a(z−α)F(z), wobei a∈ R so gew¨ahlt ist, dass e^a = kSk₀· kSk⁻¹₁ , so gilt G(α) =x und somit

kSxk^Y_α =kSG(α)k^Y_α ≤ kSGkY

= sup

t∈R

{ke^a(it−α)SF(it)k^Y₀,ke^a(1+it−α)SF(1 +it)k^Y₁}

= sup

t∈R

{e^−aαkSF(it)k^Y₀, e^a(1−α)kSF(1 +it)k^Y₁}

≤sup

t∈R

{e^−aαkSk₀· kF(it)k^X₀ , e^a(1−α)kSk₁· kF(1 +it)k^X₁ }

≤max{e^−aαkSk₀, e^a(1−α)kSk₁} · kFk_X

<max{e^−aαkSk₀, e^a(1−α)kSk₁} ·(1 +ε)

=kSk^1−α₀ kSk^α₁ ·(1 +ε)

woraus die Behauptung folgt.

Ein wichtiges Beispiel f¨ur interpolierende Normen liefern uns die L^p-R¨aume. Seien (Ψ,A, µ) ein Maßraum, 1 ≤ p₀ < p₁ ≤ ∞ und X ein Teilraum von L^p0 ∩L^p1. Wir wollen nun zeigen, dass die somit auf X induzierten Normen k · k₀ und k · k₁ kon- sistent sind. Nach obigem Lemma m¨ussen wir dazu nur nachweisen, dass der Schnitt der jeweiligen Dualr¨aume punktetrennend ist. F¨ur ein f ∈ X, f 6= 0 w¨ahlen wir ein g ∈ L¹∩L^∞ ⊆L^q, 1 ≤ q ≤ ∞ mit der Eigenschaft, dass f g > 0, wenn |f|> 0. Bei- spielsweise erf¨ullt f¨urf =|f|e^iϕdie Funktiong:= min(|f|^p0,1)e^−iϕdiese Anspr¨uche. Es folgt hf, gi=R

f g dµ >0, womit die Normen konsistent sind.

Satz. Sei (Ψ,A, µ) ein Maßraum und X = L^p0 ∩L^p1 mit 1 ≤ p₀, p₁ ≤ ∞ , p₀ 6= p₁. F¨urj∈ {0,1} bezeichne k · k_j die vonL^pj induzierte Norm undk · k_α die dazugeh¨origen interpolierenden Normen. Dann stimmtk · k_α mit der von L^pα aufX indzuierten Norm

¨uberein, wobei

1 p_α = α

p₁ +(1−α) p₀

Beweis. Es reicht die Gleichheit der Normen auf dem Raum T der endlichen integrier- baren Treppenfunktionen zu zeigen. Dann gibt es n¨amlich einen isometrischen Isomor- phismus von (T,k · k_Lpα) nach (T,k · k_α). Vervollst¨andigen wir die beiden R¨aume, so existiert eine eindeutige isometrische Fortsetzung der Abbildung. Die Vervollst¨andigung

des Definitionsbereiches ist aber genau L^pα ⊇ X, womit die Normen also auch auf X

¨

ubereinstimmen. Zudem nehmen wir o.B.d.A. an, dass p0 < p1 und zeigen zun¨achst k · k_α ≤ k · k_Lpα:

Sei f ∈ T ⊆X und kfk_Lpα ≤ 1. Wir w¨ahlen F(z) = |f|^a(z−α)+1e^iϕ, wobei f = |f|e^iϕ und

a= p0−p1

p₀α+p₁(1−α)

= −1

1−α f¨urp1 =∞

Offensichtlich istF ∈ X und es giltF(α) =f. Somit folgt nach der Definition vonk · k_α, dass kfk_α≤ kFk.

Aus|F(iy)|=|f|^1−aα=|f|^pαp0 folgt nun

kF(iy)k₀ = Z

|f|^pα dµ _p¹

0 =









 Z

|f|^pα dµ _pα¹

| {z }

≤1











pα p0

≤1.

Genauso sieht man kF(1 +iy)k₁ ≤1 f¨urp₁<∞.

F¨urp1=∞ folgt das ganz einfach aus der Definition vonF. Insgesamt gilt also kfk_α ≤ kFk ≤1.

Wegen der absoluten Homogenit¨at der Normen (kβ·xk=|β| · kxk) bekommen wir nun k · k_α ≤ k · k_Lpα.

Um die umgekehrte Ungleichung zu zeigen, ben¨otigen wir nun die konjugierten Exponenten. F¨ur p0 und p1 notieren wir dazu einfach q0 und q1. Nach der Definition von pα ergibt sich

1 q_α = α

q₁ + 1−α q₀

= α

q₁ f¨urq₀ =∞

Zudem setzen wir nunX⁰ :=L^q0∩L^q1 ⊆L^qα und verwendenX⁰ f¨ur den entsprechenden Raum an holomorphen Funktionen. Nun gilt, dass die Menge aller endlichen integrierba- ren Treppenfunktionen einen Untervektorraum allerL^p-R¨aume darstellt und f¨urp <∞ sogar dicht ist. Als eine Obermenge dieser Treppenfunktionen liegt X⁰ somit dicht in L^qα.

Sei nun also f ∈ T ⊆ X beliebig mit kfk_Lpα > 1. Da X⁰ dicht in L^qα liegt, existiert ein g∈X⁰ mit kgk_Lpα ≤1 undhf, gi =R

f g dµ >1. Entsprechend muss es einG∈ X⁰ geben mit G(α) =g. Wie im ersten Teil des Beweises folgt, dasskGk ≤1.

Sei nun F ∈ X beliebig, jedoch so, dass F(α) = f. Wir betrachten nun die Funktion h(z) =R

F(z)G(z)dµ. Diese ist beschr¨ankt und holomorph auf Ω (siehe Kapitel 1 - man betrachte hierzuF(z) als Element des BanachraumesL^p0 undG(z) als Element des Ba- nachraumesL^q0). Wie aus der Definition vonF undGersichtlich ist, gilth(α)>1. Aus dem Satz von Phragm´en-Lindel¨of folgt nun, dass auch|h(z)|>1 f¨ur einz∈∂Ω. Mithilfe der H¨older-Ungleichung erh¨alt man 1<|h(z)| ≤ kFkkGk ≤ kFkund insbesondere, dass

kFk > 1. Da aber F ∈ X mit F(α) = f beliebig war, folgt bereits, dass kfk_α ≥ 1.

Daraus folgtk · k_α ≥ k · k_Lpα und somit insgesamt k · k_α=k · k_Lpα.

Als Korollar der letzten beiden S¨atze erhalten wir:

Satz von Riesz-Thorin. Seien (Ψ, µ) und (Ξ, ν) Maßr¨aume, X =L^p0(dµ)∩L^p1(dµ), Y =L^p00(dν)∩L^p01(dν) und S eine lineare Abbildung von X nach Y. Sei vorausgesetzt, dass S stetig ist alsS :Xk·k

Lpj →Yk·k

Lp0 j

, j∈ {0,1}. Dann sind auch die Abbildungen S :Xk·k_Lpα →Yk·k

Lp0 α

stetig, wobei p_α und p⁰_α wie im vorherigen Satz definiert sind. F¨ur die entsprechenden Abbildungsnormen gilt zudem

kSk_α ≤ kSk^1−α₀ kSk^α₁.

Bemerkung. Betrachtet man nur die Aussage des Satzes von Riesz-Thorin, so vermutet man vielleicht nicht, dass der/ein Beweis holomorphe Funktionen ben¨otigt. Man kann den Satz in der Tat auch mit erheblich weniger Aufwand beweisen - ohne Theorie ¨uber holomorphe Funktionen auf allgemein normierten R¨aumen und S¨atze ¨uber die Interpo- lation von Normen (vgl. [1], S. 5 ff.).

3 Ungleichungen von Hausdorff-Young

Mit dem im letzten Kapitel bewiesenen Satz von Riesz-Thorin k¨onnen wir nun ganz einfach die Ungleichung von Hausdorff-Young beweisen.

Ungleichung von Hausdorff-Young. Sei 1≤p≤2 und q der entsprechende konju- gierte Exponent. Ist f ∈L^p(T) und fˆdie Fouriertransfomierte von f, dann gilt

(X

|fˆ(n)^q|)^1q ≤ kfk_Lp

Beweis. Die Abbildung F :

(L¹(T)→L^∞(Z) =`^∞ f 7→fˆ(n) = _2π¹ R_2π

0 f(e^it)e^−intdt

ist beschr¨ankt mit Abbildungsnorm 1, wobei wir Z mit dem Z¨ahlmaß versehen. Fasst man F als Abbildung von L²(T) nach L²(Z) = `² auf, so bekommt man sogar eine Isometrie (Parsevalgleichung).

Es gilt also:

F :L¹(T)→`^∞, kF k= 1

F :L²(T)→`², kF k= 1

Setzt man nunp₀= 1, p₁ = 2,p⁰₀ =∞,p⁰₁= 2, so folgt aus dem Satz von Riesz-Thorin F :L^p(T)→`^q, kF k ≤1

Alternativ erh¨alt man auch folgende Version der Ungleichung:

Ungleichung von Hausdorff-Young. Sei 1 ≤ p ≤ 2 und q der entsprechende kon- jugierte Exponent. Ist f ∈ L^p(Rⁿ) und fˆ die Fouriertransfomierte von f, dann gilt fˆ∈L^p(Rⁿ) und

kfˆk_L^q ≤(2π)^nqkfk_L^p Beweis. F¨ur die Fouriertransformation auf L¹(Rⁿ) gilt

|fˆ(ζ)|=| Z

f(x)e^−i(x,ζ)dx| ≤ Z

|f(x)|.

Zudem folgt aus der Parsevalgleichung f¨urL²(Rⁿ)-Funktionen Z

|fˆ(ζ)|²dζ = (2π)ⁿ Z

|f(x)|²dx.

Somit ist die FouriertransformationF ein Operator auf folgenden R¨aumen:

F :L¹(Rⁿ)→L^∞(Rⁿ), kF k= 1 F :L²(Rⁿ)→L²(Rⁿ), kF k= (2π)ⁿ² Aus dem Satz von Riesz-Thorin folgt nun, dass

F :L^p(Rⁿ)→L^q(Rⁿ), wobei

1

p = 1−α 1 +α

2 = 1− α 2, 1

q = α 2 Somit gilt f¨ur die Abbildungsnorm

kF k ≤1^1−α((2π)ⁿ²)^α= (2π)^nq

4 Satz von Phragm´ en-Lindel¨ of

F¨ur holomorphe Funktionen auf einem beschr¨ankten Gebiet G gilt bekanntlich das Maximumprinzip. Das bedeutet, dass die Funktion ihr betragsm¨aßiges Maximum nur am Rand von G annimmt oder andernfalls konstant auf G ist. Mithilfe der S¨atze von Phragm´en-Lindel¨of kann man das schwache Maximumprinzip auch auf unbeschr¨ankte Gebiete ausdehnen. Insbesondere ben¨otigen wir im Kapitel ¨uber die Interpolation von Normen die nachfolgende Version - der Beweis daf¨ur wurde aus [5], S. 257 f., ¨ubernom- men.

Satz von Phragm´en-Lindel¨of. Seien Ω = {x+iy :a < x < b}, Ω = {x+iy : a≤ x≤b} und f :O⊇Ω→Ceine Funktion.

Ist f stetig auf Ω und holomorph auf Ω und gilt |f(z)| < B f¨ur alle z ∈ Ω und ein B <∞, so folgt

M(x)^b−a≤M(a)^b−xM(b)^x−a (a < x < b),

wobei M(x) = sup{|f(x+iy)|:−∞< y <∞}f¨ur a≤x≤b. Insbesondere gilt also

|f| ≤max(M(a), M(b)).

Beweis. Nehmen wir zun¨achst an, dass M(a) = M(b) = 1. In diesem Fall m¨ussen wir nur zeigen, dass |f(z)| ≤1 f¨ur alle z∈Ω.

Wir definieren f¨ur jedesε >0 eine Hilfsfunktion hε(z) = 1

1 +ε(z−a) (z∈Ω)

Offensichtlich gilt<(1 +ε(z−a)) = 1 +ε(x−a)≥1 auf Ω, wodurch

|h_ε|= 1

|1 +ε(z−a)| ≤1 Daraus folgt

|f(z)h_ε(z)| ≤1 (z∈∂Ω)

Außerdem gilt |1 +ε(z−a)| ≥ |=(1 +ε(z−a))|=ε|y|und somit

|f(z)h_ε(z)| ≤ B

ε|y| (z∈Ω) (1)

Schneiden wir nun Ω an den Linien y = ±^B_ε ab, so erhalten wir ein Rechteck R. Aus den letzten beiden Gleichungen folgt, dass|f h_ε| ≤1 auf∂R. Aus dem Maximumsprinzip folgt nun aber bereits, dass |f h_ε| ≤1 auf R. Jedoch zeigt 1, dass sogar |f h_ε| ≤ 1 auf ganz Ω. Damit erhalten wir also, dass |f(z)h_ε(z)| ≤ 1 f¨ur alle z ∈ Ω und alle ε > 0.

Halten wir nun zfest und lassen εgegen 0 gehen, so bekommen wir f(z)≤1.

F¨ur den allgemeinen Fall setzen wir

g(z) =M(a)(b−z)/(b−a)

M(b)(z−a)/(b−a)

, wobei f¨urM >0 und komplexesw,M^w definiert ist, als

M^w =e^wlog(M).

Da log(M) reell ist, folgt, dass g holomorph ist, keine Nullstellen hat und ¹_g auf Ω beschr¨ankt ist. Zudem gilt

|g(a+iy)|=M(a) |g(b+iy)|=M(b),

womit ^f_g die Voraussetzungen vom ersten Fall erf¨ullt. Es folgt also |^f_g| ≤ 1 auf Ω und somit

|f(z)| ≤ |g|=

M(a)^b−xM(b)^x−a _b−a¹

z∈Ω, was ¨aquivalent ist zu

M(x)^b−a≤M(a)^b−xM(b)^x−a (a < x < b).

Literaturverzeichnis

[1] Vorlesung ¨uber Funktionenr¨aume, Universit¨at Bonn - Abteilung f¨ur Angewand- te Analysis, Webdokument: http://www.iam.uni-bonn.de/AngewandteAnalysis/

skripte/Funktionenr.pdf, zuletzt abgerufen am 3. Dezember 2011.

[2] Moritz Gerlach. Vektorwertige holomorphe Funktionen und der Satz von Vitali, Uni- versit¨at Ulm, 2006, Webdokument: http://www.uni-ulm.de/~s_mgerla/vitali.

pdf, zuletzt abgerufen am 3. Dezember 2011.

[3] Harro Heuser. Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. Vieweg +Teubner, 4.

Auflage, 2006.

[4] Yitzhak Katznelson. An Introduction to Harmonic Analysis. Cambridge University Press, third corrected edition, 2002.

[5] Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, third edition, 1987.