S¨atze ¨uber differenzierbare Funktionen

(1)

Mathematik f¨ur Informatiker II Differenzierbarkeit

Satz C.108 (Satz von Rolle)

Sei f : [a,b]→Rstetig mit f(a) =f(b)und auf(a,b)differenzierbar.

Dann existiertξ∈(a,b)mit f⁰(ξ) = 0.

Satz C.109 (Mittelwertsatz, Lagrange)

Sei f : [a,b]→Rstetig und auf(a,b)differenzierbar. Dann existiert ξ∈(a,b)mit

f⁰(ξ) =f(b)−f(a) b−a .

Bemerkung:

Anschaulich heißt dies: In mindestens einem Punktξist die Tangente parallel zur Sekante von (a,f(a)) nach (b,f(b)).

Im Weg-Zeit-Diagramm: Zu mindestens einem Zeitpunkt erreicht man genau die Durchschnittsgeschwindigkeit (Differenzierbarkeit

vorausgesetzt).

Satz C.110 (Verallgemeinerter Mittelwertsatz, Cauchy)

Es seien f,g auf[a,b]stetig und auf(a,b)differenzierbar. Ferner sei g⁰(x)6= 0f¨ur alle x∈(a,b). Dann existiertξ∈(a,b)mit

f⁰(ξ)

g⁰(ξ)= f(b)−f(a) g(b)−g(a).

Satz C.111 (Regel von de l’Hospital)

(a) Es seien f,g auf(a,b)stetig differenzierbar mitξ∈(a,b), f(ξ) =g(ξ) = 0und g⁰(x)6= 0f¨ur alle x6=ξ. Dann gilt:

xlim→ξ

f(x) g(x)= lim

x→ξ

f⁰(x) g⁰(x), falls der rechte Grenzwert existiert.

(b) Es seien f,g stetig differenzierbar auf(a,b)\ξ,

x→∞lim f(ξ) = lim

x→∞g(ξ) =∞und g⁰(x)6= 0f¨ur alle x6=ξ. Dann gilt:

x→limξ

f(x) g(x)= lim

x→ξ

f⁰(x) g⁰(x), wenn der rechte Grenzwert existiert.

Beispiel C.112

1. lim

x→1 x³−1

x−1 =

”

0 0“

= lim

x→1 3x²

1 = 3

2. lim

x→∞

lnx

x =

”^∞^∞“

= lim

x→∞

1/x 1 = 0.

3. Das Verfahren funktioniert nat¨urlich nur bei”unbestimmten Ausdr¨ucken“ wie ⁰₀:

Zum Beispiel ist lim

x→0 x

e^x = 0, aber lim

x→0 1 e^x = 1.

(2)

Bemerkung:

H¨aufig ist vor der Anwendung der Regel von de l’Hospital eine Umformung erforderlich:

f(x)·g(x) = f(x)

1 g(x)

bzw.f(x)−g(x) =f(x)·g(x)· 1 g(x)− 1

f(x) .

Beispiel C.113

xlim→∞x·lnx+ 1 x−1= lim

x→∞

ln_x−^x+1₁

1 x

=

” 0 0“

= lim

x→∞

ln(x+ 1)−ln(x−1)

1 x

=

” 0 0“

= lim

x→∞

1 x+1−x−¹1

−x¹²

= lim

x→∞

(x−1)−(x+ 1) (x+ 1)·(x−1) ·(−x²)

= lim

x→∞

(−2)·(−x²) x²−1 = 2

H¨ohere Ableitungen

Definition C.114

SeiI⊆Rein offenes Intervall,f :I→Rdifferenzierbar, das heißt es existiert die Funktionf⁰:I→R.

I Istf⁰aufI stetig, so nennt manf stetig differenzierbar.

I Istf⁰aufI differenzierbar, so nennt manf zweimal differenzierbar undf⁰⁰:= (f⁰)⁰die zweite Ableitung vonf aufI.

I Entsprechend erkl¨art mann-malige Differenzierbarkeit undn-malige stetige Differenzierbarkeit f¨urn∈N.

Man schreibtf⁽⁰⁾=f,f⁽¹⁾=f⁰, . . .,f⁽ⁿ⁾= (f⁽ⁿ⁻¹⁾)⁰.

H¨ohere Ableitungen

Beispiel C.115

1. F¨urf(x) =e^x istf⁰(x) =e^x, . . . , f⁽ⁿ⁾(x) =e^x f¨ur allen. Es istf beliebig oft differenzierbar aufR.

2. F¨urf(x) =x³istf⁰(x) = 3x²,f⁰⁰(x) = 6x,f⁽³⁾(x) = 6,f⁽ⁿ⁾(x) = 0 f¨ur allen≥4. Also istf beliebig oft differenzierbar aufR.

3. F¨urf :R⁺→R,f(x) = lnx istf⁰(x) = ¹_x,f⁰⁰(x) =−x¹²,. . . Daher istf beliebig oft differenzierbar aufR⁺.