Über die Stone-Cech Kompaktifizierung der natürlichen Zahlen, RAMSEY Theorie und den Satz von HINDMAN

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Uber die Stone-Cech Kompaktifizierung der nat¨ ¨ urlichen Zahlen, RAMSEY Theorie und den Satz von HINDMAN

Florian Karl Richter 5. M¨ arz 2010 in Wien

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitende Worte zur Ramsey-Theorie 1

1.1 Ramsey Party Theorem . . . 2

1.2 Satz von Schur . . . 2

2 Die Topologie von βN 3 2.1 Ultrafilter aufN . . . 3

2.2 Die Topologie . . . 3

2.3 Eigenschaften vonT . . . 4

2.4 Stone-Cech Kompaktifizierung . . . 5

3 βNals Halbgruppe 6 4 Idempotente Elemente 7 4.1 Ein Satz ¨uber linksstetige kompakte Halbgruppen . . . 7

4.2 Idempotente Elemente vonβN . . . 8

4.3 Satz von HINDMAN . . . 9

4.4 Weitere Eigenschaften von idempotente Ultrafilter . . . 9

5 Anhang 10 5.1 Anhang I . . . 10

6 Literatur 11

1 Einleitende Worte zur Ramsey-Theorie

Unter dem Begriff der “Ramsey¹ Theorie“ versteht man keine Theorie im eigentlichen Sinn, oder in anderen Worten, kein Gebiet der Mathematik, sodass sich eine Theorie rund um eine Struktur oder rund um einen oder mehrere Hauptsätze aufbauen würde. Vielmehr wird der Begriff der Ramsey Theorie oft als Sammelbegriff verstanden, der mehrere Sätze aus der Kombinatorik zusammenfasst, die sich vor allem darin ähneln, dass bestimmten Mengen, die in einer gewissen Weise “groß“ sind, besondere Eigenschaft zugeschrieben werden. Die mathematische Auslegung von “groß“ kann hier jedoch von Satz zu Satz stark variieren.

Ziel dieser Seminararbeit wird es sein, den Satz von HINDMAN zu beweisen, ein Satz, der sich ebenfalls in die Ramsey Theorie einordnen lässt. Eine sehr abgeschwächte Form dieses Satzes ist der Satz von Schur, der sich mit Hilfe desRamsey party theorem beweisen lässt.

1Frank Plumpton Ramsey; geb. 1903,†1930

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1.1 Ramsey Party Theorem

DasRamsey party theorem ist ein gutes Beispiel, wenn man den Einstieg in die Ramsey Theorie finden möchte. Denn einerseits braucht man keinerlei mathematische Vorkenntnisse um Gefallen an dem Satz zu finden, der sich mit einem Partygetümmel der besonderen Art beschäftigt, andererseits vermittelt er ein verständliches Bild davon welche Richtung das Ganze einschlagen wird, sollte man sich dazu entschließen tiefer in die Ramsey Theorie vorzudringen.

Er besagt, dass sich auf einer Party, auf der sich unendlich viele Gäste aufhalten, immer eine unendliche Teilmenge von Gästen finden lässt, in welcher entweder ein jeder der Gäste alle anderen kennt, oder wo keiner einen kennt. In anderen Worten lässt sich zu jeder Zweifärbung der Menge aller ungeordneten Paaren von natürlichen Zahlen eine unendliche Teilmenge vonNfinden, sodass alle ungeordneten Paare, die von dieser gefundenen Teilmenge erzeugt werden, die selbe Farbe besitzen.

Beweis : Für den Beweis kann man sich wie folgt einen leichten zielführenden Algorithmus überlegen:

Man wähle einen Gasta₁aus, der unendlich viele Bekannte auf der Party besitzt. Unter den Bekannten von a₁ wähle man erneut einen Gast a₂ aus, der von den Bekannten von a₁ ebenfalls unendlich viele kennt. Unter den Bekannten vona₂, die aucha₁kennt, wähle man erneut einen Gasta₃aus, der ebenfalls unendlich viele Bekannte unter den Bekannten vona₁ unda₂ hat. Auf diese Weise fährt man fort. Nun gibt es zwei Möglichkeiten: Wenn der Algorithmus nicht abbricht, d.h. wenn man immer wieder einen Gastan findet, der unendlich viele Bekannte unter den Bekannten, diea1 ... a_n−1 teilen, besitzt, dann ist die Menge {a1, a2, ...} eine Menge, wo ein jeder alle anderen kennt. Bricht jedoch der Algorithmus nach demn-ten Schritt ab, so ist es der Fall, dass aus der Menge der Bekannte, diea1bisan teilen, kein Gast gefunden werden kann, der aus dieser Menge noch unendlich viele andere Gäste kennt. Gleichzeitig ist diese Menge aber unendlich groß. Deshalb kann man aus dieser Menge einen Gast b1 wählen und die endlich vielen Bekannten, die er noch in jener Menge besitzt aus der Menge eliminieren. Da nur endliche viele eliminiert wurden ist die neue Menge, die man erhält, wieder unendlich groß und in ihr sind wiederum nur Gäste, wo ein jeder nur endlich viele andere kennt. Man wählt wieder einen beliebigen Gastb₂ aus dieser Menge aus und eliminiert alle seine Bekannten, welche auch wieder nur endlich viele sind. b₁ und b₂ kennen einander natürlich nicht, weil b₂ aus der Menge stammt, die nach der ersten Eliminationsphase entstand. Nach diesem Verfahren erhält man eine zweite Folgeb₁,b₂, ... von Gästen,

wo es der Fall ist, dass keiner den anderen kennt.

1.2 Satz von Schur

Die Aussage des Satzes von Schur erinnert besonders an die Aussage des Satzes von HINDMAN (der erst weiter unten formuliert wird) und kann auch als Spezialfall von diesem interpretiert werden. Jedoch lässt sich der Satz von Schur noch sehr einfach mit Zuhilfenahme desRamsey party theorem auf elementare Art und Weise beweisen, während sich ein elementarer Beweis des Satzes von HINDMAN als sehr lang und kombinatorisch aufwendig erweist. In dieser Seminararbeit wird jedoch kein elementarer Zugang gewählt um den Satz von HINDMAN zu beweisen, sondern ein topologischer Zugang über die Stone- Cech Kompaktifizierung von N. Darüber hinaus wird uns dieser Zugang zu (teils auch überraschenden) zusätzlichen Ergebnissen führen.

Der Satz von Schur besagt nun, dass es zu jeder n-Färbung der natürlichen Zahlen 2 Zahlen x,y gibt, sodass x, y, und x+y die selbe Farbe besitzen. Dieser Satz lässt sich nun mit den eben Bewiesenen leicht zeigen. Man ordnet einfach jedem ungeordneten Paar (zi, zj), zi < zj, die selbe Farbe wie zj−zi zu und erhält eine n-Färbung der Menge aller ungeordneten Paare vonN. Nach demRamsey party theorem erhält man nun Zahlenz1< z2< z3, woz2−z1,z3−z1undz3−z2die selbe Farbe haben. Hier wird nicht die oben bewiesene Version desRamsey party theoremverwendet, sondern dessen Verallgemeinerung von dem Fall einer 2-Färbung der Menge aller ungeordneten Paare vonNauf den Fall einer n-Färbung. Der Beweis desRamsey party theorem für eine n-Färbung der Menge aller ungeordneten Paare vonNverläuft

¨ahnlich wie der oben angegebene Beweis. Man w¨ahle nunx=z₂−z₁undy=z₃−z₂.

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2 Die Topologie von β N

2.1 Ultrafilter auf N

2.1.1.: Definition: Ein Ultrafilterpuber¨ Nist definiert als ein maximaler Filter überN, oder anders formuliert, ein nichtleeres Mengensystem überN, das folgende vier Eigenschaften erfüllt:

(i) ∅∈/p,

(ii) A∈pundA⊂B impliziertB∈p, (iii) A, B∈pimpliziertA∩B∈p,

(iv) (Maximalit¨at): f¨ur r∈NundN=A₁∪... ∪Arexistiert ein i, mit 1≤i≤r, sodassA_i∈p.

2.1.2.: Definition: Die Menge aller Ultrafilter ¨uberNsei im weiteren mitβNbezeichnet, alsoβN:=

{p ⊂ 2^N\{∅} : p erfüllt (i), (ii), (iii) und (iv)}. Diese Schreibweise leitet sich aus der gängigen Bezeichnung für die Stone-Cech Kompaktifizierung einer TopologieX durchβX ab. In der Tat handelt es sich hierbei um die Stone-Cech Kompaktifizierung der natürlichen Zahlen, worauf weiter unten noch genauer eingegangen wird.

Ein einfaches Beispiel für Elemente ausβNwären die so genannten Hauptfilter überN. Ein Hauptfilter zum Punktk∈Nist jener Ultrafilter überN, der gegen den Punktkkonvergiert², also jener Ultrafilter, der sich genau aus den Teilmengen vonNzusammensetzt, diekenthalten:

µk:={A⊂N : k∈A}

Jedoch ist es abgesehen von den Hauptfiltern unmöglich, eine explizite Darstellung eines Elementes von βNanzugeben. Damit ist uns aber nur ein abzählbarer, also sehr kleiner Teil der überabzählbaren Menge βN³wirklich bekannt, was einer der Gründe ist, warumβNein Raum ist, von dem man sich nur schwer eine Vorstellung machen kann. Dieser Eindruck wird noch einmal verstärken, wenn wir βN mit einer Topologie versehen und später noch zu einer Halbgruppe erweitern.

2.2 Die Topologie

2.2.1.: Definition: F¨ur alle A⊂N seiA definiert als A :={p∈βN : A∈ p} und A definiert als A:={A : A⊂N}.

Es l¨asst sich nun unter Verwendung der Eigenschaften (i) bis (iv) auf elementare Weise nachrechnen, dass die Identit¨aten A∩B=A∩B,A∪B =A∪B undS

A∈AA=N=βNgelten, woraus umgehend folgt, dassAalle Bedingungen erf¨ullt, um die Basis einer Topologie zu bilden:

2.2.2.: Definition: Die vonAaufβNerzeugte Topologie sei mitT bezeichnet.

Aus der Eigenschaft A^c =A^c ist sofort ersichtlich, dass in dieser Topologie f¨ur alle Elemente aus der Basis A gilt, dass sie sowohl offen als auch abgeschlossen sind und damit folgt, dass A nicht nur eine Basis der offenen sondern auch eine Basis der abgeschlossenen Mengen vonT bildet.

In weiterer Folge suchen wir eine Einbettung der nat¨urlichen Zahlen inβN. Dazu haben wir den Begriff der Hauptfilter eingef¨uhrt: Wenn µk den Hauptfilter zu k bezeichnet erkennt man, dass {k}=µk gilt.

Damit ist µk also ein Element von A und daher auch offen und abgeschlossen zugleich. Ebenso ist aber{k} in N versehen mit der diskreten Topologie offen und abgeschlossen. Damit folgt aber bereits, dass die Abbildung ι : k 7→ µk eine offene und nat¨urlich auch stetige⁴ Abbildung von N nach βN ist,

2Zur Erinnerung: Ein Filter konvergiert in einer Topologie genau dann gegen einen Punkt x, wenn er feiner ist als der UmgebungsfilterU(x).T2ist z.B. auch eine hinreichende Bedingung daf¨ur, dass dieser Grenzwert eindeutig ist. Weiters gilt, dass auf einer kompakten Topologie jeder Ultrafilter einen Grenzwert besitzt und dass ein Ultrafilter genau dann gleich dem Umgebungsfilter eines Punktes x ist, wenn der Ultrafilter gegen x konvergiert und x zus¨atzlich einen isolierten Punkt der Topologie darstellt.

3Genau genommen lässt sich zeigen: Die Mächtigkeit vonβNentspricht der Mächtigkeit von 2²^N.

4Jede Funktion die von den nat¨urlichen Zahlen weg in eine Topologie hinein abbildet ist bzgl. der diskreten Topologie aufNstetig.

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die die natürlichen Zahlen bijektiv mit der Menge aller Hauptfilter identifiziert. Dass ι wirklich eine offene Abbildung ist lässt sich einfach über den Umstand erklären, dass alle Mengen der Form {k}

zusammengefasst eine Basis der diskreten Topologie von N bilden, und wenn eine Basis der offenen Mengen unter einer Abbildung auf offene Mengen abgebildet werden ist die Abbildung bereits offen.

Damit ist aber die Menge aller Hauptfilter (versehen mit der Spurtopologie) bereits homöomorph zuN. Nun könnte man meinen, da sich jetzt ja Mengen ausNinβNeinbetten lassen, dass die oben definierte Notation A, A ⊂ N, als Teilmenge von βN leicht mit dem Abschluss der Einbettung ι(A) in βN zu verwechseln sei. Tatsächlich stimmen diese beiden Mengen aber überein. Um das einzusehen betrachte man den Abschluss einer Menge als den Schnitt über alle abgeschlossenen Obermengen, beziehungsweise als den Schnitt über alle Obermengen, die aus der Basis der abgeschlossenen Mengen stammen und man erhält:

ι(A) = \

B∈A,ι(A)⊂B

B = \

B⊂N,A⊂B

B=A.

Aus einer vorigen Bemerkung ist bereits bekannt, dassN=βNgilt, woraus nun ohne weiteres folgt, dass Ndicht inβNliegt.

2.3 Eigenschaften von T

2.3.1.: Satz: Die vonAerzeugte TopologieT aufβNist kompakt.

Beweis : Zuerst zeigen wir, dassAdie endliche Duchschnittseigenschaft erf¨ullt, also dass f¨ur eine Familie Ai,i∈IundAi⊂N, folgende Implikation gilt:

\

i∈F

Ai6=∅, f¨ur alleF ⊂I,F endlich ⇒ T

i∈IAi6=∅. (1)

Dazu betrachten wir die MengeF :={T

i∈FAi : F ⊂I endlich} und stellen fest, dass es sich hierbei um eine Menge handelt, die alle Eigenschaften einer Filterbasis erfüllt (weil der Schnitt zweier Mengen ausFnicht leer und wieder inFenthalten ist und weil die leere Menge nicht inFliegt). Damit können wirFzu einem Ultrafilterp∈βNfortsetzen. Für p gilt, dass erFenthält, und damit auchT

i∈FA_i für alle endlichenF ⊂I enthält. Damit enthält er insbesondere alleA_i. Also ist p∈A_i für alle i∈I. Und damit istpenthalten inT

i∈IA_i.

Sei nun eine ¨Uberdeckung von βNdurch eine Familie von offenen Mengen A_i, i∈I gegeben. O.B.d.A.

k¨onnen wir annehmen, dass alleA_i ausAstammen, da Aeine Basis der Topologie ist. Somit l¨asst sich die Familie schreiben als Ai, i ∈ I und Ai ⊂ N. Setze Bi := A^c_i. Aus S

i∈IAi = βN folgt T

i∈IA^c_i = T

i∈IA^ci = T

i∈IBi = ∅ und aus der Kontraposition von (1) folgert man die Existent einer endlichen IndexmengeF mit der EigenschaftT

i∈FBi=∅. Dann istAi, miti∈ F, eine endliche Teil¨uberdeckung

vonβN.

2.3.2.: Satz: Jede in (βN,T) konvergente Folge von Ultrafiltern ist ab einem gewissen Index konstant.

Beweis : Angenommen pn

→T pundpn 6=pm 6=pfür n6=m. Man erkennt leicht, dass es ausreichen wird, die Behauptung nur für jene Folgen zu zeigen, die diese Vorraussetzungen auch erfüllen, denn für Folgen, für die endlich viele Folgenglieder gleich sind, oder mit dem Grenzwert übereinstimmen kann man diese Glieder aus der Folge streichen und eine äquivalente Folge betrachten, die die Vorraussetzungen erfüllt, und das selbe Konvergenzverhlaten aufweist. Sind hingegen unendlich viele Folgenglieder gleich, so hat man entweder bereits eine ab einem Index konstante Folge, oder man kann eine maximale Teilfoge so auswählen, sodass alle Glieder der Teilfolge paarweise verschieden sind. Zeigt man nun die Behauptung für die Teilfolge, so folgt die Behauptung für die ganze Folge.

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WeilβNHausdorff ist, kann manp1 undpdurch Mengen ausAtrennen:

∃A1, B1⊂Nmitp1∈A1, p∈B1, A1∩B1=∅

Da aber alle bis auf endlich viele Folgenglieder von (pn)n∈N in B1 enthalten sind, kann ich nun p1 von den endlich vielen Punkten, die nicht inB1liegen trennen und erhalte eine UmgebungC1⊂A1 mit den Eigenschaften

p1∈C1undpn∈/C1 f¨urn6= 1

Das selbe Verfahren kann man aber auch mit dem N-ten Folgenglied durchf¨uhren und erh¨alt

∃CN mitpN ∈CN undpn∈/CN f¨urn6=N

Weiters kann man o.B.d.A. fordern, das C_N disjunkt zu den ersten N −1 gefundenen Mengen C_i, i≤N−1, ist. Auf diese Weise erh¨alt man induktiv eine Folge von offenen disjunkten Mengen inβNdie jeweils genau einen Punk der Folge (p_n)_n∈_Numgeben:

∃(Cn)_n∈Nmitpn∈Cn undCn₁∩Cn₂ =∅f¨urn16=n2. Nun betrachte die beiden Mengen S

i∈NC_2i und S

i∈NC_2i+1. Diese Mengen sind disjunkt und daher k¨onnen nicht beide Mengen in ein und demselben Ultrafilter enthalten sein, unabh¨angig davon, welchen Ultrafilter ich betrachte. Insbesondere ist mindestens eine der beiden nicht in p enthalten. Angenommen S

i∈NC2i w¨are diejenige der beiden, die nicht inpist. dann ist (S

i∈NC2i)^c inpenthalten und damit ist S

i∈NC2i

ceine Umgebung vonp, die allepnmit gerademnnicht enth¨alt. Insbesondere istS

i∈NC2i ceine Umgebung des Grenzwertes p, die unendlich viele Folgeglieder nicht enth¨alt, was ein Widerspruch zur

Konvergenz ist.

2.3.3.: Korollar: (βN,T) ist kompakt aber nicht folgenkompakt⁵.

2.4 Stone-Cech Kompaktifizierung

2.4.1.: Definition: Die Stone-Cech Kompaktifizierung eines topologischen Raumes (X,T) ist definiert als ein topologischer Raum (βX,Y) mit folgenden Eigenschaften:

1. (βX,Y) ist kompakt,

2. es existiert eine Abbildung ι:X →βX, sodassι: (X,T)→(ι(X),Y_ι(X)) ein Hom¨oomorphismus ist, also eine bijektive, stetige und offene Abbildung.

3. ι(X) liegt dicht inβX.

4. f¨ur jede stetige Funktionf :X→[0,1] gibt es eine eindeutige stetige Funktionf^(β):βX→[0,1], sodass f^(β)(ι(x)) =f(x) f¨ur allex∈X.

Nun wollen wir zeigen, das es sich beiβNwirklich um die Stone-Cech Kompaktifizierung vonNhandelt:

Wir wissen bereits, dassβNkompakt ist, dass es eine Einbettung gibt, die die oben erw¨ahnten Eigenschaf- ten erf¨ullt, und dassNdicht inβNeingebettet wird. Um zu zeigen, dass sich stetige Funktionen auch noch fortsetzen lassen nehmen wir an, dass f eine Funktion vonNnach [0,1] ist. DefiniereFp:={f(A) : A∈p}

fürp∈βN. Es ist leicht ersichtlich, dassFp die Eigenschaften einer Filterbasis erfüllen. Damit lässt sich Fp zu einem Ultrafilter Fp über [0,1] fortsetzen und dieser konvergiert gegen einen Punkt xp in [0,1], weil jeder Ultrafilter auf einer kompakten Topologie konvergiert. Nun definiere manf^(β)(p) =xpfür alle p∈ βN. Es ist wiederum nicht schwer festzustellen, dass das Mengensystem Fµ_k gegen den Bildpunkt vonkunter f konvergiert. Also giltf^(β)(µk) =f(k).

Nun zur Eindeutigkeit: Angenommen es g¨abe zwei Fortsetzungen von Fp zu einem Ultrafilter, einmal zuF⁽¹⁾p und einmal zuF⁽²⁾p , wobeiF⁽¹⁾p gegenxkonvergiert, undF⁽²⁾p gegeny,x6=y. Dann w¨ahle man

5Eine Topologie heißt folgenkompakt, wenn jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.

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eine UmgebungenU_x vonxdie y nicht enthält. Da für alleA∈pgiltf(A)∈F_p⊂F⁽¹⁾p und in F⁽¹⁾p nur Mengen enthalten sind, diexenthalten, gilt für alle A∈p, dassx∈f(A). Analog gilty∈f(A)∀A∈p.

Nun sind 2 F¨alle zu unterscheiden:

1.Fall: f⁻¹(Ux)∈ p: Dann wäre aber f⁻¹(Ux) eine Menge inp mit y /∈f(f⁻¹(Ux)) = Ux und damit wäre die Ursprüngliche Annahmex6=yzu einem Widerspruch geführt.

2.Fall: f⁻¹(Ux)∈/p: Dann müsste aberf⁻¹(Ux)^c=f⁻¹(U_x^c)∈pgelten, womit mitf⁻¹(U_x^c) eine Menge gefunden wäre, dessen Bild unter f das Element xnicht enthält, was ebenfalls zu einem Widerspruch führt.

Letztlich bleibt nur mehr zu zeigen, dass die eben beschriebene Fortsetzung f^(β) von f eine stetige Abbildung ist. Dazu btrachten wir das Urbild von einem offenen Intervall (δ−, δ+) unter f^(β):

(f^(β))⁻¹(δ−, δ+) =

={p∈βN : F_p konvergiert geg. einen Pkt. in (δ−, δ+)}={p∈βN : (δ−, δ+)∈F_p}=

={p∈βN : f⁻¹(δ−, δ+)∈f⁻¹(F_p)}={p∈βN : f⁻¹(δ−, δ+)∈p}=

=f⁻¹(δ−, δ+)

Damit ist gezeigt, dassβNdie Stone-Cech Kompaktifizierung vonNist.

3 β N als Halbgruppe

3.0.2.: Definition: F¨ur zwei Ultrafilter p, q∈βNist die Faltung oder Additionp+qgegeben durch p+q:={ A⊂N : { n : (A−n)∈p} ∈q}.

Hierbei ist die Menge (A−n) definiert als {m∈N : m+n∈A}.

Warum man diese Operation Addition nennt, darauf wird weiter unten noch genauer eingegangen. Dass sie aber auch den Namen Faltung trägt, rührt daher, dass man jeden Ultrafilter als endlich-additives 0-1-wertiges Wahrscheinlichkeitsmaß überNauffassen kann, wobeip(A) =

(1, A∈p

0, A /∈p. Tut man dies, so erinnert die Addition sehr stark an die Faltung, wie man sie von endlichen Borelmaßen auf topologischen Gruppen kennt. Der wesentliche Unterschied besteht darin, dass die einzigen σ-additiven Ultrafilter die Hauptfilter sind, alle anderen Ultrafilter jedoch nur endlich-additiv sind. Die σ-Additivität ist jedoch eine wichtige Vorraussetzung für den Satz von FUBINI, der verwendet wird, um die Kommutativität der Faltung zu beweisen. In weiterer Folge werden wir sehen, dass die ”Faltung” von Ultrafilter eben genau nur auf den Hauptfiltern kommutativ operiert, ansonsten jedoch nicht kommutativ ist.

3.0.3.: Lemma: Das Mengensystemp+qist wieder ein Ultrafilter.

Beweis : Man sieht unmittelbar, dassp+qein Filter ist. Weiters gilt:

(A−n)^c ={m : m+n∈A}^c={m : m+n /∈A}={m : m+n∈A^c}= (A^c−n) Um zu zeigen, dasp+qein Ultrafilter ist nehmen wir an, dassA /∈p+q:

⇒ {n : (A−n)∈p}∈/q

⇒ {n : (A−n)∈p}^c∈q

⇒ {n : (A−n)∈/ p} ∈q

⇒ {n : (A−n)^c ∈p} ∈q

⇒ {n : (A^c−n)∈p} ∈q

⇒A^c∈p+q

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Damit ist gezeigt, dasp+qein Ultrafilter ist.

Auf ¨ahnliche Art und Weise kann man nachrechnen, das die Addition aufβNassoziativ ist. Damit bildet βNmit + eine kompakte Halbgruppe.

Um die eben definierte Addition besser zu verstehen betrachten wir vorerst, wie sie auf den eigebettete Elemente vonNoperiert. Sei also m, k∈N. Dann gilt:

A∈µk+µm⇔

⇔ {n : (A−n)∈µ_k} ∈µ_m⇔

⇔m∈ {n : (A−n)∈µk} ⇔

⇔m∈(A−n)⇔

⇔m+k∈A⇔

Also istµk+µm=µm+µk =µk+m. Man sieht, dass die Addition inβNeingeschränkt auf Hauptfilter das selbe leistet wie die gewöhnliche Addition aufN. Man sieht auch, dass die Addition eingeschränkt auf Hauptfilter kommutativ ist. Für den Rest vonβNgilt das aber nicht. Genauer gesagt lässt sich zeigen, dass das Zentrum der Halbgruppe (βN,+) nur aus den Hauptfilter besteht, und nicht aus mehr.

3.0.4.: Definition: λ_p:=

(βN→βN

q7→p+q ρ_q :=

(βN→βN

p7→p+q 3.0.5.: Lemma: F¨ur festgehaltenes p istλp stetig

Beweis : λ⁻¹_p (A) =

= {q∈βN : A∈p+q}

= {q∈βN : {n : (A−n)∈p} ∈q}

= {n : (A−n)∈p}

Damit ist gezeigt, dass Urbilder von offenen Mengen aus der Basis der Topologie wieder offene Mengen

sind und damit istλp stetig.

Es ist nun aber der Fall, dassρ_q nur dann stetig ist, wenn q ein Hauptfilter ist. Im Allgemeinen ist ρ_q eine unstetige Abbildung und die Addition + :βN×βN→βNist nur stetig im rechten Argument, also linksstetig⁶.

4 Idempotente Elemente

4.1 Ein Satz ¨ uber linksstetige kompakte Halbgruppen

4.1.1.: Satz : Jede linksstetige und kompakte Halbgruppe S enth¨alt ein idempotentes Element, also einp∈S mitp²=p.

Beweis : Es sei die Menge aller abgeschlossenen, nicht leeren Unterhalbgruppen von S geordnet nach der Mengeninklusion. Betrachten wir nun eine Kette aus dieser Halbordnung, also eine Familie (S_i)_i∈I von nicht leeren abgeschlossenen Unterhalbgruppen von S mit der EigenschaftS_i₁ ⊆S_i₂ ∨ S_i₁ ⊇S_i₂ f¨ur i₁, i₂∈I, so ist T

i∈IS_i als Durchschnitt von abgeschlossenen Halbgruppen wieder eine abgeschlossene Halbgruppe. Da wir uns in einer kompakten Topologie befinden folgt aus der endlichen Durchschnittsei- genschaft zus¨atzlich, dassT

i∈IS_i nicht leer ist. Damit hat man gezeigt, dass eine jede Kette eine untere

6Vielfach wird dies in der Literatur auch als “rechtsstetig“ bezeichnet. Welchen Namen man nun dieser Eigenschaft zuschreibt ist immer wieder verschieden.

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Schranke besitzt und das Lemma von Zorn garantiert uns nun die Existenz einer minimalen abgeschlossenen UnterhalbgruppeS0 von S die nicht leer ist.

Für einp∈S₀definiere manM_pals{q∈S₀ : pq=p}. Da die Multiplikation stetig im rechten Argument ist, istM_pabgeschlossen. Betrachte weiters die MengepS₀. DaS₀kompakt und die Operation linksstetig ist, ist pS₀ eine abgeschlossene Teilmenge von S₀. pS₀ ist aber genauso eine Unterhalbgruppe von S₀. Da aberS₀minimal ist, müssenpS₀undS₀bereits übereinstimmen. Damit folgtp∈pS₀und damit die Existenz eines q∈ S₀ mit pq =p. Damit und aus der Definition von M_p folgt, dassM_p nicht leer ist.

Aber auch Mp ist f¨ur sich genommen eine Halbgruppe und inS0 enthalten. Aus der Minimalit¨at folgt

Mp =S0 und somitp∈Mp. Daraus folgt:p²=p.

Aus diesem Satz folgt, dass inβNidempotente Elemente existieren.

4.2 Idempotente Elemente von β N

4.2.1.: Definition: Zu einer Folge (x_n)_n∈_Nvon nat¨urlichen Zahlen seiF S(n_i)^∞_i=1die Menge, die mittels endlicher Summen aus den Folgegliedern von (x_n)_n∈_Nhervorgeht:

F S(ni)^∞_i=1={ni₁+...+ni_r, r∈N, i1<12< ... < ir}.

Solche unter endlichen Summen abgeschlossene Mengen nennt man auch IP-Mengen.

4.2.2.: Satz : Sei p ein idempotentes Element von (βN,+). Dann enth¨alt jede Menge vonA∈peine IP-Menge.

Beweis : SeiA∈pundp+p=p∈βN. Zu allererst sei bemerkt, dass A nicht endlich sein kann. Denn wäre A endlich, dann kann man A als endliche und disjunkte Vereinigung von Singletons schreiben. Damit müsste p aber genau eines der Singletons enthalten und wäre damit ein Hauptfilter. Aber Hauptfilter sind keine idempotenten Elemente.

AusA∈p+pfolgt {n : (A−n)∈p} ∈p. Damit ist der SchnittA∩ {n : (A−n)∈p}ebenfalls inp enthalten. Also findet man einn₁∈AsodassA₁:=A∩(A−n₁)∈p. Da die MengeA∩{n : (A−n)∈p}in pliegt und damit unendlich groß ist, besitzt man sogar unendlich viele Wahlm¨oglichkeiten f¨ur ein solches n1.

A1 ist wieder in penthalten, so wie A zuvor. Daher kann man den selben Schritt f¨ur A1 wiederholen.

Aus A1 ∈p+p folgt {n : (A1−n)∈ p} ∈ pund damit A1∩ {n : (A1−n) ∈p} ∈p. Also findet man wieder einn2 ∈Asodass A2:=A1∩(A1−n2)∈p. Da die MengeA∩ {n : (A−n)∈p} wieder unendlich groß ist, kann man o.B.d.A.n2> n1 w¨ahlen.

F¨urA2 gilt:A2=A1∩(A1−n2) =A∩(A−n1)∩(A−n2)∩(A1−n1−n2) und damit folgtn1+n2∈A.

F¨uhren wir dieses Verfahren fort so erhalten wir eine MengenfolgeAiund eine Zahlenfolgenimitni+2∈ Ai+1=Ai∩(Ai−ni+1),i= 0,1,2, ...

Weil sichAiimmer wieder schreiben l¨asst alsAi=A∩...∩(A−n1−n2−...−ni) giltF S(ni)^∞_i=0⊂A.

4.2.3.: Satz: Zu jeder Folge (x_i)_i∈_Nexistiert ein idempotentes Elementp∈βN, sodassF S(x_i)^∞_i=0∈p.

Beweis : Sei Γ =T∞

n=1F S(xi)^∞_i=n. Aus der endlichen Durchschnittseigenschft folgt, dass Γ nicht leer ist.

Klarerweise ist Γ auch kompakt. Es ist nicht schwer einzusehen, dass Γ unter der Addition abgeschlossen ist⁷, also ein linksstetige und kompakte Halbgruppe ist. Daher wissen wir, dass es ein Elementp ∈ Γ gibt mit p+p = p. Also p ∈ T∞

n=1F S(xi)^∞_i=n und damit insbesondere p ∈ F S(xi)^∞_i=1. Damit gilt

F S(xi)^∞_i=1∈p.

7Siehe Anhang I

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4.3 Satz von HINDMAN

4.3.1.: Satz von Hindman: Der Satz von Hindman (oder “finit sums theorem“) besagt, dass man zu jeder endlichen PartitionierungSr

i=1Ci =N, Ci₁∩Ci₂ =∅ f¨uri16=i2, eine PartitionCi₀ findet, sodass diese eine IP-Menge enth¨alt.

Beweis : Wir wissen, dass es inβNein Elementpgibt, mitp+p=p. Da (Ci)^r_i=1 eine Partitionierung vonNist folgt aus der (iv) Eigenschaft f¨ur Ultrafilter, dass eine der Partitionen,Ci₀, in p enthalten ist.

Damit enth¨altCi₀ eine IP-Menge.

4.3.2.: Satz (finit unions theorem): F¨ur jede endliche Partitionierung von F ={F ⊂N : F ist endlich},F =Sr

i=1Ci undCi1 ∩ Ci2 =∅ füri₁6=i₂, findet man eine PartitionCi0, die eine unendliche Folge von nichtleeren und disjunkten Mengen (U_i)_i∈_N zusammen mit allen möglichen Vereinigungen U_i₁∪...∪U_i_k, k∈N, enthält. O.B.d.A. kann man zusätzlich annehmen, dass maxU_i <minU_i+1. Beweis : Uber die Bijektion¨ ϕ : F → N definiert durch {i₁, ..., i_k} 7→ 2ⁱ¹ + ... + 2ⁱ^k, welche die Eigenschaftϕ(A) +ϕ(B) =ϕ(A ∪ B) fürA ∩ B=∅ besitzt, kann man diesen Satz sofort mit Hilfe des

Satzes von Hindman beweisen.

4.3.3.: Satz: F¨ur jede endliche Partitionierung einer IP-Menge gibt es eine Partition, die eine IP-Menge enth¨alt.

Beweis : In Satz (4.2.3) wurde bereits gezeigt: Zu jeder IP-Menge gibt es einen idempotenten Ultrafilter p, der diese Menge enth¨alt. Daraus kann man schließen, dass auch eine der Partitionen in p enthalten ist und als Element eines idempotenten Ultrafilters enth¨alt diese Partition wieder eine IP-Menge.

4.4 Weitere Eigenschaften von idempotente Ultrafilter

Definiert man die Multiplikation aufβNals

p∗q:={A⊂N:{n: (An⁻¹)∈p} ∈q}, wobeiA∗n⁻¹={m∈N:m∗n∈A},

so kann man jeden der oben geführten Beweise für die Addition von Ultrafiltern ohne weiter Schwierigkei- ten auf die Multiplikation übertragen. Allgemein kann man alle Ergebnisse sogar für (βG,·β) verwenden, wobei (G,·) eine Halbgruppe,βGdie Menge aller Ultrafilter undp·βq:={A⊂G:{x: (Ax⁻¹)∈p} ∈q}

ist.

Es gilt also f¨ur die Multiplikation:

• p∗q∈βN

• µm∗µk=µ_m∗k

• Die Multiplikation ist linksstetig.

• (βN,∗) ist eine kompakte linksstetige Halbgruppe. Daraus folgt die Existenz eines idempotenten Ultrafiltersp=p².

• SeiP S(xi)^∞_i=1={xi₁∗...∗xi_r, r∈N, i1<12< ... < ir}. Jedes ElementA⊂Neines idempotenten Ultrafilters p=p²enthält eine IP Menge, also eine bezüglich endlichen Produkten abgeschlossene Menge. Weiters gibt es zu jeder Folge (xi)i∈N einen idempotenten Ultrafilter p, der P S(xi)^∞_i=1 enthält.

(10)

4.4.1.: Satz: Sei Γ der Abschluss der Menge aller additiven(multiplikativen) idempotenten Elementen ausβN. Dann ist p∈Γ wenn und nur dann wenn jede p-große⁸ Menge A eine additive(multiplikative) IP Menge enth¨alt.

Beweis : IstA∈p∈Γ dann giltp∈A.Aist aber eine offen Umgebung und weilpaus dem Abschluss

¨uber alle idempotenten Ultrafilter kommt mussA einen nicht leeren Durchschnitt mit der Menge aller idempotenten Elmente haben. Also∃q ∈A mit q=q+q(q=q²), und damit A∈q. Damit enth¨alt A eine IP-Menge.

Gilt andererseits dass jede MengeA∈peine IP-Menge enth¨alt, so folgt f¨ur jede offene UmgebungAvon p aus der BasisAder Topologie (das sind genau alleAmitA∈p) und Satz (4.2.3), dass der Schnitt von Amit der Menge aller idempotenten Ultrafilter nicht leer ist. Das bedeutet jedoch, dass pim besagtem

Abschluss enthalten ist.

4.4.2.: Lemma: Sei Γ wie im Satz (4.4.1). Dann bildet Gamma ein rechtes Ideal in (βN,∗).

Beweis : Sei p∈Γ, q∈ βN undA ∈p∗q. Dann gilt{x∈N: Ax⁻¹ ∈p} ∈q und insbesondere ist {x∈N:Ax⁻¹∈p} nicht leer. Wählexso, dassAx⁻¹ ∈p. Weil p in Γ liegt, undAx⁻¹∈pfolgt, dass Ax⁻¹eine IP-Menge enthält. Es existiert demnach eine Folge (y_n)_n∈N, sodassF S(y_i)^∞_i=1⊂Ax⁻¹. Daraus folgt aber F S(xy_i)^∞_i=1 ⊂A und damit enthält A eine IP-Menge. Das gilt aber nun für alleA ∈ p∗q.

Nach dem letzten Satz muss damitp∗q∈Γ gelten.

4.4.3.: Satz : F¨ur jede endliche Partitionierung der nat¨urlichen Zahlen Sr

i=1Ci = N, Ci₁∩Ci₂ =∅ für i1 6=i2, lässt sich eine PartitionCi₀ finden, sodass diese zugleich eine additive IP-Menge und eine multiplikative IP-Menge enthält.

Beweis : Aus den vorangegangenen Sätzen wissen wir, dass Γ, als der Abschluss über die Menge aller additiv-idempotenten Ultrafilter, ein Rechtsideal bzgl. der Multiplikation ist. Damit ist Γ aber eine Unterhalbgruppe von (βN,∗) und damit eine kompakte linksstetige Halbgruppe bzgl.∗. Damit existiert ein Ultrafilter pin Γ mit p² =pund weil paus Γ stammt gilt zusätzlich p+p=p. Über p und über die (iv) Eigenschaft der Ultrafilter findet man nun die Partition, die sowohl eine multiplikative, sowie

additive IP-Menge enth¨alt.

5 Anhang

anhang.sec)

5.1 Anhang I

Γ :=T∞

n=1F S(xi)^∞_i=n. Zu zeigen ist, das Γ unter der Addition abgeschlossen ist:

p, q∈Γ

p+q={A⊂N:{n: (A−n)∈p} ∈q}

z.z.:{m: (F S(xi)^∞_i=n)−m)∈p} ∈q f¨ur allen∈N 1.Fall:m:=xj,j≥n

⇒(F S(x_i)^∞_i=n−x_j)⊃F S(x_i)^∞_i=j+1∈p 2.Fall:m:=Pk

l=1xj_l mitxj_l≥n,l= 1, ..., k

⇒Mit dem selben Argument wie zuvor folgt (F S(xi)^∞_i=n)−m)∈p 3. Fall:m /∈F S(xi)^∞_i=n

8Wie bereits weiter oben erw¨ahnt kann jeder Ultrafilter als endlichadditives Maß angesehen werden. Eine Menge heißt dabei p-groß, wenn das p-Maß von ihr gleich 1 ist.

(11)

⇒(F S(xi)^∞_i=n)−m)∩F S(xi)^∞_i=n=∅ ⇒(F S(xi)^∞_i=n)−m)∈/ p

Aus den drei F¨allen ergibt sich {m : (F S(x_i)^∞_i=n)−m) ∈ p} = F S(x_i)^∞_i=n und damit folgt auch die Behauptung.

6 Literatur

V.Bergelson: Minimal Idempotents and Ergodic Ramsey Theory Topics in Dynamics and Ergodic Ramsey Theory 8-39, London Math. Soc. Lecture Note Series 310, Cambridge University Press, Cam- bridge, (2003)

URL(vom 30. Dezember 2009):http://www.math.ohio-state.edu/~vitaly/vbkatsiveli20march03.

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