Swanhild Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al
Fakultät für Mathematik und Informatik
Vorkurs Mathematik
5. – 9.10.2015
1 Zahlbereiche
Natürliche Zahlen
Der grundlegende Zahlenbereich ist die Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, . . .}.
In vielen Fällen ist es sinnvoll die Zahl 0 mit einzubeziehen:
N
0= N ∪ {0} = {0, 1, 2, . . .}.
Ganze Zahlen
Die Menge der ganzen Zahlen ist
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Die natürlichen Zahlen sind eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen.
Rationale Zahlen
Brüche aus ganzen und natürlichen Zahlen (ungleich Null) bilden die rationalen Zahlen
Q = n m
n : m ∈ Z, n ∈ N o
.
Rationale Zahlen lassen sich als endliche Dezimalzahlen oder unendliche periodische Dezimalzahlen darstellen.
Beispiele:
1
2 = 0.5; 633
25 = 25.32; 1
3 = 0.3333 . . . = 0.3;
14
44 = 0.3181818 . . . = 0.318; 73
18 = 4.05.
Was versteht man unter Erweitern und Kürzen von Brüchen? Wird der Wert eines Bruches dabei geändert oder beibehalten?
Wiederholen Sie an selbstgewählten Beispielen, wie man Brüche addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert. Formulieren Sie jeweils eine entsprechende Gesetzmäßigkeit mit Hilfe von Variablen.
Ganz allgemein gefragt: Wozu braucht man in der Mathematik und in
den Natur-/Ingenieur- bzw. Wirtschaftswissenschaften Variablen?
Irrationale Zahlen
Irrationale Zahlen sind nicht periodische, unendliche Dezimalzahlen.
√ 2 ist eine irrationale Zahl.
Beispiele:
√ 2 = 1.14142 . . . ; π = 3.14159 . . . ; e = 2.71828 . . .
Reelle Zahlen
Die Menge der rationalen Zahlen Q und die Menge aller irrationalen Zahlen bilden die Menge der reellen Zahlen R .
Bei allen bisherigen Beispielen handelt es sich also um reelle Zahlen.
Zur Visualisierung reeller Zahlen benutzt man oft den Zahlenstrahl.
Markieren Sie auf diesem die Zahlen −2, −0.5, 0,
23,
32, √ 2, √
3 und π.
Ein Beweis der Irrationalität von √
2 findet sich bereits in Euklids Elementen aus dem 3. oder 4. Jh. v. Chr. – bis zur 2. Hälfte des 19. Jh.
das nach der Bibel weitverbreitetste Buch der Weltliteratur.
Erarbeiten Sie sich Euklids Beweisidee anhand geeigneter Quellen.
2 Lineare Gleichungen
Einer der einfachsten Gleichungstypen ist die lineare Gleichung ax = b
Dabei sind a, b ∈ R gegeben und x ∈ R gesucht.
Im Fall a 6= 0 ist die eindeutige Lösung gegeben durch x = b
a .
Wie verhält es sich mit der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen im Fall a = 0?
Finden Sie Argumente, weshalb die Division durch Null nicht sinnvoll
definiert werden kann.
3 Binomische Formeln und quadratische Gleichung
Erste binomische Formel
(a + b)
2= a
2+ 2ab + b
2Statt eines Beweises verdeutlichen wir die Aussage geometrisch:
Zweite binomische Formel
(a − b)
2= a
2− 2ab + b
2(a − b)
2+ b
2+ 2(ab − b
2) = a
2⇐⇒ (a − b)
2+ 2ab − b
2= a
2⇐⇒ (a − b)
2= a
2− 2ab + b
2Dritte binomische Formel
(a + b)(a − b) = a
2− b
2Versuchen Sie sich nun an einem Beweis, d. h. multiplizieren Sie aus.
Hausaufgabe: Finden Sie eine geometrische Visualierung der dritten binomischen Formel. Beginnen Sie mit einem Rechteck mit
Seitenlängen a und a + b.
Die quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax
2+ bx + c = 0, mit a, b, c ∈ R , a 6= 0.
Dividiert man beide Seiten durch a erhält man die Normalform x
2+ px + q = 0,
wobei p =
baund q =
aczu setzen sind.
Assoziiert mit diesen Gleichungen ist die quadratische Funktion f (x) = ax
2+ bx + c, a, b, c ∈ R , a 6= 0,
deren Nullstellen (Argumente x
0mit f (x
0) = 0) genau die Lösungen der erstgenannten quadratischen Gleichung sind.
Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.
Visualisierung einer Parabel und ihrer Nullstellen
Im Fall a = 1 (hier gezeichnet) spricht man von einer Normalparabel.
Satz 3.1 (p–q–Formel, Mitternachtsformel).
Im Falle D :=
p42− q ≥ 0 hat die Gleichung x
2+ px + q = 0 die reellen Lösungen
x
1/2= − p 2 ±
r p
24 − q.
Für D < 0 gibt es hingegen keine reelle Lösung.
Lösen Sie die quadratischen Gleichungen x
2+ 4x − 5 = 0 und x
2− 2x + 1 = 0.
Beweisen Sie die p–q–Formel. Führen Sie dazu für den Term x
2+ px
eine quadratische Ergänzung durch.
Gleichungen, die sich auf quadratische zurückführen lassen Hierbei ist vor allem an folgendes zu denken:
Ausklammern von x bzw. einer Potenz x
m,
Substitutionen der Form t = x
m(z. B. t = x
2bei der biquadratischen Gleichung),
Mischformen aus vorgenannten Methoden.
Machen Sie sich die Vorgehensweisen folgender Beispiele klar:
x
5− 2x
4− 2x
3= 0,
x
4+ 4x
2− 5 = 0,
x
7+ 4x
5− 5x
3= 0.
Scheitelpunktdarstellung von Parabeln Durch simples Ausmultiplizieren bestätigt man:
Satz 3.2.
Eine Parabel y = ax
2+ bx + c (a 6= 0) kann äquivalent in der Scheitelpunktform
y = a(x − x
S)
2+ y
Smit x
S= −
2abund y
S= c −
4ab2dargestellt werden. Der Punkt (x
S, y
S) heißt Scheitelpunkt der Parabel.
Die Parabel ist für a > 0 nach oben und für a < 0 nach unten geöffnet.
Beispiel 1
f (x) = (x − 1)
2− 4
= x
2− 2x + 1 − 4
= x
2− 2x − 3
Beispiel 2
f (x) = −(x − 1)
2+ 4
= −x
2+ 2x − 1 + 4
= −x
2+ 2x + 3
Exkurs: Kegelschnitte
Bei der Parabel handelt es sich um einen Kegelschnitt. Weitere Kegelschnitte sind die Ellipse (Spezialfall: Kreis) und die Hyperbel.
Bild: Duk/OgreBot (Wikimedia Commons)
Auf der Ellipse ist die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Brennpunkten F
1und F
2gleich einer gegebenen Konstante.
Bild: Ag2gaeh (Wikimedia Commons)
Stimmen die Brennpunkte überein, ergibt sich der Kreis als Spezialfall.
Auf der Hyperbel ist die Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Brennpunkten gleich einer gegebenen Konstante.
Bild: Ag2gaeh (Wikimedia Commons)
Wo finden sich Kegelschnitte in Natur und Umwelt wieder?
Die Gleichung des Kreises mit Radius r und Mittelpunkt (x
M, y
M) lautet (x − x
M)
2+ (y − y
M)
2= r
2.
Liegt der Mittelpunkt im Ursprung ((x
M, y
M) = (0, 0)), ergibt sich speziell
x
2+ y
2= r
2.
Die Gleichungen von Ellipse und Hyperbel mit Mittelpunkt im Ursprung, Koordinatenachsen als Hauptachsen und Halbachsen a und b lauten
x
2a
2+ y
2b
2= 1 und x
2a
2− y
2b
2= 1.
Wählt man als Mittelpunkt (x
M, y
M), so sind x und y wieder durch
x − x
mbzw. y − y
mzu ersetzen.
4 Polynome und ihre Nullstellen
p(x) = a
nx
n+ a
n 1x
n 1+ . . . + a
1x + a
0 Gradnf¨uhrender
Koeffizient Absolutglied
a
n, a
n−1, . . . , a
1, a
0... Koeffizienten a
n= 1 ... normiertes Polynom
Motivierende Frage: Kann z. B. man die Nullstellen von
p(x) = x
3− 5x
2+ 5x − 1 analytisch bestimmen?
Satz 4.1 (Polynomdivision).
Sind f (x) und g(x) Polynome mit g(x) 6= 0, dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome q(x) und r(x) mit
f (x) = g(x)q(x) + r(x) bzw. f (x)
g(x) = q(x) + r(x) g(x) . Entweder ist r(x) = 0, d.h. f (x) ist durch g(x) (ohne Rest) teilbar, oder der Grad von r(x) ist kleiner als der Grad von g(x).
Satz 4.2 (Abspaltung von Linearfaktoren).
x − x
0ist Linearfaktor des Polynoms p(x) genau dann, wenn x
0Nullstelle des Polynoms ist. p(x) ist also in diesem Fall ohne Rest
durch x − x
0teilbar.
Exkurs: Der Satz von Vieta
Sind x
1, x
2die Lösungen der quadratischen Gleichung x
2+ px + q = 0,
d. h. die Nullstellen des Polynoms p(x) = x
2+ px + q, so lässt sich das Polynom auch in der Form
p(x) = (x − x
1)(x − x
2)
schreiben. Durch Ausmultiplizieren und Vergleichen ergibt sich Satz 4.3 (von Vieta).
Für die Lösungen x
1und x
2der quadratischen Gleichung x
2+ px + q = 0 gilt
p = −(x
1+ x
2) und q = x
1· x
2.
Doch wie gelangt man an Nullstellen von Polynomen höherer Ordnung?
Mitunter hat man bei ganzzahligen Koeffizienten Glück:
Satz 4.4.
Besitzt das Polynom p(x) ganzzahlige Koeffizienten, so ist jede ganzzahlige Nullstelle Teiler des Absolutglieds.
Beispiel: Das Absolutglied des Polynoms p(x) = x
3− 12x
2+ 47x − 60 ist −60. Als ganzzahlige Nullstellen kommen somit ±1, ±2, ±3, ±4, ±5,
±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30 und ±60 in Frage.
Durch systematisches Probieren erhalten wir x
1= 3 als Nullstelle, denn 3
3− 12 · 3
2+ 47 · 3 − 60 = 27 − 108 + 141 − 60 = 0.
Wir wissen jetzt also, dass p(x) ohne Rest durch x − 3 teilbar ist.
Die Abspaltung des Linearfaktors erfolgt jetzt per Polynomdivision, analog zum schriftlichen Dividieren von Zahlen:
(x
3− 12x
2+47x −60) : (x − 3) = x
2− 9x + 20 x
3− 3x
2−9x
2+ 47x
−9x
2+ 27x 20x − 60 20x − 60 0 Folglich ist
p(x) = x
3− 12x
2+ 47x − 60 = (x − 3)(x
2− 9x + 20).
Die quadratische Gleichung x
2− 9x + 20 = 0 besitzt die Lösungen x
2/3= − −9
2 ±
r (−9)
24 − 20 = 9 2 ±
r 81 4 − 80
4 = 9 2 ± 1
2 , d. h. die restlichen beiden Nullstellen sind x
2= 4 und x
2= 5. Das Polynom p(x) lässt sich faktorisieren gemäß
p(x) = (x − 3)(x − 4)(x − 5).
Ermitteln Sie auf diese Weise die Lösungen der kubischen Gleichung
x
3− 5x
2+ 5x − 1 = 0.
5 Gleichungen, Ungleichungen und Beträge
Motivierendes Beispiel und Warnung: Gesucht sind alle reellen Lösungen der Gleichung
x + 2 x
2− 4 = 1.
Nach Multiplikation beider Seiten mit x
2− 4 ergibt sich die quadratische Gleichung
x + 2 = x
2− 4 ⇐⇒ x
2− 4 − x − 2 = x
2− x − 6 = 0.
Die p–q–Formel liefert x
1/2= 1
2 ± r 1
4 + 6 = 1 2 ±
r 1 + 24 4 = 1
2 ± 5 2 und damit die beiden Lösungen x
1= 3 und x
2= −2.
Das ist falsch! Doch wo liegt der Fehler?
Ein Plot ist kein Nachweis, aber eine gute Idee!
Im Plot sieht man, dass x = 3 die einzige Lösung der Gleichung
x+2
x2−4
= 1 ist. Weiterhin liegt in x = 2 eine Polstelle vor.
Das wird auch deutlich, wenn man x
2− 4 = (x − 2)(x + 2) schreibt.
Richtige Lösung
Wegen x
2− 4 = (x − 2)(x + 2) ist der Nenner für x = −2 bzw. x = 2 nicht definiert, da sonst durch Null dividiert würde.
Für x 6= −2 und x 6= 2 gilt x + 2
x
2− 4 = x + 2
(x + 2)(x − 2) = 1
x − 2 = 1 ⇐⇒ 1 = x − 2 ⇐⇒ x = 3.
Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösung x = 3.
Da für x 6= ±2 äquivalent umgeformt wurde, gibt es keine weiteren
Lösungen, und die Probe dient lediglich der Prüfung auf Rechenfehler.
Lösen von Gleichungen
Eine Gleichung kann immer auch als Nullstellenaufgabe f (x) = 0
!aufgefasst werden. Vorgehensweise:
Man bestimme den maximalen Definitionsbereich von f .
Durch äquivalentes Umformen vereinfache man die Gleichung so, dass die Lösungen einfach bestimmt/abgelesen werden können.
Grundsatz: Auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe tun.
Äquivalente Umformungen sind:
Addition, Subtraktion,
Multiplikation mit einer Zahl ungleich Null, Division durch eine Zahl ungleich Null,
Anwendung von eineindeutigen Funktionen (Begriffe später), sofern
alles definiert ist.
Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung x − 2
x + 1 + x
x − 1 = 1 + 2x
x
2− 1
Betrag und Betragsgleichungen Definition:
|x| :=
x, x ≥ 0,
−x, x < 0.
Der Betrag |x| gibt den Abstand des Punkts x von 0 auf der
Zahlengeraden an. Der Abstand ist nichtnegativ.
Beträge von Funktionen
|f(x)| =
f (x), f(x) ≥ 0,
−f (x), f (x) < 0.
Beispiel: f (x) = x − 1
Beispiel: f (x) = −x
2+ 2x + 3
Betragsgleichungen
Beim Auflösen von Beträgen wird für jeden in der Gleichung vorkommenden Betrag eine Fallunterscheidung notwendig.
Die Gleichung
|x| = a, a ∈ R , a > 0,
hat z. B. die Lösungen x
1= −a und x
2= a.
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
|2x − 1| = 2.
Achten Sie dabei auf eine saubere Unterscheidung der Fälle 2x − 1 ≥ 0 und 2x − 1 < 0.
Stellen Sie die Situation auch geometrisch dar.
Äquivalentes Umformen von Ungleichungen
Wird auf beiden Seiten der Ungleichung eine reelle Zahl addiert oder subtrahiert, so ändert sich das Relationszeichen nicht.
Wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer positiven reellen Zahl multipliziert (oder dividiert), so ändert sich das
Relationszeichen nicht.
Wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer negativen reellen Zahl mulipliziert (oder dividiert), so kehrt sich das Relationszeichen um.
Bestimmen Sie alle Lösungen der Ungleichung −4x + 3 < x − 2.
Betragsungleichungen
Wie bei den Betragsgleichungen ist bei der Auflösung jedes vorkommenden Betrags eine Fallunterscheidung durchzuführen.
Bestimmen Sie alle x ∈ R , für die gilt: 2x < |x − 1|.
6 Funktionen und ihre Umkehrbarkeit
Definition 6.1.
Seien A und B Mengen. Eine Funktion f : A → B ist eine Vorschrift, durch die jedem x ∈ A genau ein y = f (x) ∈ B zugeordnet wird.
A heißt Definitionsbereich von f , B heißt Zielmenge von f , und f (A) := {f (x) : x ∈ A} ⊆ B heißt Wertebereich oder Bild von f . Zu einer gegebenen Menge A
0⊆ A heißt
f (A
0) := {f(x) : x ∈ A
0} ⊆ B
das Bild von A
0unter f . Zu einer gegebenen Menge B
0⊆ B heißt f
−1(B
0) := {x ∈ A : f (x) ∈ B
0}
das Urbild von B
0unter f.
Definition 6.2.
Eine Funktion f : A → B heißt
injektiv (eineindeutig), wenn für alle x
1, x
2∈ A mit x
16= x
2stets f (x
1) 6= f (x
2) gilt,
surjektiv, wenn es zu jedem y ∈ B ein x ∈ A gibt mit y = f(x), bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist.
Ist f bijektiv, so existiert die Umkehrfunktion
f
−1: B → A, f
−1(y) = x :⇔ y = f (x).
Der Graph der Umkehrfunktion f
−1ergibt sich aus dem Graphen der Funktion f durch Spiegeln an der Geraden y = x.
y = f (x) ⇐⇒ f
−1(y) = f
−1(f (x)) = x
Die gezeigten Wurzelfunktionen x 7→ √
x und x 7→ √
3x sind die
Umkehrfunktionen von f(x) = x
2und f (x) = x
3mit den
nichtnegativen Zahlen als Definitionsbereich.
Definition 6.3 (Wurzel).
Die n-te Wurzel, n ∈ N , aus einer reellen Zahl a ≥ 0, ist diejenige nichtnegative reelle Zahl b, für die b
n= a gilt. Man schreibt b = √
na.
Die n-te Wurzel bzw. die Wurzelfunktion f (x) = √
nx ist nur für
nichtnegative x ≥ 0 definiert.
7 Potenzen und Potenzgesetze
1. Schritt: x
n, n ∈ N , also eine natürliche Zahl (ungleich Null). Wie jeder weiß, gilt:
10
6· 10
3= 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10
| {z }
· 10 · 10 · 10
| {z }
= 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10
| {z }
= 10
96+3 = 9 Faktoren
Das gilt deshalb auch allgemein für jede reelle Zahl x ∈ R und natürliche Zahlen m, n ∈ N
x
n· x
m= x · x . . . x · x
| {z }
· x · x . . . x · x
| {z }
= x · x . . . x · x · x . . . x · x
| {z }
= x
n+mn Faktoren m Faktoren n+m Faktoren
sowie analog (x
m)
n= x
(mn)und
xxmn= x
m−n, falls m > n.
Rationale und reelle Exponenten 2. Schritt: Wir definieren zunächst x
n1. Die Umkehrfunktion zu x
n(x > 0) ist x
n1:= √
nx. Sie erfüllt die Gleichung
x
1nn= x.
Wegen der diskutierten Probleme mit der Umkehrfunktion bei geradem Exponenten n definiert man x
n1nur für nichtnegative x.
Für positive rationale Exponenten definieren wir x
mn=
x
n1m= ( √
nx)
m, x ≥ 0, n, m ∈ N .
3. Schritt: Per Definition ist x
0= 1 für alle x ∈ R .
4. Schritt: Negative ganze Zahlen −n, n ∈ N . Für x 6= 0 gilt x ·
x1= 1 und damit auch
x
n· 1
x
n= 1 = x
nx
n= x
n1 x
n. Deshalb definiert man x
−n:=
x1n, und es gilt
x
m· x
−n= x
mx
n= x
m−n. Ergebnis: Für rationale Zahlen r =
mnist
x
mn= ( √
nx)
m.
Für irrationale α ∈ R wird x
αmittels Stetigkeitsargument definiert: Zu jeder irrationalen Zahl α gibt es eine Folge rationaler Zahlen mit
n→∞
lim r
n= α, und wir definieren:
x
α:= lim
n→∞
x
rn.
Potenzgesetze
Für beliebige reelle Zahlen a, b, c ∈ R und natürliche Zahlen n ∈ N sowie m ∈ Z gelten die folgenden Potenzgesetze:
(a
b)
c= a
(bc), a > 0, a
b+c= a
ba
c, a > 0, (ab)
c= a
cb
c, a, b > 0,
a
−b= 1
a
b, a > 0 a
b−c= a
ba
c, a > 0 a
1n= √
na, a ≥ 0.
a
mn= √
na
m= ( √
na)
m, a ≥ 0.
8 Potenz- und Wurzelgleichungen
Wurzel und Quadrat
Für beliebige reellen Zahlen x gilt
√
x
2= p
(−x)
2= p
|x|
2und somit
√
x
2= |x|.
Somit hat die Gleichung
√ x
2= a im Fall a < 0 keine reelle Lösung,
im Fall a ≥ 0 zwei reelle Lösungen, nämlich x = a und x = −a.
Achtung: Die Lösung x = −a im zweiten Fall wird häufig vergessen!
Quadrieren und Potenzieren mit geradem Exponenten Beispiel: Aus x = −3 folgt x
2= (−3)
2= 9. Wenden wir das Wurzelziehen als Umkehroperation an, so folgt
√
x
2= |x| = √ 9 = 3, und wir erhalten 2 Lösungen x
1= −3 und x
2= 3.
Merke: Quadrieren ist keine äquivalente Umformung!
Trotzdem wird man in vielen Fällen quadrieren, um eine Lösung zu erhalten. In diesem Fall muss man eine Probe machen, um beim Quadrieren entstandene Scheinlösungen zu identifizieren.
Das Phänomen tritt analog bei sämtlichen Potenzen mit geradem
Exponenten auf.
Potenzieren mit ungeradem Exponenten
Beispiel: Die Gleichung x
3= −8 besitzt die einzige Lösung x = −2.
Allerdings darf diese nicht als x = √
3−8 geschrieben werden, denn Wurzeln sind nur für nichtnegative Zahlen definiert!
Die korrekten Schritte beim äquivalenten Umformen lauten hier x
3= −8 ⇐⇒ −x
3= 8 ⇐⇒ (−x)
3= 8
⇐⇒ −x = √
38 = 2 ⇐⇒ x = −2.
Eine Probe ist entbehrlich, da äquivalent umgeformt wurde. Sie schadet
aber auch nicht.
Exkurs: Warum nicht einfach √
3−8 = −2?
Ein Grund wäre die Allgemeingültigkeit der Potenzgesetze: Es gilt für m ∈ Z, n, k ∈ N:
x
mn= x
m·kn·k. Würde man fälschlicherweise mit −2 = √
3−8 rechnen, so folgt daraus ein Widerspruch:
−2 = √
3−8 = (−8)
13= (−8)
1·23·2= (−8)
26= p
6(−8)
2= √
664 = 2.
Eine weitere Begründung lernen Sie in HM 1 kennen: in den komplexen
Zahlen hat die Gleichung x
3= −8 drei verschiedene Lösungen!
Lösen von Potenzgleichungen
Die Gleichung x
n= a mit geradem Exponenten n ∈ N besitzt:
genau die beiden Lösungen x
1/2= ± √
na, falls a ≥ 0, keine Lösung, falls a < 0.
Die Gleichung x
n= a mit ungeradem Exponenten n ∈ N besitzt:
die eindeutige Lösung x = √
na, falls a ≥ 0, die eindeutige Lösung x = − p
n|a| = − √
n−a, falls a < 0.
Lösungsverfahren für Wurzelgleichungen 1. Den maximalen Definitionsbereich bestimmen.
2. Quadrieren bzw. Potenzieren bis keine Wurzeln mehr auftreten.
3. Resultierende Gleichung lösen.
4. Abgleich der erhaltenen Lösungen mit dem Definitionsbereich.
5. Probe.
Lösen Sie die beiden Wurzelgleichungen
√ x − 1 + √
x + 2 = 1 und
p
4x
3+ 4 = √
x + 2
Die Gleichung √
x − 1 + √
x + 2 = 1
besitzt keine Lösung.
Die Gleichung
p
4x
3+ 4 = √ x + 2 besitzt die Lösungen x
0= 0, x
1=
1−√17
2
und x
2=
1+√17 2
.
9 Exponential- und Logarithmusfunktion und assoziierte Gleichungen
Die Exponentialfunktion x 7→ a
xist für a > 0 und alle x ∈ R definiert.
Gebräuchliche Werte für die Basis sind die Zahlen 10, 2 und
e ≈ 2.71828.
Plot von Exponentialfunktionen zu verschiedenen Basen:
Die Eulersche Zahl e
Ein Startkapital von 1e werde jeweils für ein Jahr angelegt. Auf Leonhard Euler (1707-1783) geht folgende Überlegung zum Zinseszins zurück:
Bei jährlicher Verzinsung mit 100% sind am Jahresende 2 e fällig.
Bei halbjährlicher Verzinsung mit 50% sind am Jahresende (1 +
12)
2e = 2.25e zu zahlen.
Bei vierteljährlicher Verzinsung mit 25% sind am Jahresende (1 +
14)
4e ≈ 2.44 e zu zahlen.
Frage: Wie wächst die zu zahlende Summe, wenn
100n% pro
1n-tel des Jahres zu zahlen sind? Wird diese Zahl beliebig groß?
Euler: Nein, denn
e := lim
n→∞
1 + 1
n
n≈ 2.71828.
Exponential- und Logarithmusfunktion
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Eponentialfunktion.
Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion ist das offene Intervall
(0; ∞). Der Logarithmus ist folglich nur für positive Argumente x
definiert. Für die Basis a gilt a > 0.
Wozu braucht man den Logarithmus?
Schallpegel (dB)
Schallintensität (W/m2) Düsenjet in 500m Entfernung
Rock-Konzert U-Bahn
PKW leise Unterhaltung
ruhiges Zimmer Blätterrauschen Hörbarkeitsgrenze 0
30 60 90 120
10-12 10-9 10-6 10-3 1
Wie laut ist laut?
Die Schallintensität I läuft von I
0= 10
−12mW2bis über 10
0= 1
mW2, deshalb ist eine logarithmische Darstellung als Schallpegel P besser:
P = 10 log
10I
.
Logarithmische Darstellung, Logarithmenpapier
Schalldruckpegel L
p= 20 log
10PP0
mit P
0= 2 · 10
−5Pa.
Wegen der über weite Strecken extrem flachen Kurve ist eine Darstellung
mit den üblichen linear skalierten Achsen wenig aussagekräftig.
Viel besser ist eine halblogarithmische Darstellung (Logarithmenpapier):
Schalldruckpegel L
p= 20 log
10PP0
mit P
0= 2 · 10
−5Pa.
Rechnen mit Logarithmen
Alle Logarithmengesetze ergeben sich aus den Potenzgesetzen.
Für x, y > 0 und a > 0, a 6= 1 sowie r, b > 0 gilt b = log
ac ⇐⇒ a
b= c,
a
b= e
blna,
log
a(xy) = log
ax + log
ay, log
ax y
= log
ax − log
ay,
log
ax
r= r log
ax, log
ax
−r= log
ax1r= − log
ax
r= −r log
ax, wichtige Beziehungen: log
a1 = ln 1 = 0, log
aa = ln e = 1.
Umrechnungsformel: log
ax =
loglogbxba
und log
ax =
lnlnax.
Logarithmen- und Exponentialgleichungen Maximalen Definitionsbereich bestimmen.
Logarithmen- und Potenzgesetze anwenden und Gleichung lösen.
Liegt die Lösung im Definitionsbereich? (Betrifft vor allem Logarithmen.)
Beispiel:
log
10(x − 2) = 1
( ⇐⇒ log
10(x − 2) = log
1010)
= ⇒ x − 2 = 10
⇐⇒ x = 12
Da x = 12 im Definitionsbereich liegt, ist x = 12 Lösung der Gleichung.
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung ln x − 1
2 ln(3x − 2) = 0.
Beispiel zur Exponentialgleichung:
9
x−1= 3
6· 3
xMaximaler Definitionsbereich: x ∈ R . Anwenden von Potenzgesetzen:
9
x−1= (3
2)
x−1= 3
2(x−1)und 3
6· 3
x= 3
6+xergibt
3
2(x−1)= 3
6+x| log
3⇐⇒ 2(x − 1) = 6 + x
⇐⇒ x = 8.
Plot zum Beispiel 9
x−1= 3
6· 3
xmit x = 8 als Lösung:
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
3
x+3− 2 · 5
x= 5
x+1+ 2(3
x+ 5
x).
10 Winkel und Winkelmessung
Winkel. . . Teil der Ebene, der von zwei Strahlen („Schenkeln“) mit gleichem Anfangspunkt („Scheitel“) begrenzt wird
Winkelmessung. . . Quantitative Erfassung der „Öffnungweite“, d. h.
lediglich der relativen Lage der Strahlen zueinander
Bogenmaß
Die Winkelmessung im Bogenmaß erfolgt unter Beachtung des Drehsinns am Einheitskreis:
1 1
0
ϕ ϕ
Die Größe des Winkels im Bogenmaß entspricht der Länge des ausgeschnitten Bogens auf dem Einheitskreis. Der Vollkreis entspricht einem Winkel von 2π (Umfang des Einheitskreises).
Einheit: Zur Identifikation als Winkel verwendet man mitunter den
Radiant: 1 rad= 1
m= 1. Mathematisch gesehen ist das verzichtbar.
Gradmaß
Beim Gradmaß wird die Größe des Vollkreises auf 360
◦normiert.
Damit entspricht dem Winkel π im Bogenmaß die Gradangabe 180
◦. Für beliebige Winkel gelten die Umrechnungsformeln
Winkel in Grad = 180
π · Winkel in Radiant Winkel in Radiant = π
180 · Winkel in Grad
Wie groß ist der rechte Winkel (90
◦) im Bogenmaß? Wieviel Grad
entspricht 1 rad?
Winkelmesser mit Grad und Radiant
Prägen Sie sich einige Werte auch im Bogenmaß ein. Achten Sie beim
Rechnen mit Winkeln auf korrekte Taschenrechnereinstellung (
◦/rad).
Bogenminuten und Bogensekunden
Im Zusammenhang mit der Gradskala sind neben der üblichen Dezimaldarstellung auch kleinere Einheiten in Gebrauch:
Eine Bogenminute (1
0) ist der 60-te Teil eines Grads.
Eine Bogensekunde (1
00) ist der 60-te Teil einer Bogenminute bzw.
der 3600-te Teil eines Grades.
Angaben mit Grad, Bogenminuten und Bogensekunden verwendet man vor allem in der Geographie und in der Astronomie.
In Google Earth kann man für den Hörsaal WIN 1005 die geografischen
Koordinaten 50
◦55
030
00N und 13
◦20
001
00O ablesen. Wie lauten die
Angaben in Grad mit den gewohnten Nachkommastellen?
Geographische Längen und Breiten
Positionen auf der Erdoberfläche lassen sich immer mittels zweier Winkel (geogr. Länge (links) und Breite (rechts)) angeben:
Welchem Weg entspricht 1
◦(1
0, 1
00) Breite auf der Erdoberfläche, wenn man sich entlang eines Meridians bewegt? Gehen Sie von einer
kugelförmigen Erde mit 40000 km Umfang aus.
Schätzen Sie Blickwinkel
In der Astronomie erfasst man Durchmesser und Abstände von Objekten an der Himmelskugel ebenfalls über Winkelgrößen. Schätzen Sie:
den Winkel, den die gespreizte Hand (Ringfinger- bis
Daumenspitze); der Handrücken; der Zeigefinger bei gestrecktem Arm überdeckt,
die „Länge“ des Großen Wagens,
den Durchmesser der Sonne (des Mondes),
den Abstand Mizar-Alkor (mittlerer Deichsel(doppel)stern des Großen Wagens),
die Auflösung des menschlichen Auges / die minimale Distanz zweier getrennt sichtbarer Sterne,
den maximale Abstand des Gallileischen Jupitermondes Ganymed zum Jupiter,
den Durchmesser des Jupiterscheibchens.
Gon und Strich
Neben Grad und Radiant sind vereinzelt noch weitere Einheiten in Gebrauch. Insbesondere wären zu nennen:
das Gon ist der 400-te Teil eines Vollkreises, ein rechter Winkel entspricht also 100 gon.
Gebrauch vor allem im Vermessungs- und Markscheidewesen.
der nautische Strich ist der 32-te Teil eines Vollkreises.
Gebrauch vor allem in der Seefahrt zur Grobpeilung.
Kompassrose mit Strichteilung
11 Winkelfunktionen und Trigonometrie
Unter dem Begriff Winkelfunktionen fasst man die Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens zusammen. Wir erinnern uns zunächst an die Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis.
1 1
cosϕ sinϕ
0
ϕ ϕ
Durch Skalieren der Skizze erhält man die klassischen
Winkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck – doch dazu später.
Betrachtet man Sinus und Kosinus in Abhängigkeit vom Winkel x, entstehen zwei 2π-periodische Funktionen, deren Graphen lediglich um
π
2
gegeneinander verschoben sind:
−1 0 1
−1 0 1
−2π −π 0 π 2π
−2π −π 0 π 2π
Sinus
Kosinus
Eigenschaften von Sinus und Kosinus
sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x), d. h. Sinus und Kosinus sind 2π-periodisch, sin(−x) = − sin(x), cos(−x) = cos(x),
d. h. der Sinus ist ungerade, der Kosinus gerade, sin(x) = cos(x − π/2) und cos(x) = sin(x + π/2), d. h. die Graphen sind um π/2 gegeneinander verschoben, sin
2(x) + cos
2(x) = 1 (Satz des Pythagoras),
sin(x) = 0 ⇔ x = kπ mit k ∈ Z und cos(x) = 0 ⇔ x = (k + 0.5)π mit k ∈ Z,
sin(x) ist auf [−π/2, π/2] streng monoton wachsend und
cos(x) ist auf [0, π] streng monoton fallend.
Markante Funktionswerte
Es ist empfehlenswert, sich wenigstens einige Funktionswerte für Sinus und Kosinus einzuprägen:
0/0
◦ π6/30
◦ π4/45
◦ π3/60
◦ π2/90
◦sin x 0
12√ 2 2
√ 3
2
1
cos x 1
√ 3 2
√ 2 2
1
2
0
Aufgrund von Periodizität, Symmetrien usw. kann man daraus auf eine Reihe weiterer Werte schließen. Zum Beispiel ist
sin 120
◦= sin 60
◦=
√ 3
2 .
Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichungen sin(2x + 1) = 0 und cos( π
2 − 3x) =
√ 3 2 . Nutzen Sie die die Eigenschaften von Seite 80 wie auch die Funktionswerttabelle auf Seite 81.
Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen
f (x) = sin(2x + 1) und g(x) = cos( π
2 − 3x).
Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse aus dem vorigen Beispiel graphisch.
Was ändert sich am Graphen einer Funktion y = f(x), wenn man x
durch kx (k > 0), −x bzw. x − c ersetzt? Was ändert sich wenn man
y = kf (x) (k > 0) statt y = f (x) betrachtet?
Tangens und Kotangens
Der Tangens von x ist definiert durch f : R \
k +
12π : k ∈ Z → R , x 7→ tan(x) := sin(x) cos(x) . Der Kotangens von x ist definiert durch
f : R \ {kπ : k ∈ Z } → R, x 7→ cot(x) := cos(x) sin(x) . Im Gebrauch ist vor allem der Tangens.
Wichtige Eigenschaften:
tan und cot sind π-periodische Funktionen,
tan(−x) = − tan(x) und cot(−x) = − cot(x), d. h. beide Funktionen sind ungerade,
tan ist auf (−π/2, π/2) streng monoton wachsend und
cot ist auf (0, π) streng monoton fallend.
Graphische Darstellung
−4
−2 0 2 4
−2π −π 0 π 2π
Tangens Kotangens
−1 0 1
−1 0
1 cot(x)
cos(x) sin(x)
x tan(x)
Dargestellt sind die Graphen von Tangens und Kotangens sowie die
graphische Interpretation am Einheitskreis.
Seiten-Winkel-Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck Im rechtwinkligen Dreieck sollten Sie zumindest folgende Beziehungen (auswendig!) kennen:
Satz des Pythagoras: a
2+ b
2= c
2.
Winkelbeziehungen: sin β =
bccos β =
ac, tan β =
baFlächeninhalt: A =
12ab
b a
c
α
β
Machen Sie sich klar, dass die Winkelbeziehungen unmittelbar aus der
Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis folgen.
Seiten-Winkel-Beziehungen im allgemeinen Dreieck Allgemein gelten in Dreiecken die folgenden Beziehungen:
Kosinussatz: c
2= a
2+ b
2− 2ab cos γ Sinussatz:
sinaα=
sinbβ=
sincγFlächeninhalt: A =
12ch
c=
12ab sin γ
b a
c
α β
hc γ
Man leite Sinus- und Kosinussatz unter Rückführung auf die
Beziehungen in rechtwinkligen Dreiecken her.
Arkusfunktionen
Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen nennt man Arkusfunktionen.
Da die trigonometrischen Funktionen auf R nicht eineindeutig sind, muss man Einschränkungen auf bestimmte Intervalle vornehmen.
Man schränkt Kosinus und Kotangens auf [0, π] sowie Sinus und Tangens auf
−
π2,
π2ein, und erhält die Umkehrfunktionen
arcsin : [−1,1]→
−π2,π2
, y= arcsin(x) :⇔ x= siny, y∈[−π2,π2], arccos : [−1,1]→[0, π], y= arccos(x) :⇔ x= cosy, y∈[0, π], arctan : R→
−π2,π2
, y= arctan(x) :⇔ x= tany, y∈[−π2,π2], arccot: R→[0, π], y=arccot(x) :⇔ x= coty, y∈[0, π].
mit Namen Arkussinus, Arkuscosinus, Arkustangens und
Arkuskotangens.
Graphische Darstellung
−1 0 1
−π/2 0 π/2 π
arcsin arccos
−4 −2 0 2 4
π
π/2
0
−π/2 arctan arccot
Graphen sämtlicher Arkusfunktionen.
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und einen guten Start ins Studium an der TU Bergakademie Freiberg!
Originalfoto: Regi51