Die arithmetisch-geometrische Mittel Ungleichung

Die arithmetisch-geometrische Mittel Ungleichung

Seien a₁,· · · , a_n positive reelle Zahlen. Dann gilt A(a₁,· · · , a_n) ≥ G(a₁,· · · , a_n), wobeiA(a₁,· · · , a_n) := 1

n

n

X

i=1

a_idas arithmetische undG(a₁,· · ·, a_n) :=

n

Y

i=1

a_i

!1/n

das geometrische Mittel genannt werden. Dabei gilt die Gleichheit genau dann, wenn a₁ =· · ·=a_n gilt.

Beweis (Ossa) Zeige 1 n

n

X

i=1

a_i

!n

≥

n

Y

i=1

a_i per Induktion in n∈N

n = 1: klar.

n = 2 : (¹₂(a₁ +a₂))²−a₁a₂ = ¹₄(a₁−a₂)² ≥0. Gleichheit gilt genau dann, wenn a₁ =a₂

n−1 7→ n: Sei im Folgenden wenigstens ein a_i von den anderen verschieden und ohne Einschr¨ankung a₁ = min (a₁,· · · , a_n) sowie a_n = max (a₁,· · · , a_n). Setze a :=

A(a₁,· · ·a_n), also gilt a₁ < a < a_n.

Sei x := a₁+a_n−a. Dann ist xa−a₁a_n = a₁a+a_na−a²−a₁a_n =a₁(a−a_n) + a(a_n−a) = (a_n−a)(a−a₁)>0 (∗). Ergo xa > a₁a_n.

Definiere b₁ :=x und b_j :=a_j, 2< j < n.

a₁· · ·a_n=a₁a_nb₂· · ·b_n−1 < axb₂· · ·b_n−1 =ab₁b₂· · ·b_n−1

≤a 1

n−1(b₁+· · ·+b_n−1) n−1

nach Induktionsvoraussetzung

=a 1

n−1(a₁+a_n−a+a₂ +· · ·+a_n−1) n−1

=a 1

n−1(a₁+· · ·+a_n−a) n−1

=a 1

n−1(na−a) n−1

=aaⁿ⁻¹ =aⁿ

Bemerkung Gilt a₁ =· · ·=a_n, so wird aus der Ungleichung (∗) eine Gleichheit.

Dies hat zur Folge, dass < und ≤ aus der Ungleichungskette zu = werden. Damit erh¨alt man die gew¨unschte Behauptung.

1

Folgerung aus der AGM-Ungleichung

Sind a₁,· · · , a_n vorgegebene und b₁,· · · , b_n beliebige positive Zahlen mit

n

X

i=1

a_i =

n

X

i=1

b_i, so gilt:

a₁ =· · ·=a_n ⇐⇒

n

Y

i=1

a_i ≥

n

Y

i=1

b_i

Gilt b_i 6=b_j f¨ur ein iund ein j, so folgt Qn

i=1a_i >Qn i=1b_i.

Bemerkung Die ¨Aquivalenz ist so zu verstehen, dass die b_i beliebig sind unter der Voraussetzung

n

X

i=1

a_i =

n

X

i=1

b_i. Sind also nicht alle a_i gleich, so gibt es b_i mit

n

Y

i=1

a_i <

n

Y

i=1

b_i

Der Beweis findet sich beispielsweise in Walter, Analysis I, S. 47/48.

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