Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten

(1)

Stochastik für das Lehramt, Sommersemester 2017 Dr. A. Szkoła Dr. M. Tautenhahn Hausaufgabe 5

Abgabe am 19. Juni 2017

Aufgabe 1. Für die Ereignisse A und B seien folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt:

P (A) = 0.25, P (B) = 0.45, P (A ∪ B) = 0.5.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten

P (A ∩ B), P (A ∩ B ) und P (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) .

Aufgabe 2. Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen und zuerst das Ergebnis des roten, dann das des blauen Würfels notiert.

(a) Modellieren Sie dieses Zufallsexperiment mit einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum.

Das heißt, geben sie die Ergebnismenge Ω sowie die zugehörige Gewichtsfunktion ρ : Ω → [0, 1] an.

(b) Es sei A das Ereignis, dass ein Pasch fällt, und B das Ereignis, dass der blaue Würfel eine größere Zahl zeigt als der rote. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten von A und B.

(c) Es sei X : Ω → N die Zufallsvariable, die die Augensumme beider Würfel angibt. Geben sie eine Abbildungsvorschrift für X an. Bereichnen Sie außerdem die Wahrscheinlichkeit, dass 5 ≤ X ≤ 7 is.

(d) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung und den Erwartungswert von X an.

Aufgabe 3. Ein Käfer beginnt zur Zeit 0 im Ursprung eines zweidimensionalen Koordina- tensystems eine Wanderung, bei der er in jeder Minute seine Position um eine Einheit nach rechts oder oben zufällig ändert.

(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Käfer nach 12 Minuten im Punkt (7, 5).

(b) Welche Strecke wird der Käfer im Mittel nach 12 Minuten in x-Richtung zurückgelegt haben?

Aufgabe 4. Es sei X eine diskrete Zufallsgröße mit Wahrscheinlichkeitsfunktion

p(x) =







(x + 1)c falls x ∈ {0, 1, 2},

0 sonst.

(a) Bestimmen Sie den Wert der Konstanten c.

(b) Ermitteln Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P (X < 2), P (X ≤ 2), P (0 < X < 2) und P (X = 1 : X < 2).

(c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.

(d) Bestimmen Sie den kleinsten Wert x ∈ R , für den P (X ≤ x) > 0.5 gilt.

Bitte wenden!

(2)

Zusatzaufgabe 5. Sei p

_n

die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse von n Kindern we- nigstens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Vereinfachend sei dabei angenommen, dass kein Kind am 29. Februar geboren ist und alle anderen Geburtstage gleich wahrscheinlich sind. Zeigen Sie (unter Verwendung der Ungleichung 1 − x ≤ e

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten

Stochastik für das Lehramt, Sommersemester 2017 Dr. A. Szkoła Dr. M. Tautenhahn Hausaufgabe 5

Abgabe am 19. Juni 2017

Aufgabe 1. Für die Ereignisse A und B seien folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt:

P (A) = 0.25, P (B) = 0.45, P (A ∪ B) = 0.5.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten

P (A ∩ B), P (A ∩ B ) und P (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) .

Aufgabe 2. Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen und zuerst das Ergebnis des roten, dann das des blauen Würfels notiert.

(a) Modellieren Sie dieses Zufallsexperiment mit einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum.

Das heißt, geben sie die Ergebnismenge Ω sowie die zugehörige Gewichtsfunktion ρ : Ω → [0, 1] an.

(b) Es sei A das Ereignis, dass ein Pasch fällt, und B das Ereignis, dass der blaue Würfel eine größere Zahl zeigt als der rote. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten von A und B.

(c) Es sei X : Ω → N die Zufallsvariable, die die Augensumme beider Würfel angibt. Geben sie eine Abbildungsvorschrift für X an. Bereichnen Sie außerdem die Wahrscheinlichkeit, dass 5 ≤ X ≤ 7 is.

(d) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung und den Erwartungswert von X an.

Aufgabe 3. Ein Käfer beginnt zur Zeit 0 im Ursprung eines zweidimensionalen Koordina- tensystems eine Wanderung, bei der er in jeder Minute seine Position um eine Einheit nach rechts oder oben zufällig ändert.

(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Käfer nach 12 Minuten im Punkt (7, 5).

(b) Welche Strecke wird der Käfer im Mittel nach 12 Minuten in x-Richtung zurückgelegt haben?

Aufgabe 4. Es sei X eine diskrete Zufallsgröße mit Wahrscheinlichkeitsfunktion

p(x) =







(x + 1)c falls x ∈ {0, 1, 2},

0 sonst.

(a) Bestimmen Sie den Wert der Konstanten c.

(b) Ermitteln Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P (X < 2), P (X ≤ 2), P (0 < X < 2) und P (X = 1 : X < 2).

(c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.

(d) Bestimmen Sie den kleinsten Wert x ∈ R , für den P (X ≤ x) > 0.5 gilt.

Bitte wenden!

Zusatzaufgabe 5. Sei p

)

p

≥ 1 − e

, und bestimmen ein möglichst kleines n mit p

≥ 1/2.

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