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Xn) eine mathematische Stichprobe aus einer auf [ϑ, ϑ+ 1] gleichm¨aßig verteilten Grundgesamtheit

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Academic year: 2021

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(1)

Prof. Dr. Uwe K¨uchler Institut f¨ur Mathematik

Statistik stochastischer Prozesse 4. ¨Ubung, 04. 06. 2007

1. Es sei (X1, X2, . . . , Xn) eine mathematische Stichprobe aus einer auf [ϑ, ϑ+ 1] gleichm¨aßig verteilten Grundgesamtheit. Man berechne die Li- kelihoodfunktion. Was kann man ¨uber Maximum-Likelihood-Sch¨atzer in diesem Fall feststellen?

2. Es sei (X1, . . . , Xn) eine mathematische Stichprobe aus einer nachfϑ(·)- verteilten Grundgesamtheit, wobei fϑ definiert ist als Dichte

fϑ(x) = 1 2

1

2π e12(x−µ)2 +1 2

1

2πσ2 e12(x−µ)2, x∈R1

ϑ= (µ, σ2)∈R1×(0,∞).

Man zeige, dass die Likelihoodfunktion kein endliches Maximum besitzt.

3. Es sei (X1, . . . , Xn) eine mathematische Stichprobe aus einer auf [0, ϑ]

gleichm¨aßig verteilten Grundgesamtheit. Zeigen Sie, dass der Maximum- Likelihood-Sch¨atzer ˆϑn f¨ur ϑ nicht zul¨assig ist.

4. Es seien Xn, n 1, reelle Zufallgsgr¨oßen ¨uber (Ω,F) und P, Q zwei Wahrscheinlichkeitsmaße aufF. Die Zufallsgr¨oßenXnm¨ogen sowohl bez.

P als auch bez. Qunabh¨angig voneinander sein und die Verteilungen Fn bzw. Gn besitzen. Es gelte

Fn¿Gn, fn:= dFn

dGn , n≥1.

Setzt man Fn := σ(X1, . . . , Xn),F := nFn, so gelten mit Pn = P|Fn, Qn=Q|Fn die Beziehungen Pn ¿Qn, n≥1 und

(2)

Ln(ω;P, Q) = dPn dQn

= Yn

1

fk(Xk(ω))·Q−f.s.

(Beweis!) Es sei

gn: = Ln12 n 1 und

%n: = EQgn.

Man ¨uberzeuge sich davon, dass %n(0,1] und %n+1 ≤%nf¨urn 1 gilt.

Es sei %:= lim

n→∞%n. Man zeige:

Entweder sind die MaßeP undQsingul¨ar zueinander oderP ist absolut- stetig zuQ. Der erste Fall liegt vor, falls%= 0, der zweite, falls% >0 gilt.

Hinweis: Man nutze, dass

Lnein nichtnegatives Supermartingal ist, das gleichm¨aßig ist, das gleichm¨aßig integrierbar ist (Beweis!) um f¨ur % = 0 zu zeigen, dassLn 0(Q−f.s.) gilt. F¨ur% >0 ist (gn) eine Cauchyfolge in L2(Q) (Beweis!). Also konvergiert gn gegen eine Zufallgsgr¨oße g mit EQg2= 1. Daraus folgt P ¿Qund dPdQ =g.

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