Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Punkte Bonus Summe

(1)

Studiengang Matrikelnummer

Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Punkte Bonus Summe

Punkte /7 /7 /6 /10 /11 /9 /50

Prüfungsklausur Höhere Mathematik I für Naturwissenschaftler

Sommersemester 2013 (23.07.2013)

Hinweis zur Bearbeitung:

Sämtliche Aussagen müssen begründet werden. Auf Antworten ohne Angabe des Lösungswegs werden keine Punkte vergeben.

1. (a) Berechnen Sie z =

⁵⁺ⁱ_2−i

. Das Ergebnis ist in kartesischer Form anzugeben.

(b) Bestimmen Sie sämtliche komplexen Lösungen der Gleichung (z − 3 + 4i)(z

⁴

+ 81) = 0 Die Ergebnisse sind ebenfalls in kartesischer Form anzugeben.

(c) Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller komplexen Zahlen z = x+iy, die beide der folgenden Bedingungen erfüllen:

Im z · Re z ≤ 0 und |z − 1| ≥ 1 2 .

Aus Ihrer Skizze sollte man erkennen, ob Randpunkte zur Menge gehören oder nicht.

2. (a) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folgen a

n

= (2n + 1)

³

n

³

, b

n

= 5

ⁿ

+ (−2)

ⁿ

10

ⁿ

, c

n

= sin(42n + 1)

√ n .

(b) Konvergieren die Reihen

∞

X

k=1

α

²

(2α + 1) k

²

(α 6= − 1 2 ),

∞

X

k=1

(−1)

^k

√ 3k ,

∞

X

k=1

k

²

− 4 2k

²

+ 8 ? Begründen Sie jeweils Ihre Aussage.

3. Gegeben ist die abschnittsweise definierte Funktion f : R → R , f (x) =

x +

¹₂

√

2, für x ≤ 0;

sin(x + γ ), für x > 0.

(a) Skizzieren Sie den Graphen von f für γ =

^π₂

.

(b) Geben Sie sämtliche Werte des reellen Parameters γ an, für die f stetig ist.

(c) Ist die in diesen Fällen entstehende stetige Funktion auch differenzierbar? Wenn nein –

gibt es andere Werte von γ, für die f differenzierbar wird?

(2)

4. Gegeben ist die Funktion

f

t

: R \{t} → R, f

t

(x) = x

²

x − t = x + t + t

²

x − t mit einem reellen Parameter t > 0.

(a) Bestimmen Sie alle Nullstellen, Polstellen sowie Lage, Art und Funktionswerte der lokalen Extrema.

(b) Die Funktion f

t

besitzt für x → ± ∞ eine Asymptote. Bestimmen Sie deren Gleichung.

(c) Skizzieren Sie den Graphen von f

t

für t = 1. Zeichnen Sie in Ihre Skizze sämtliche Asymptoten ein.

(d) Wie ist der Parameter t zu wählen, damit die Tangente an den Graphen von f

_t

an der Stelle x

₀

= 5 parallel zur x-Achse verläuft?

5. (a) Berechnen Sie

I = Z

1

0

(x − 1)e

^ax

dx

unter Rückführung auf Grundintegrale. Hierbei sei a 6= 0 ein reeller Parameter.

(b) Berechnen Sie durch Rückführung auf Grundintegrale Z x − 1

x

³

+ 2x

²

+ x dx.

(c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche in der x-y-Ebene, die von den Kurven x = 1, x

²

y = 2 und xy = 1

begrenzt wird. Zeichnen Sie vor Beginn der Rechnung eine aussagekräftige Skizze.

6. Gegeben seien eine Matrix A und ein Vektor ~b wie folgt:

A =





1 3 4

β

²

Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Punkte Bonus Summe

Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Punkte Bonus Summe

Punkte /7 /7 /6 /10 /11 /9 /50

Prüfungsklausur Höhere Mathematik I für Naturwissenschaftler

Sommersemester 2013 (23.07.2013)

Hinweis zur Bearbeitung:

Sämtliche Aussagen müssen begründet werden. Auf Antworten ohne Angabe des Lösungswegs werden keine Punkte vergeben.

1. (a) Berechnen Sie z =

. Das Ergebnis ist in kartesischer Form anzugeben.

(b) Bestimmen Sie sämtliche komplexen Lösungen der Gleichung (z − 3 + 4i)(z

+ 81) = 0 Die Ergebnisse sind ebenfalls in kartesischer Form anzugeben.

(c) Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller komplexen Zahlen z = x+iy, die beide der folgenden Bedingungen erfüllen:

Im z · Re z ≤ 0 und |z − 1| ≥ 1 2 .

Aus Ihrer Skizze sollte man erkennen, ob Randpunkte zur Menge gehören oder nicht.

2. (a) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folgen a

= (2n + 1)

n

, b

= 5

+ (−2)

10

, c

= sin(42n + 1)

√ n .

(b) Konvergieren die Reihen

X

α

(2α + 1) k

(α 6= − 1 2 ),

X

(−1)

√ 3k ,

X

k

− 4 2k

+ 8 ? Begründen Sie jeweils Ihre Aussage.

3. Gegeben ist die abschnittsweise definierte Funktion f : R → R , f (x) =

x +

√

2, für x ≤ 0;

sin(x + γ ), für x > 0.

(a) Skizzieren Sie den Graphen von f für γ =

.

(b) Geben Sie sämtliche Werte des reellen Parameters γ an, für die f stetig ist.

(c) Ist die in diesen Fällen entstehende stetige Funktion auch differenzierbar? Wenn nein –

gibt es andere Werte von γ, für die f differenzierbar wird?

4. Gegeben ist die Funktion

f

: R \{t} → R, f

(x) = x

x − t = x + t + t

x − t mit einem reellen Parameter t > 0.

(a) Bestimmen Sie alle Nullstellen, Polstellen sowie Lage, Art und Funktionswerte der lokalen Extrema.

(b) Die Funktion f

besitzt für x → ± ∞ eine Asymptote. Bestimmen Sie deren Gleichung.

(c) Skizzieren Sie den Graphen von f

für t = 1. Zeichnen Sie in Ihre Skizze sämtliche Asymptoten ein.

(d) Wie ist der Parameter t zu wählen, damit die Tangente an den Graphen von f

an der Stelle x

= 5 parallel zur x-Achse verläuft?

5. (a) Berechnen Sie

I = Z

(x − 1)e

dx

unter Rückführung auf Grundintegrale. Hierbei sei a 6= 0 ein reeller Parameter.

(b) Berechnen Sie durch Rückführung auf Grundintegrale Z x − 1

x

+ 2x

+ x dx.

(c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche in der x-y-Ebene, die von den Kurven x = 1, x

y = 2 und xy = 1

begrenzt wird. Zeichnen Sie vor Beginn der Rechnung eine aussagekräftige Skizze.

6. Gegeben seien eine Matrix A und ein Vektor ~b wie folgt:

A =





1 3 4

β

0 1 1 −6 −5

