Studiengang Matrikelnummer

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Punkte Bonus Summe

Punkte /9 /7 /5 /10 /10 /9 /50

Prüfungsklausur Höhere Mathematik I für Naturwissenschaftler

Wintersemester 2014/15 (11.03.2015)

Hinweis zur Bearbeitung:

Sämtliche Aussagen müssen begründet werden. Auf Antworten ohne Angabe des Lösungswegs werden keine Punkte vergeben.

1. (a) Für z =

√ 2

2 (−1 − i) berechne man z ¹² und gebe das Ergebnis in kartesischer Form an.

(b) Bestimmen Sie sämtliche komplexen Lösungen der Gleichung i(z ² − 6z + 40 + 5i) = −5 − 5i.

(c) Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller komplexen Zahlen z = x+iy, die die beiden folgenden Bedingungen erfüllen:

1 ≤ |z − i| ≤ 2 und Im z · e ^{−Re z} ≤ 1.

Aus Ihrer Skizze sollte man erkennen, ob Randpunkte zur Menge gehören oder nicht.

2. (a) Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen

a n = n √ n + 1

(4n)

, b n = 7 sin(n ⁸ ) n ² ,

sofern diese existieren.

(b) Berechnen Sie den Wert der Reihe

∞

X

k=0

2 ^k−3 5 ^k+1 .

(c) Untersuchen Sie die Reihe

∞

X

k=1

(k + 1) ³ 2 ^k auf Konvergenz.

3. Gegeben ist die abschnittsweise definierte Funktion

f : R → R , f (x) =







3 cos(2x), für x < 0;

ax ³ + bx ² + cx + d, für 0 ≤ x ≤ 1;

1 + ln x, für x > 1.

Bestimmen Sie alle Werte der Parameter a, b, c und d, für die f differenzierbar ist.

4. Gegeben ist die Funktion

f t : R → R, f t (x) = e ^x t − x mit einem Parameter t ∈ R .

(a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich sowie alle Nullstellen und Polstellen. Geben Sie die einseitigen uneigentlichen Grenzwerte bei Annäherung an die Polstellen an. Bestimmen Sie die Grenzwerte von f _t für x → ± ∞.

(b) Bestimmen Sie Lage und Art der lokalen Extrema sowie den Wertebereich von f _t . (c) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion für t = 1.

5. (a) Berechnen Sie den endlichen Flächeninhalt, der von der x-Achse und dem Graphen der Funktion f(x) = (2x + 1) ² − 9 begrenzt wird.

(b) Bestimmen Sie Z

4x sin(x ² + 1) dx und

Z 5x + 1

(x + 2)(x ² − 2x + 1) dx

durch Rückführung auf Grundintegrale.

6. Gegeben seien eine Matrix A und ein Vektor ~b wie folgt:

A =





2 4 −1

β 1 −3

0 β + 1 5



 und ~b =



 1 3

−5



 .

Dabei ist β ∈ R ein Parameter.

(a) Berechnen Sie die Determinante von A.

(b) Wieviele Lösungen hat – in Abhängigkeit vom Parameter β – das lineare Gleichungs- system A~ x = ~ 0?

(c) Berechnen Sie für β = 1 die Lösung des linearen Gleichungssystems A~ x = ~b mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens.

(d) Geben Sie für β = 1 den Rang von A an. Welche Dimension hat in diesem Fall die

Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems A~ x = ~ 0?