Studiengang Matrikelnummer
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Punkte Bonus Summe
Punkte /8 /11 /9 /6 /8 /8 /50
Prüfungsklausur Höhere Mathematik II für Naturwissenschaftler
Wintersemester 2014/15 (12.02.2015)
Hinweis zur Bearbeitung:
Sämtliche Aussagen müssen begründet werden. Auf Antworten ohne Angabe des Lösungswegs werden keine Punkte vergeben.
1. Gegeben ist die Matrix
A =
3 0 1 0 4 0
−1 0 5
.
(a) Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte sowie die zugehörigen Eigenvektoren. Geben Sie zu allen Eigenwerten die algebraische und geometrische Vielfachheit an.
(b) Wieviele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem A~ x = 3~ x?
(c) Geben Sie alle Eigenwerte der Matrix B = 22I − A 3 an.
2. Gegeben ist die Funktion
f : R 2 → R , f(x, y) = x 1
3 x 2 + 1 2 y 2 − 2
.
(a) Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen von f im Punkt (−1, 0) in Koordinatenform?
(b) Wie groß kann die Richtungsableitung von f im Punkt (−1, 0) maximal werden? In welcher Richtung nimmt diese Ableitung ihr Maximum an?
(c) Bestimmen Sie Art und Lage der lokalen Extrema von f . Geben Sie auch die zugehörigen Extremwerte an.
3. Wir betrachten den endlichen Körper, der von den beiden Paraboloiden z = x 2 + y 2 und z = 1 2 x 2 + y 2
+ 2 begrenzt wird.
(a) Skizzieren Sie den Schnitt des Körpers in der x-z-Ebene.
(b) Bestimmen Sie den geometrischen Schwerpunkt des Körpers. Beachten Sie dabei die
vorhandenen Symmetrien.
4. Durch die Gleichung
2y 3 = 2x 3 + 9xy
wird die folgende ebene Kurve („kartesisches Blatt“) beschrieben:
x
y
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1 0 1 2 3
