Studiengang Matrikelnummer

(1)

Studiengang Matrikelnummer

Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Punkte Bonus Summe

Punkte /10 /10 /6 /6 /10 /8 /50

Prüfungsklausur Höhere Mathematik II für Naturwissenschaftler

Wintersemester 2013/14 (13.02.2014)

Hinweis zur Bearbeitung:

Sämtliche Aussagen müssen begründet werden. Auf Antworten ohne Angabe des Lösungswegs werden keine Punkte vergeben.

1. Gegeben seien die Matrizen

A =

−13 −21

−7 1

und B =

−2 0 13 −2

(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und B sowie die zugehörigen Eigenvektoren. Geben Sie zu allen Eigenwerten die algebraische und geometrische Vielfachheit an.

(b) Ist λ = 1 + 3i ein Eigenwert der Matrix

C =







1 0 0 4

0 2 1 0

0 1 −3 −2 4 0 −2 0







?

Begründen Sie Ihre Aussage.

(c) Geben Sie alle Eigenwerte der Matrix D = B ³ + 50I an.

2. Gegeben ist die Funktion

f : R ² → R , f (x, y) = (x + y) ³ − 6xy.

(a) Geben Sie die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen von f im Punkt [0, 1] ^T in Koordinatenform an.

(b) Wie groß ist der Anstieg der Tangentialebene aus (a), wenn man sich in Richtung des Vektors ~ r = ^√ ¹ ₂ [1, 1] ^T bewegt? Welche geometrische Beziehung besteht zwischen ~ r und dem Gradienten ∇f (0, 1)?

(c) Bestimmen Sie Art und Lage der lokalen Extrema von f .

(2)

3. Gegeben sind die Funktion

f : R ² → R , f (x, y) = 3x + 6y − 1

sowie die Nebenbedingung

(x − 1) ² + y ² = 5.

(a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Methode alle Punkte, die für f unter der gegebenen Nebenbedingung als lokale Extremstellen in Frage kommen.

(b) Skizzieren Sie ein Höhenlinienbild (Karte) von f , das auch die Nebenbedingung enthält.

Entnehmen Sie dieser Skizze, ob tatsächlich Extrema existieren, und ob es sich in diesem Falle um Minima oder Maxima handelt.

4. Wir betrachten den endlichen Körper K , der von der Kegeloberfläche z = p

x ² + y ² und der Ebene z = 3 begrenzt wird.

(a) Skizzieren Sie den Schnitt des Körpers in der x-z-Ebene.

(b) Bestimmen Sie die Masse von K, wobei die Dichte durch %(x, y, z) = _(z+1) ¹

2

gegeben ist.

5. (a) Man berechne die Bogenlänge des Zykloidenstücks

~ γ : [0, π] → R ² , ~ γ(t) =

t − sin t 1 − cos t

. Hinweis: Die Beziehung √

2 − 2 cos t = 2 sin( ₂ ^t ) kann ohne Beweis verwendet werden.

(b) Besitzt das Vektorfeld

F ~ : R ² → R ² , F ~ (x, y) =

2y 2x + 1

eine Potentialfunktion/Stammfunktion? Wenn ja, bestimmen Sie eine.

(c) Man berechne die Arbeit

W = Z

~ γ

F ~ (~ x) d~ x,

wenn ~ γ die Kurve aus (a) und F ~ das Vektorfeld (Kraftfeld) aus (b) ist.

6. (a) Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems

y ⁰ (t) − e ^t y ² (t) = 0, y(0) = 1.

(b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

y ⁰⁰ (t) + 6y ⁰ (t) + 9y(t) = t ² + 1.

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Punkte Bonus Summe

Punkte /10 /10 /6 /6 /10 /8 /50

Prüfungsklausur Höhere Mathematik II für Naturwissenschaftler

Wintersemester 2013/14 (13.02.2014)

Hinweis zur Bearbeitung:

Sämtliche Aussagen müssen begründet werden. Auf Antworten ohne Angabe des Lösungswegs werden keine Punkte vergeben.

1. Gegeben seien die Matrizen

A =

−13 −21

−7 1

und B =

−2 0 13 −2

(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und B sowie die zugehörigen Eigenvektoren. Geben Sie zu allen Eigenwerten die algebraische und geometrische Vielfachheit an.

(b) Ist λ = 1 + 3i ein Eigenwert der Matrix

C =









1 0 0 4

0 2 1 0

0 1 −3 −2 4 0 −2 0









?

Begründen Sie Ihre Aussage.

(c) Geben Sie alle Eigenwerte der Matrix D = B 3 + 50I an.

2. Gegeben ist die Funktion

f : R 2 → R , f (x, y) = (x + y) 3 − 6xy.

(a) Geben Sie die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen von f im Punkt [0, 1] T in Koordinatenform an.

(b) Wie groß ist der Anstieg der Tangentialebene aus (a), wenn man sich in Richtung des Vektors ~ r = √ 1 2 [1, 1] T bewegt? Welche geometrische Beziehung besteht zwischen ~ r und dem Gradienten ∇f (0, 1)?

(c) Bestimmen Sie Art und Lage der lokalen Extrema von f .

3. Gegeben sind die Funktion

f : R 2 → R , f (x, y) = 3x + 6y − 1

sowie die Nebenbedingung

(x − 1) 2 + y 2 = 5.

(a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Methode alle Punkte, die für f unter der gegebenen Nebenbedingung als lokale Extremstellen in Frage kommen.

(b) Skizzieren Sie ein Höhenlinienbild (Karte) von f , das auch die Nebenbedingung enthält.

Entnehmen Sie dieser Skizze, ob tatsächlich Extrema existieren, und ob es sich in diesem Falle um Minima oder Maxima handelt.

4. Wir betrachten den endlichen Körper K , der von der Kegeloberfläche z = p

x 2 + y 2 und der Ebene z = 3 begrenzt wird.

(a) Skizzieren Sie den Schnitt des Körpers in der x-z-Ebene.

(b) Bestimmen Sie die Masse von K, wobei die Dichte durch %(x, y, z) = (z+1) 1

gegeben ist.

5. (a) Man berechne die Bogenlänge des Zykloidenstücks

~ γ : [0, π] → R 2 , ~ γ(t) =

t − sin t 1 − cos t

. Hinweis: Die Beziehung √

2 − 2 cos t = 2 sin( 2 t ) kann ohne Beweis verwendet werden.

(b) Besitzt das Vektorfeld

F ~ : R 2 → R 2 , F ~ (x, y) =

2y 2x + 1

eine Potentialfunktion/Stammfunktion? Wenn ja, bestimmen Sie eine.

(c) Man berechne die Arbeit

W = Z

~ γ

F ~ (~ x) d~ x,

wenn ~ γ die Kurve aus (a) und F ~ das Vektorfeld (Kraftfeld) aus (b) ist.

6. (a) Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems

y 0 (t) − e t y 2 (t) = 0, y(0) = 1.

(b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

y 00 (t) + 6y 0 (t) + 9y(t) = t 2 + 1.

(c) Geben Sie alle Eigenwerte der Matrix D = B ³ + 50I an.

f : R ² → R , f (x, y) = (x + y) ³ − 6xy.

(a) Geben Sie die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen von f im Punkt [0, 1] ^T in Koordinatenform an.

(b) Wie groß ist der Anstieg der Tangentialebene aus (a), wenn man sich in Richtung des Vektors ~ r = ^√ ¹ ₂ [1, 1] ^T bewegt? Welche geometrische Beziehung besteht zwischen ~ r und dem Gradienten ∇f (0, 1)?

f : R ² → R , f (x, y) = 3x + 6y − 1

(x − 1) ² + y ² = 5.

x ² + y ² und der Ebene z = 3 begrenzt wird.

(b) Bestimmen Sie die Masse von K, wobei die Dichte durch %(x, y, z) = _(z+1) ¹

~ γ : [0, π] → R ² , ~ γ(t) =

2 − 2 cos t = 2 sin( ₂ ^t ) kann ohne Beweis verwendet werden.

F ~ : R ² → R ² , F ~ (x, y) =

y ⁰ (t) − e ^t y ² (t) = 0, y(0) = 1.

y ⁰⁰ (t) + 6y ⁰ (t) + 9y(t) = t ² + 1.