Studiengang Matrikelnummer
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Punkte Bonus Summe
Punkte /9 /7 /7 /9 /9 /9 /50
Prüfungsklausur Höhere Mathematik I für Naturwissenschaftler
Wintersemester 2015/16 (15.03.2016)
Hinweis zur Bearbeitung:
Sämtliche Aussagen müssen begründet werden. Auf Antworten ohne Angabe des Lösungswegs werden keine Punkte vergeben.
1. (a) Bestimmen Sie die kartesische Form vonz1 = 1+2i1−2i und z2 = h√1
8(−2 + 2i)i42
. (b) Bestimmen Sie sämtliche komplexen Lösungen der Gleichung
iz (z+i)2−4(z+i) + 5
= 0.
(c) Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller komplexen Zahlenz=x+iy, die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:
Rez <0, |Imz−2| ≤1 und |z+ 2−2i| ≥1.
Aus Ihrer Skizze sollte man erkennen, ob Randpunkte zur Menge gehören oder nicht.
2. (a) Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen
an= 3n
√n+ 1√
n−1 (n≥2), bn= cos (nπ)−(−1)nn2 n2+ 1 , sofern diese existieren.
(b) Berechnen Sie den Wert der Reihe
∞
X
k=0
(−2)k+1 3k+2 . (c) Untersuchen Sie die Reihe
∞
X
k=2
(−1)k 1 pk(k−1) auf Konvergenz.
3. Gegeben ist die abschnittsweise definierte Funktion
f :R→R, f(x) =
a(1 +ax)3 für x≤0;
2be(2b−1)x für x >0.
(a) Skizzieren Sie den Graphen vonf füra=b= 1 auf dem Intervall [−1,1].
(b) Geben Sie sämtliche Werte der reellen Parameter a und b an, für dief inx0 = 0 stetig ist.
(c) Kann manaund bso wählen, dassf inx0 = 0 sogar differenzierbar ist? Wenn ja, geben Sie die betreffenden Werte für aundb an.
4. Gegeben ist die Funktion
ft:R→R, ft(x) = 1−x
t
e−tx
mit einem Parameter t >0.
(a) Bestimmen Sie alle Nullstellen sowie Lage und Art der lokalen Extrema.
(b) Analysieren Sie das Verhalten der Funktion ft im Unendlichen, d. h. fürx→ ± ∞.
(c) Geben Sie den Wertebereich der Funktionft an.
(d) Für welche Werte von t besitzt ft an der Stelle x0 = 0 eine Tangente mit Anstieg −2?
Geben Sie die Gleichung dieser Tangente an.
5. (a) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f(x) = 2−x2 und g(x) = √
x. Berechnen Sie den endlichen Flächeninhalt, der von der y-Achse und den Graphen dieser beiden Funktionen begrenzt wird.
(b) Bestimmen Sie
Z ∞ 0
3
(2x+ 4)2dx und
Z 8x−4 x3+ 4x2+ 4xdx durch Rückführung auf Grundintegrale.
6. Gegeben seien eine MatrixAund ein Vektor~bwie folgt:
A=
β −β 0 3 −7 4 2 −3 β
und ~b=
7 13 12
.
Dabei istβ ∈R ein Parameter.
(a) Berechnen Sie die Determinante von A.
(b) Wieviele Lösungen hat – in Abhängigkeit vom Parameter β – das lineare Gleichungs- systemA~x=~0?
(c) Berechnen Sie fürβ = 1die Lösung des linearen GleichungssystemsA~x=~bmit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens.
(d) Gibt es im Fall β= 1 einen Vektor~c, für den das lineare GleichungssystemA~x=~ckeine Lösung besitzt? Kann dieser Vektor~cder Nullvektor sein?
