Studiengang Matrikelnummer

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Punkte Bonus Summe

Punkte /9 /7 /5 /10 /11 /8 /50

Prüfungsklausur Höhere Mathematik I für Naturwissenschaftler

Sommersemester 2014 (29.07.2014)

Hinweis zur Bearbeitung:

Sämtliche Aussagen müssen begründet werden. Auf Antworten ohne Angabe des Lösungswegs werden keine Punkte vergeben.

1. (a) Für z = ¹ ₂ (1 + √

3i) berechne man 5

z und z ⁹ . Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

(b) Bestimmen Sie sämtliche komplexen Lösungen der Gleichung (1 + i)(z ³ − 9i) = 1 − i Die Ergebnisse sind ebenfalls in kartesischer Form anzugeben.

(c) Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller komplexen Zahlen z = x+iy, die die beiden folgenden Bedingungen erfüllen:

(Re z) ² + Im z < 2 und

Im z + 1 2

< 1 2 .

Aus Ihrer Skizze sollte man erkennen, ob Randpunkte zur Menge gehören oder nicht.

2. (a) Welche der Folgen

a _n = (n − 1) ² (n + 1) ²

(3n) ⁴ , b _n = 4 cos((2n + 1)π), c _n = 2 cos(e ⁿ ) n ⁵ . sind konvergent? Geben Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert an.

(b) Finden Sie heraus, welche der Reihen

∞

X

k=1

2(−4) ^k+2 5 ^k ,

∞

X

k=1

(−1) ^k k ^k k ²

konvergieren und welche nicht. Berechnen Sie den Wert der Reihe, sofern dies möglich ist.

3. Gegeben ist die abschnittsweise definierte Funktion

f : R → R, f (x) =

a ² e ^−a

^x , für x ≤ 0;

a + √

4 + x, für x > 0.

(a) Skizzieren Sie den Graphen von f für a = 1.

(b) Geben Sie sämtliche Werte des reellen Parameters a an, für die f in x ₀ = 0 stetig ist.

(c) Kann man a so wählen, dass f sogar differenzierbar ist? Wenn ja, geben Sie die betref-

fenden Werte für a an.

4. Gegeben ist die Funktion

f _t : R → R , f _t (x) = (x − t) e ^2x

mit einem Parameter t ∈ R .

(a) Bestimmen Sie alle Nullstellen sowie Lage und Art der lokalen Extrema.

(b) Analysieren Sie das Verhalten der Funktion f _t im Unendlichen, d. h. für x→ ± ∞.

(c) Geben Sie den Wertebereich der Funktion f _t an.

(d) Für welche Werte des Parameters t besitzt f _t an der Stelle x ₀ = 0 eine horizontale Tangente? Geben Sie deren Gleichung an.

5. (a) Durch die Graphen der Funktionen

f, g : [0, 2π] → R , f (x) = sin x, g(x) = cos x wird eine endliche Fläche umschlossen:

Bestimmen Sie den Flächeninhalt.

(b) Berechnen Sie

Z 2 0

5x ²

√

x ³ + 1 dx und

Z 3x + 4 x ³ + 4x ² + 4x dx unter Rückführung auf Grundintegrale.

6. Gegeben seien eine Matrix A und ein Vektor ~b wie folgt:

A =





β 0 6β

2β −1 9β

1 −2β 0



 und ~b =



 8 15

6



 .

Dabei ist β ∈ R ein Parameter.

(a) Berechnen Sie die Determinante von A.

(b) Wieviele Lösungen hat – in Abhängigkeit vom Parameter β – das lineare Gleichungs- system A~ x = ~ 0?

(c) Berechnen Sie für β = 1 die Lösung des linearen Gleichungssystems A~ x = ~b mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens.

(d) Geben Sie für β = 1 die Dimension des Nullraums von A sowie den Rang von A an.