Studiengang Matrikelnummer

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Punkte Bonus Summe

Punkte /7 /8 /6 /11 /11 /7 /50

Prüfungsklausur Höhere Mathematik I für Naturwissenschaftler

Wintersemester 2012/13 (06.03.2013)

Hinweis zur Bearbeitung:

Sämtliche Aussagen müssen begründet werden. Auf Antworten ohne Angabe des Lösungswegs werden keine Punkte vergeben.

1. (a) Für z 1 = i−1 und z 2 = 3−2i berechne man ^z _z

2

und z ₁ ¹⁰ . Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

(b) Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller komplexen Zahlen z = x+iy, die beide der folgenden Bedingungen erfüllen:

Im z − (Re z) ² ≥ −1 und |i − z| > 1.

Aus Ihrer Skizze sollte man erkennen, ob Randpunkte zur Menge gehören oder nicht.

2. Gegeben ist die Reihe

∞

X

n=0

2 ⁿ⁺¹ (3γ) ⁿ mit einem Parameter γ ∈ R , γ 6= 0.

(a) Um welchen Typ Reihe handelt es sich?

(b) Für welche Werte von γ ist die Reihe konvergent und für welche divergent?

(c) Bestimmen Sie den Wert dieser Reihe für γ = 1.

(d) Konvergiert die Reihe P ∞

n=1 (1 + _n ²

)? Begründen Sie Ihre Aussage.

3. Wir betrachten folgende abschnittsweise definierte Funktion:

f : R → R , f(x) =

β + sin(2x), für x ≤ 0;

γx, für x > 0.

Dabei sind β und γ reelle Parameter.

(a) Skizzieren Sie den Graphen von f für β = 1 und γ = 2 über dem Intervall [−2π, 1].

(b) Welche Bedingungen sind an die Parameter β und γ zu stellen, damit f stetig ist?

(c) Kann man die Parameter β und γ sogar so wählen, dass f differenzierbar ist? Wenn ja,

geben Sie alle Möglichkeiten für eine solche Parameterwahl an.

4. Gegeben ist die Funktion

f _t : R → R , f _t (x) = txe ^2−tx mit einem Parameter t > 0 .

(a) Bestimmen Sie alle Nullstellen sowie Lage und Art der lokalen Extrema.

(b) Analysieren Sie das Verhalten der Funktion f _t im Unendlichen, d. h. für x→ ± ∞.

(c) Wie ist der Parameter t zu wählen, damit die Tangente an den Graphen von f _t an der Stelle x 0 = 0 parallel zur Geraden g : −2x + y = 2 verläuft? Geben Sie die Gleichung dieser Tangente an.

5. (a) Bestimmen Sie sämtliche Stammfunktionen von f (x) = x

√

5x ² + 3 durch Rückführung auf Grundintegrale.

(b) Berechnen Sie durch Rückführung auf Grundintegrale Z x + 1

x ³ − 2x ² dx.

(c) Untersuchen Sie das uneigentliche Integral Z ∞

1

√ 1 x ³ dx

auf Konvergenz. Geben Sie im Falle der Konvergenz den Wert des Integrals an.

(d) Wie lautet die erste Ableitung f ⁰ von

f : [0, ∞) → R , f (x) = Z x

0

(t ² + 2t) dt?

6. Gegeben seien eine Matrix A und ein Vektor ~b wie folgt:

A =





1 −1 −1

3 1 −1

β 8 2



 und ~b =





−2

−1 7



 .

Dabei ist β ∈ R ein Parameter.

(a) Berechnen Sie die Determinante von A.

(b) Für welche Werte von β besitzt das lineare Gleichungssystem A~ x = ~b genau eine Lösung?

(c) Berechnen Sie für β = 4 die Lösung des linearen Gleichungssystems A~ x = ~b mit Hilfe des

Gaußschen Eliminationsverfahrens.