Ubungen zur Funktionentheorie 1 ¨
SS 2017 Blatt 1 Prof. Fritzsche
1 ) Stellen Sie die folgenden Zahlen in der Form z = a + b i dar:
z
1:= i
2017, z
2:= (− i )
2n+1und z
3:= (1 − i )
2( √ 3 + i ) 1 − √
3 i .
Der Rechenweg sollte erkennbar sein!
2 ) a) Bestimmen Sie die Polarkoordinaten-Darstellung der komplexen Zahlen
w
1:= 2 + 2 i √
3 und w
2:= 1 2
√ 3 − 3
2 i .
b) Berechnen Sie die Zahl 1 + √ 3 i 1 − √
3 i
12.
3 ) Beweisen Sie f¨ ur komplexe Zahlen die Ungleichung ||z| − |w|| ≤ |z − w|.
4 ) a) Untersuchen Sie, ob die Folgen (z
n) und (w
n) in C konvergieren, und bestimmen Sie ggf. die Grenzwerte:
z
n:= 1 − i n
1 + i n und w
n:= (1 + i )
nn! . b) Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe
∞
X
n=2
