Algebra-Aufgaben: Komplexe Zahlen 2 1. L¨ose die folgenden Gleichungen in C: (a) z

Algebra-Aufgaben: Komplexe Zahlen 2

1. L¨ose die folgenden Gleichungen inC: (a) z²−4z+ 13 = 0

(b) 81z²+ 25 = 0 (c) z²+z=−1

2. Wir betrachten die folgenden komplexen Zahlen:

z1= 7−5i, z2= 2 +i, z3=−5 + 2i, z4=−10−3i Berechne

(a) z1−z2−z3= (b) z1·z2·z3=

(c) Re(z₁+ 4z₂) = (d) Im(z₂²z₄) =

(e) z₂= (f) z₃²= (g) z4−1= (h) Re(z1)

Re(z2)=

3. Berechne

(a) (5 + 5i)−(5 + 5i) (1 + 2i)(1 + 2i) = (b) 4 +√

√ 2i

2−4i =

4. L¨ose die folgenden Gleichungen:

(a) 5z= 8iz+ (81−5i) (b) z−3i−3

z+ 2 + 4i =i

1

5. F¨ur welche Zahlen z∈C gilt:

(a) z=z

(b) Re(z) =Re(z) (c) Im(z) +Im(−z) = 0

6. Beweise die folgenden Eigenschaften konjugiert komplexer Zahlen:

(z=a+bi)

(a) zz=|z|², ∀z∈C

(b) z1+z2=z1+z2 ,z1−z2=z1−z2

(c) z1·z2=z1·z2 , z1

z2

=z1

z2

(d) Re(z) =¹₂(z+z), Im(z) = _2i¹(z−z)

7. Beweise die folgende Aussage:

Ist z die L¨osung einer algebraischen Gleichung zweiten oder h¨oheren Grades mit reellen Koeffizienten, so ist auch z eine L¨osung der Gleichung.

Was f¨ur Folgerungen ziehst du aus dieser Aussage?

8. Die folgende Gleichung x⁴−2x³+x²+ 2x−2 = 0 hat als eine komplexe L¨osung x₁= 1−i.

Bestimme die L¨osungsmenge der Gleichung.

9. Bestimme jeweils die Parameter und die fehlenden L¨osungen:

(a) x1= 3 +i ist L¨osung der Gleichung x³−12x²+ax+b= 0 (b) x1= 1 +i ist L¨osung der Gleichung x⁴−50x²+ax+b= 0

(c) Die Gleichung x³+ax= 100 hat eine nicht-reelle L¨osung mit dem Realteil -2.

(d) Die Gleichung x⁴−12x³+ax²+bx+ 72 = 0 hat zwei rein imagin¨are L¨osungen und eine reelle L¨osung mit algebraischer Vielfachheit 2.

(e) Die L¨osungen der Gleichung x⁴−4x³+ax²+bx+c = 0 bilden in der Gauß’schen Zahlenebene ein Quadrat, von dem eine Ecke im Ursprung liegt und die gegen¨uberliegende Ecke auf der reellen Achse

>0.

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