Analysis I: ¨Ubungsblatt 1: Komplexe Zahlen 1. Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Gaussschen Zahlenebene dar. (a) z

Analysis I: ¨Ubungsblatt 1: Komplexe Zahlen

1. Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Gaussschen Zahlenebene dar.

(a) z1 = 1 + 3j,z2=−2−j,z3= 1−2j,z4 =−1 +j

(b) z₅ = 2(cos(^π₂) +jsin(^π₂)),z₆ = cos(30^o) +jsin(30^o),z₇= ¹₂(cos(π) +jsin(π)) (c) z₈ = 3 e^j270o,z₉= e^j3π4 ,z₁₀= 3 e^j320o

2. Geben Sie die Zahlen z₁ bis z₄ aus Aufgabe 1 jeweils in Exponentialform an.

3. Geben Sie die Zahlen z5 bis z10aus Aufgabe 1 jeweils in arithmetischer Form an.

4. Berechnen Sie:

(a) √

−4√

−a² (b) _j¹4 +_j¹5 +_j¹6 +_j¹7

(c) (2−3√

3j)(2 + 3√ 3j)

5. Ermitteln Sie f¨urz₁ = 1 + 2j undz₂ =−3 +j z3 =z1+z2,z3 =z1−z2,z1 und z2

grafisch.

6. Gegeben sind: z1 =−³₂j+_(1−j)^2+j2 undz2 = ⁷₂+ ⁹₂j.

(a) Zeigen Sie, dass die arithmetische Form vonz1=−¹₂−¹₂j ist und geben Sie die Exponentialform von z₁ und z₂ an.

(b) Bestimmen Sie (L¨osung in arithmetischer und in Exponentialform) i. z1+z2

ii. z₁·z₂ iii. z⁴₁ iv. √

z1

7. Beschreiben Sie die folgenden Punktmengen in Worten und geben und skizzieren Sie diese in der Gaussschen Zahlenebene.

(a) |z−1|<|z−j| (b) |z+ 3−4j|>2 8. L¨osen Sie:

(a) die Gleichung (cos(3ϕ) +jsin(3ϕ))·(cos(2ϕ) +jsin(2ϕ)) =−j,ϕ∈[0, π]

(b) das Gleichungssystem (x, y∈C)

j·x + 3·y = j

x + (1 + 4j)·y = 1−j

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Analysis: L¨osungen Komplexe Zahlen 1.

2. z₁ =√

10 e^j71,565o,z₂=√

5 e^j206,565o,z₃ =√

5 e^j296,565o,z₄ =√ 2 e^j135o 3. z₅ = 2j,z₆ = ¹₂√

3 +¹₂j= 0,866 + 0,5j,z₇ =−¹₂, z8 =−3j,z9 =−

√2 2 +

√2

2 j=−0,707 + 0,707j,z10= 2,298−1,928j 4. (a) √

−4√

−a² =−2a (b) _j¹4 +_j¹5 +_j¹6 +_j¹7 = 0

(c) (2−3√

3j)(2 + 3√

3j) = 31 5.

6. (a) z₁ =−¹₂ −¹₂j=

√ 2

2 e^j225o,z₂ = ¹₂√

130 e^j52,125o (b) i. z₁+z₂ = 3 + 4j= 5 e^j53,130o

ii. z1·z2 = ¹₂√

65e^277,125o = 0,5−4j iii. z⁴₁ = ¹₄e^180o =−¹₄

iv. 1. L¨osung: 0,841 e^j112,5o =−0,322 + 0,777j, 2. L¨osung: 0,841 e^j292,5o = 0,322−0,777j 7. Beschreiben Sie die folgenden Punktmengen in Worten und geben und skizzieren Sie diese in der

Gaussschen Zahlenebene.

(a) Fl¨ache unterhalb der Geradeny =x

(b) Fl¨ache ausserhalb des Kreises mit Mittelpunkt (-3,4) mit Radius 2.

8. L¨osen Sie:

(a) die Gleichung: ϕ1 = ₁₀³ π,ϕ2= ₁₀⁷π

(b) das Gleichungssystem (x, y∈C):x= ⁵³₅₀−²¹₅₀j, y = ⁻⁷₅₀ −₅₀¹j

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