Institut f¨ur Theoretische Physik der Prof. Dr. Joachim Krug Universit¨at zu K¨oln, Sommersemester 2018 Benjamin Schmiegelt
Theoretische Physik II (Lehramt)
Pr¨ asenz¨ ubung
http://www.thp.uni-koeln.de/~schmiegb/sose18/
1. Komplexe Zahlen
a) Bestimmen Sie Realteil, Imagin¨arteil, Betrag und Argument der folgenden Ausdr¨ucke:
−3 + 3i 2eiπ6 (3−2i)(3 + 2i) 1 +i
(1 +i)? |1 +i|2 (1 +i)2 b) Bestimmen Sie die komplexen L¨osungsmengen vonz2−4z+ 5 = 0,e|z|2 = 1 und ez2 = 1.
c) Verwenden Sie die Eulersche Formel
exp(ix) = cos(x) +isin(x) um die Additiontheoreme
sin(x+y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) und
cos(x+y) = cos(x) cos(y)−sin(x) sin(y) herzuleiten.
2. Lineare Algebra
Gegeben eine Matrix M∈Cn×n und ein Skalar λ∈C wird λEigenwert von M genannt, falls es einen Vektor~v∈Cn ungleich~0 gibt, so dass
M~v=λ~v
Solch ein Vektor~v wird dannEigenvektor vonM zum Eigenwert λgenannt.
a) Zeigen Sie, dassλgenau dann ein Eigenwert vonMist, wenn det(M−λ1) = 0, wobei1 die Einheitsmatrix ist.
b) Berechnen Sie die Eigenwerte und -vektoren der folgenden Matrizen:
A=
1 1
1 1
B=
0 −i
i 0
c) In der Quantenmechanik werden wir andere Vektorr¨aume als den Rn bzw. Cn nutzen, ins- besondere bestimmte Funktionsr¨aume. Das Konzept des Eigenwertproblems l¨asst sich auf diese direkt ¨ubertragen. Anstelle der Vektoren treten Funktionen und anstelle der Matri- zen treten lineare Operatoren, welche Funktionen auf Funktionen abbilden. Ein Beispiel f¨ur einen solchen Operator ist der Differentialoperator dxd. Finden Sie dessen Eigenwerte und Eigenfunktionen, d.h. Skalare λund Funktionenf, so dass dxd f(x) =λf(x) f¨ur alle x∈C.
