Die Komplexen Zahlen:
Basale Kompetenzen 1
bis und mit der Gauβ’schen Zahlenebene
1. Definiere die folgenden Begriffe:
(a) imagin¨are Einheit, (b) imagin¨are Zahl,
(c) komplexe Zahl,
(d) die Menge der komplexen Zahlen, (e) komplex konjugierte Zahl, (f) der Betrag einer komplexen Zahl, (g) Normalform & Polarform:
Vergleiche die Darstellungsformen.
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2. Wir betrachten die folgenden komplexen Zahlen:
z1= 2−3i, z2=i−1, z3= 4, z4= 3cis6π
5 , z5= 2(cosπ
2 +i·sinπ 2) (a) Welche der obigen Zahlen liegen in der Gauβ’schen Zahlenebene . . .
i. im 1. Quadranten:
ii. im 2. Quadranten:
iii. im 3. Quadranten:
iv. im 4. Quadranten:
v. auf einer Achse:
(b) Berechne den Imagin¨arteil vonz1+z2 (c) Berechne den Realteil von z2−z3
(d) Berechne den Betrag vonz3:z1
(e) Berechne das komplex-konjugierte zuz3·z4
(f) Stelle in der Polarform dar: z4:z5
(g) Stelle in der Normalform dar: z5·z3
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3. Welche der folgenden Aussagen sind wahr:
(a) sin(π/4)>0.5 (b) cos(π/3)<−0.5
(c) tan(π/2)>0 (d) cos(−3π/2)>−2
(e) sin(−π/6)<0 (f) tan−π= tanπ (g) cosπ+ sinπ= 1 (h) cosπ
cos(π/2) =−1 (i) sin(π/3)
sin(π/4) = 1
√ 2 (j) cos(π/6)
sin(π/6) = 1 (k) tan(π/6) = 1
(l) sinψ= sin(k·π/2 +ψ), k∈Z (m) cosψ= cos(k·2π+ψ), k∈Z
4. Formuliere die Additionstheoreme:
5. Beweise, dass die Multiplikation zweier komplexer Zahlen einer Dreh- streckung entspricht.
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