1. Die komplexen Zahlen

Terme und Formeln

Komplexe Zahlen

Richard Feynman nannte diese Gleichung in seinem Notizbuch die „bemerkenswerteste Formel der Welt“; andere nennen sie die schönste Formel der Mathematik. Die Eulersche Identität vereinigt die beiden wichtigsten Konstanten e und π zusammen mit 0 und 1 in einer Formel. Leonhard Euler (* 1707 in Basel; † 1783 in Sankt Petersburg) war einer der bedeutendsten Mathematiker aller Zeiten.

⋅ϕ + =

e i 1 0

1. Die komplexen Zahlen

Die Gleichung x² = – 4 ist in der Menge der reellen Zahlen nicht lösbar, weil keine reelle Zahl im Quadrat negativ sein kann. Um trotzdem Lösungen zu erhalten, führt man die Menge der

komplexen Zahlen ein. Sie sind eine Erweiterung der reellen Zahlen und wird mit bezeichnet.

Mit den komplexen Zahlen kann man ebenso rechnen wie mit den reellen Zahlen. Ungleichungen zwischen komplexen Zahlen sind jedoch nicht definiert.

Aufgabe 1: Stelle alle Zahlenmengen, die Du kennst, in einem Mengendiagramm dar.

Die imaginäre Einheit i

Unter der imaginären Einheit i versteht man eine Zahl, deren Quadrat –1 ist.

i² = –1

Die Schreibweise i= −1 benützen wir nicht, da sie auf folgendes Problem führt:

1 i2 i i 1 1 ( 1) ( 1) 1 1

− = = ⋅ = − ⋅ − = − ⋅ − = =

Mit i wird nach den Rechengesetzen der reellen Zahlen gerechnet. i² wird immer durch –1 ersetzt, wo immer es auftritt. Ebenso ist (– i)² = –1.

b⋅ i heisst imaginäre Zahl, wobei i die imaginäre Einheit ist und b eine reelle Zahl.

Gesetze bei der Termumformung

Addition Multiplikation

Kommutativgesetz a b b a+ = + a b b a⋅ = ⋅

Assoziativgesetz

(

)

(

) ( )

( )

Neutralelement 0

a 0 a 0 a+ = = +

1 1 a a a 1¸ ¸

Inverses Element –a = –1·a

( ) ( )

a+ − = = − +a 0 a a

: a = ⋅¹_a

1 1

a a

a⋅ = = ⋅1 a Distributivgesetz ^{a b c}⋅ + = ⋅ + ⋅

( )

Aufgabe 2: Betrachte folgende Beispiele. Überlege, welche Operationen ausgeführt wurden, d.h.

gib zu jedem Gleichheitszeichen an, nach welcher Regel dies erlaubt ist.

a) i + i = 1·i + 1·i = i·(1 + 1) = i·2 = 2·i b) 2 ⋅ 4i = (2 ⋅ 4)i = 8i

c) i – i = 0

d) (3i)² = (3i)· (3i) = (3·3)·(i·i) = 9·i² = 9⋅ (–1) = – 9 e) i – ⁷

4i = 1·i – ⁷

4i = i·(1 – ⁷

4) = i·(–³

4) = –³

4i f) m·i – n·i = i·m – i·n = i(m – n)

g) i³ = i² ⋅ i = (–1) ⋅ i = – i h) i⁴ = i² ⋅ i² = (–1) ⋅ (–1) = 1 i) i^{– 1} = ¹_i = _{i i i i⋅ ⋅ ⋅}^{i i i⋅ ⋅} = ⁱ³₄

i = ⁻₁ⁱ = – i j) i^–2 = ¹₂

i = ¹₁

− = – 1 k) ⁱ

i = 1

Aufgabe 3: Ergänze folgende Feststellungen:

a) Das Produkt einer reellen Zahl mit einer imaginären Zahl ergibt eine ... Zahl.

b) Das Produkt zweier imaginärer Zahlen ergibt eine ... Zahl.

c) Ist bei einem Bruch genau der Zähler oder genau der Nenner imaginär, so ist der Wert des Bruches ...

d) Der Quotient zweier imaginärer Zahlen ergibt immer eine ... Zahl.

Aufgabe 4: Betrachte die Potenzen (von 1 bis 10) der imaginären Einheit i, d.h. i, i², i³, ....

Was stellst Du fest? Gilt dasselbe auch für die negativen Potenzen?

2. Rechnen mit komplexen Zahlen

Eine Verknüpfung der Form a + bi nennt man komplexe Zahl (Normalform).

Wobei a der Realteil und b der Imaginärteil der komplexen Zahl z = a + bi ist.

Wir schreiben: a = Re(a + b⋅i) und b = Im(a + b⋅i)

Wird der Realteil einer komplexen Zahl gleich Null (a = 0), so entsteht eine imaginäre Zahl. Wird der Imaginärteil bei der komplexen Zahl gleich Null (b = 0), so entsteht eine reelle Zahl. Man kann sagen, dass die reellen und die imaginären Zahlen Sonderfälle der komplexen Zahlen sind.

Beispiele

• z = 2 + 3i (komplexe Zahl)

• z = 2 (reelle Zahl)

• z = 3i (imaginäre Zahl)

Zwei komplexe Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen ihres imaginären Teiles unterscheiden, heissen konjugiert komplexe Zahlen.

Das Zahlenpaar z a bi z a bi

= + ½

= − ¾¿ heisst konjugiert komplex.

Beispiel

2 + i und 2 – i sind zueinander konjugiert komplexe Zahlen.

Mit komplexen Zahlen wird wie mit reellen Zahlen gerechnet. Man beachte dabei stets, dass i² = –1 ist, und versuche, das Ergebnis wieder in die Form einer komplexen Zahl zu bringen.

Beispiele

1. Den Realteil und den Imaginärteil einer komplexen Zahl kann man nicht weiter zusammenfassen.

2. Man addiert/subtrahiert zwei oder mehr komplexe Zahlen, indem man ihre Realteile und Imaginärteile getrennt addiert/subtrahiert.

3. Komplexe Zahlen werden wie reelle Zahlen multipliziert. Merke: Ersetze i² immer durch –1.

4. Komplexe Zahlen werden wie reelle Zahlen dividiert.

Ist der Nenner eine komplexe Zahl, so erweitert man diese Zahl mit der konjugiert komplexen Zahl um eine reelle Zahl im Nenner zu erhalten.

3 + 4i

= 3 + 4i

(4 + i) + ( 3 – 2i)

= 4 + 3 + i – 2i

= 7 – i

(3 + 4i) ⋅ (2 + 3i)

= 6 + 9i + 8i + 12i² = – 6 + 17i 4 12i

2

+ = 4 12i 2+ 2

= 2 + 6i

Aufgabe 5: Führe folgende Operationen aus, wobei I) z = 2 – 3i und II) z = a + bi:

a) Addition: z z+ = b) Subtraktion: z z− = c) Multiplikation: z z⋅ = d) Division: z

z = Aufgabe 6: Ist die Aussage wahr oder falsch?

a) 2 ist eine reelle Zahl b) 2 ist eine komplexe Zahl c) 3 ist eine rationale Zahl d) 3 + 0.5i ist eine reelle Zahl e) – 3 i ist eine imaginäre Zahl f) π ist eine komplexe Zahl Aufgabe 7: Berechne:

a) – i² b) (– i)² c) – i³ d) (– i)³ e) i⁸ – i¹⁰ Aufgabe 8: Grundoperationen

a) (8 + 2i) + (7 + 3i) b) (1 + 10i) – (5 – 13i) c) (– 3 + i) – (– 2 – i) d) 8 Ã 5i

e) 8i à 5i f) (– 7 – 12i)5i g) (8 + 2i)(7 + 3i) h) (7 + i)²

i) 15i : 3 k) (– 5 – 10i) : (– 5) l) (– 40i) : (25i) m) (– 12 + 15i) : (– 6i)

Aufgabe 9: Berechne mit z1 = 7 – 5i, z2 = 2 + i, z3 = – 5 + 2i, z4 = – 10 – 3i, z5 = 8 und z6 = 8i.

a) z₅ – (z₆ – z₁) b) z₁² + z₂² c) Re(z₁ + 4z₂) d) z₂(z₄ – z₆) e) Im(2z₂ + 3z₃) f) z₁z₃z₄

Aufgabe 10: Finde alle Paare von konjugierten Zahlen in dieser Liste:

z₁ = 4 + 2i, z₂ = 2 + 4i, z₃ = – 2 + 4i, z₄ = – 4 + 2i, z5 = – 4 – 2i, z6 = – 2 – 4i, z7 = 2 – 4i, z8 = 4 – 2i.

Aufgabe 11: Vereinfache:

a) 5 3i 2 4i

+

+ b) 56 33i

12 5i +

− c) 13 5i

1 i

−

− Aufgabe 12: Zur Zahl z sollen –z, z und z^–1 berechnet werden:

a) z = 12 – 5i b) z = ⁵₃i c) z = 3 + i Aufgabe 13: Berechne für z1 = 5 + 2i, z2 = – 3 + 5i:

a) Re ¹

2

z z

§ ·

¨ ¸

© ¹ b) ¹

2

Re(z ) Re(z ) c) Im ²

1 2

z

z −z d) ²

1 1

Im(z ) Im(z ) Re(z )+

Aufgabe 14: Löse die Gleichungen in der Grundmenge :

a) z² = 4 b) z² = – 4 c) z² – 4z + 13 = 0 d) 2z² + 32 = 0 e) z² + 4z + 5 = 0 f) z² + 4z – 5 = 0 g) 81z² + 25 = 0

Aufgabe 15: Löse in den Grundmengen , ', , und . a) (z² – 5)(z² + 5) = 0

b) (2z² + 32)(2z² – 32) = 0

c) (z – 2)(z + 3)(3z – 2)(z² – 2)(z² + 1) = 0

Aufgabe 16: Es sei j eine Zahl, für die 0 Ã j ≡ 1 gilt. Schreibe den Term (0 + 0) Ã j auf zwei verschiedene Arten und zeige so, dass ein Widerspruch entsteht.

Aufgabe 17: Löse das Gleichungssystem:

a) 3z1 + 2z2 = 7 + i b) iÃz1 + z2 + (2 + i)z3 = –7 5z1 – 3z2 = – 1 + 8i z1 + 2z2 = 6 – 5i

5z₂ – z₃ = 13 – 17i

Häufig werden Summen mithilfe des Summenzeichens

¦

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9 + 10 = ¹⁰

n 1

n

¦

1 + ¹

2 + ¹

4 + ¹

8 + .... = _k

k 0

1 2

∞

¦

Produkte können mit dem Produktzeichen

∏

n 1

1 2 3 4 5 6 7 8 ... ^∞ n

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

∏

4 5 6 7 18 19 19 x

x 4

2 2 2 2 ... 2 2 2

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

∏

Aufgabe 18: Berechne:

a) i¹¹ + i¹² + i¹³ + i¹⁴ b) ^{25 n}

n 1

i

¦

c) i²¹ Ã i²² Ã i²³ Ã i²⁴ d) ^{10 n}

n 1

i

∏

Aufgabe 19: Für welche Zahlen z ∈ gilt:

a) z z= b) –z = z c) z^–1 = z d) − = −z z e) Re(z) = Re( z ) f) Im(z) = Im( z ) g) Im(z) + Im(–z) = 0

3. Graphische Darstellung der komplexen Zahlen

Da jede komplexe Zahl z = x + yÃi als ein geordnetes Paar (x | y) aufgefasst werden kann, können wir solche Zahlen in einer xy – Ebene darstellen. Man nennt eine solche Ebene

Gausssche¹ Zahlenebene oder auch Ebene der komplexen Zahlen. Für die Koordinaten des Punktes gilt x = Re(z) und y = Im(z). Auf diese Weise entspricht jeder komplexen Zahl ein Punkt der Zahlenebene und umgekehrt jedem Punkt genau eine Zahl. Die reellen Zahlen sind dann Punkte der x – Achse, die auch Achse der reellen Zahlen heisst, die imaginären Zahlen Punkte der y-Achse (Achse der Imaginärzahlen).

Die Zahlenebene ist eine Erweiterung des Begriffes der Zahlengeraden, die zur Veranschaulichung der reellen Zahlen diente.

Aufgrund der Lage der komplexen Zahlen in der Ebene ist es nicht möglich, die Zeichen < oder >

zu gebrauchen. Man kann auch nicht von positiven oder negativen komplexen Zahlen sprechen.

Oft ist es günstiger, komplexe Zahlen als Vektoren der Gaussschen Zahlenebene aufzufassen.

Jeder komplexen Zahl entspricht dann genau der Vektor, der im Nullpunkt beginnt und zum Punkt z führt.

Summe Differenz

z1 + z2 z1 – z2 = z1 + (–z2)

Den Abstand des Punktes z vom Nullpunkt können wir dann mithilfe des Betrages berechnen.

Betrag einer komplexen Zahl z = a + b⋅i:

|z| = a²+b² .

Aufgabe 20: Berechne den Betrag der beiden komplexen Zahlen z₁ = – 5 + 12i und z₂ = – 5 – 12i. Welche Schlussfolgerungen kannst Du daraus ziehen?

Übungen

Aufgabe 21: Zeichne die zu den Zahlen gehörenden Punkte und verbinde aufeinander folgende Punkte geradlinig.

z₁ = 1 + 2i, z₂ = – 2 + i, z₃ = – 2 – 2i, z₄ = 2 – i,

Aufgabe 22: Zeichne ein beliebiges Polygon in die Gausssche Zahlenebene und bestimme danach die Eckpunkte.

Aufgabe 23: Stelle die in beschreibender Form gegebene Zahlenmenge graphisch dar:

a) {z ∈ | Re(z) = 1}

b) {z ∈ | (1 ≤ Re(z) ≤ 5) ∩ (1 ≤ Im(z) ≤ 3)}

c) {z ∈ | Re(z) ≤ 0}

d) {z ∈ | –2 ≤ Im(z) ≤ 0}

e) {z ∈ | Re(z) Ã Im(z) ≤ 0}

f) {z ∈ | |Im(z)| ≤ 2}

g) {z ∈ | Re(z) + Im(z) = 1}

h) {z ∈ | Re(z) ≥ Im(z)}

Aufgabe 24: Gib von den zugehörigen Zahlenmengen eine beschreibende Form an:

a) Parallele zur reellen Achse, die durch den Punkt P(5 + 6i) geht.

b) Parallele zur imaginären Achse, die durch den Punkt Q(–3 + 5i) geht.

c) die reelle Achse bzw. die imaginäre Achse.

d) Strecke mit den Endpunkten A(2i) und B(4i).

e) Inneres (ohne Rand) des Rechteckes P(– 8 – i) Q(– 3 – i) R(– 3 + 3i) S(– 8 + 3i).

f) 1. Quadrant (ohne Rand).

Aufgabe 25: Gegeben sind die Zahlen z1 = 2 + i, z2 = – 1 + 3i, z3 = 2i, z4 = 4, z5 = 3 – 6i und z₆ = – 4 – 2i. Konstruiere in einem Koordinatensystem unter Benutzung von Vektoren die folgenden Zahlen und kontrolliere nachträglich die Konstruktionsergebnisse durch Rechnung.

a) a = z5 + z6 b) b = z1 – z2

c) c = 3z3 – 1.5z4 + 0.5z5 d) d = 2(z5 + z3) – 3(0.5z4 + z6)

4. Polarform der komplexen Zahlen

Bisher haben wir komplexe Zahlen in der Normalform z = a + b⋅i dargestellt. Ebenso gut ist es möglich (und wie wir im Weiteren sehen werden, sehr sinnvoll), z durch r und ϕ festzulegen.

Definition:

• r⋅(cosϕ + i⋅sinϕ) heisst Polardarstellung der komplexen Zahl z.

• r= z heisst Betrag der komplexen Zahl z.

• Der Winkel ϕ, um den z im Gegenuhrzeigersinn aus der x–Achse herausgedreht wird, heisst Argument der komplexen Zahl z.

Mithilfe der Trigonometrie kann man die Normalform in die Polarform und umgekehrt Umrechnungsformeln für z = a + b⋅i = r⋅(cosϕ + i⋅sinϕ) umzurechnen:

Normalform: a = r⋅cosϕ Polarform: r = a²+b²

b = r⋅sinϕ b

tanϕ =a Vorsicht: Bei der Ermittlung von ϕ musst Du auf den Quadranten achten.

Beispiel: z = –1 – i Ÿ tan ⁻¹₁ 1

ϕ =− = . Da z im dritten Quadranten liegt, ist ϕ = 225° und nicht 45°, wie der Taschenrechner anzeigt.

Schreibweise: Häufig schreibt man für r⋅(cosϕ + i⋅sinϕ) die Abkürzung r⋅cisϕ.

Beispiel: 3⋅(cos235° + i⋅sin235°) = 3⋅cis235°.

5. Übungen

Aufgabe 26: Verwandle in die Normalform:

a) 4cis90° b) 3cis0° c) 2.5cis270° d) 2cis60° e) 4cis(– 120°) f) 2cis(–45°) g) 4cis(^π/2) h) 6cis(^3π/4) i) 3 cis329° j) 4 3 cis300°

Aufgabe 27: Gib die Polarform an:

a) 2 + 2i b) – 2 + 2i c) – 2 – 2i d) 2 – 2i

e) 3 f) 3i g) – 3 h) – 3i

Aufgabe 28: Gib die Polarform an:

a) 2 + 2 3 i b) – 2 + 2 3 i c) – 6 2 – 6 2 i d) 2 2 – 2 2 i Aufgabe 29: Gib die Polarform an:

a) 4 + 2i b) – 4 + 2i c) – 1 + 3i d) 1 – 3i e) 2.3 + 5.1i f) – 1.7 + 7.1i g) – 12 – 23i h) 2.7 – 2.9i Aufgabe 30: z1 = 3 + 6i, z2 = – 1 + 2i, z3 = –12i

a) arg(z₁ – z₂) b) |z₁ + 2iz₂| c) arg(z₁/z₃) d) arg(z₁² ⋅ z2) Aufgabe 31: Stelle die in beschreibender Form gegebene Zahlenmenge graphisch dar:

a) {z ∈ | |z| = 1}

b) {z ∈ | |z| ≥ 5 } c) {z ∈ | arg(z) = 45°}

d) {z ∈ | |z| = 3 und 180° ≤ arg(z) ≤ 270° } e) {z ∈ | 2 ≤ |z| ≤ 4 und –60°≤ arg(z) ≤ –30°} f) {z ∈ | arg(z) = 30° und Re(z) ≤ 2}

g) {z ∈ | |z| ≤ 2 und Im(z) ≥ 1}

Aufgabe 32: Gib von der zugehörigen Zahlenmenge eine beschreibende Form an:

a) Kreislinie mit dem Zentrum M(0) und dem Radius 5.

b) Kreisbogen mit Zentrum M(0) und den Endpunkten A( 3 + i) und B(1 + 3 i).

c) Gerade, die durch die Punkte A(– 1 – i) und B(1 + i) geht.

d) Strecke mit den Endpunkten A(– 3 + 3i) und B(– 3 3 + 9i).

Ein gewichtiger Vorteil der Polardarstellung komplexer Zahlen besteht darin, dass die Multiplikation und die Division in dieser Darstellung sehr einfach ausgeführt werden können:

Für z1 = r1⋅cisϕ1 und z2 = r2⋅cisϕ2 gelten folgende Aussagen:

Produkt Quotient Potenz

z₁⋅z2 = r₁⋅r2⋅cis(ϕ1 + ϕ2) ^{1 1}

(

)

2 2

z r

z =r cis ϕ − ϕ zⁿ = rⁿ⋅cis(n⋅ϕ)

Diese Aussagen können mithilfe der Additionstheoreme für cos(α ± β) sowie sin(α ± β) bewiesen werden.

Aufgabe 33: Stelle die Zahlen als Punkte der Zahlenebene dar (n‰`):

a) z = cis(n⋅90°) b) z = cis(n⋅60°) c) z = cis(30° + n⋅120°) d) z = cis(160° + n⋅45°) e) z = cis2 n

5

¸ ¸ Q

f) z = 2 n

cis 9 9

 Q ¸ ¸ Q­¬

ž ­

ž ­

žŸ ®

Aufgabe 34: Gib das Ergebnis in Polarform an:

a) cis90° ⋅ cis100° ⋅ cis110° ⋅ cis 120°

b) (cis172° : cis284°) ⋅ cis227°

c) (cis25°)–8 ⋅ (cis35°)4 d) (cis12°)15 ⋅ (cis15°)12

e) (cos15° + i⋅sin15°) ⋅ (cos60° + i⋅sin60°) f) cos 210 i sin 210

cos 150 i sin 150

n ¸ n

n ¸ n

Aufgabe 35: Gib zur Zahl z die konjugierte Zahl z und die Gegenzahl –z an:

a) 4⋅cis60° b) ¹/₃⋅cis(–150°) c) 8⋅cis100° Aufgabe 36: Vereinfache den Term:

a) cisφ ⋅ cis(– φ) b) cisφ : cis(– φ) c) cisφ + cis (– φ) d) cisφ – cis(– φ)