Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Punkte Bonus Summe

Studiengang Matrikelnummer

Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Punkte Bonus Summe

Punkte /9 /7 /7 /10 /9 /8 /50

Prüfungsklausur

Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler 1

Sommersemester 2017 (25.07.2017)

Hinweis zur Bearbeitung:

Sämtliche Aussagen müssen begründet werden. Auf Antworten ohne Angabe des Lösungswegs werden keine Punkte vergeben.

1. (a) Bestimmen Sie die kartesische Form von

z

= (e

+ i)(2 − 3i) und z

= 1

3 2

−

i

.

(b) Bestimmen Sie sämtliche komplexen Lösungen der Gleichung z + 6i − 1

3 + 2i

1

(z − i)

+ 4 z − i + 5

= 0.

(c) Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller komplexen Zahlen z = x+iy, die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

1 ≤ |z − 1|,

Im z + 1 2

≤ 3

2 und − Re z ≤ 1 + (Im z)

.

Aus Ihrer Skizze sollte man erkennen, ob Randpunkte zur Menge gehören oder nicht.

2. (a) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge

a

=

√

36n

− 2n

√ n + 3n + e

sin(2n + π),

sofern er existiert.

(b) Berechnen Sie den Wert der Reihe

∞

X

k=1

2

3

.

(c) Untersuchen Sie die Reihen

∞

X

k=0

(−1)

2k − 3

8k + 4 und

∞

X

k=0

3k

3

auf Konvergenz.

3. Bestimmen Sie alle Werte der Parameter a, b, c ∈ R , für die

f : R → R , f (x) =

e

− bx für x ≤ 0;

x(x + b) + c für x > 0.

auf dem gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist und die Tangente an den Graphen von f im Punkt (−1, f (−1)) parallel zur x–Achse verläuft.

4. Gegeben ist die Funktion

f

: R → R , f

(x) = tx

e

mit einem Parameter t > 0.

(a) Bestimmen Sie die Nullstellen sowie Lage und Art der lokalen Extrema.

(b) Analysieren Sie das Verhalten der Funktion f

im Unendlichen, d. h. für x→ ± ∞.

(c) Geben Sie den Wertebereich der Funktion f

an.

(d) Wie ist der reelle Parameter a in der Funktion g

(x) = (x − 2)

− a zu wählen, damit sich die Graphen der Funktionen f

und g

genau am einzigen lokalen Maximum von f

berühren?

5. (a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des endlichen Bereichs, der von den Kurven xy = 1, yx

= 1 und x = 2 begrenzt wird. Erstellen Sie dazu vor Beginn der Rechnung eine aussagekräftige Skizze.

(b) Bestimmen Sie Z

0

1

2 (2x + 1) p

x + x

dx und

Z 2x

+ 7x − 3 (x

− 2x + 1)(x + 2) dx durch Rückführung auf Grundintegrale.

6. Gegeben seien eine Matrix A und ein Vektor ~b wie folgt:

A =





3 2 −2

2β 1 β −3

−3 −1 4



 und ~b =



 10

6

−8



 .

Dabei ist β ∈ R ein Parameter.

(a) Berechnen Sie die Determinante von A.

(b) Wieviele Lösungen hat – in Abhängigkeit vom Parameter β – das lineare Gleichungs- system A~ x = ~ 0?

(c) Berechnen Sie für β = 1 die Lösung des linearen Gleichungssystems A~ x = ~b mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens.

(d) Geben Sie für β = 1 den Nullraum von A und die Dimension des Wertebereichs der linea-

ren Abbildung f ~ : R

→ R

, f(~ ~ x) = A~ x? an. Was ist der Wertebereich dieser Abbildung

im Fall β = 0?