Höhere Mathematik I

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

A

Höhere Mathematik I

4. Übung

Abgabe Hausübungen: W. 48

Gruppenübungen

(G 12)

Betrachten Sie die Folge(a_n)_n∈N,a_n=1+_n+^1√

n.

(a) Begründen Sie, warum die Folge konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwerta=lim_n→∞a_n. (b) Bestimmen Sie fürε1= ₁₀¹,ε2= ₃₀¹ undε3= ₁₀₀¹ jeweils einN(ε_i)∈Nso, dass

|a_n−a|<ε_i für n≥N(ε_i), 1≤i≤3.

(G 13)

Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und geben Sie falls existent den Grenzwert an.

(a) a_n=⁽⁻¹⁾

n

n , (b) b_n=^n2+2n+1

2n³+2n , (c) c_n=⁵ⁿ⁺³_2n+1, (d) d_n=2ⁿ. (G 14)

Zeigen Sie, dass die rekursiv definierte Folge a₀=2, a_n+1=1

2

a_n+ 2 a_n

konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert.

(G 15)

Falls existent, berechnen Sie folgende Grenzwerte limn→∞a_nfür (i)a_n=√

n+1−√

n, (ii)a_n=n2⁻ⁿ(iii)a_n= ^π_n!ⁿ, (iv)a_n= ¹

n²∑ⁿ_k=1k

(G 16)

Seia_n= 1+¹_nn

. Zeigen Sie, in folgenden drei Schritten, dassa_nkonvergiert wennn→∞:

(a) Zeigen Sie, dass ⁿ_k1

n^k ≤_k!¹ fürk≥1.

(b) Zeigen Sie, dass _k!¹ ≤ ¹

2^k−1 fürk≥1.

(c) Zeigen Sie, dassa_n≤1+∑ⁿ⁻¹_k=02¹k ≤3 fürn≥1.

(d) Zeigen Sie, dass a_n monoton wachsend ist. (Hinweis: Bernoullische Ungleichung aus G7:

(1+x)ⁿ≥1+nxfür jeden≥1 undx>−1.)

(e) Zeigen Sie, dassa_nkonvergiert, limn→∞a_n=emit 2≤e≤3.

Bemerkung: Die Zahleist hier durch die obige Grenzwert definiert.

Hausübungen

(H 7) [10P]

Berechnen Sie die Grenzwerte lim_n→∞a_nfür (a) a_n=√

n √

n+1−√ n

, (b) a_n=_n^n!n,

(c) a_n= ¹

n³∑ⁿ_k=1k²,

(d) a_n=n^k2⁻ⁿfür beliebige (feste)k∈N. (H 8) [10P]

Sei{a_n},{b_n}und{c_n}drei Folgen mita_n≤b_n≤c_nfür allen∈N.

(a) Zeigen Sie, dass wenn limn→∞a_n=limn→∞c_n=afolgt das limn→∞b_n=a.

(b) Zeigen Sie, daß√ⁿ

n→1.(Hinweis: Benutzen Sie daß Resultat aus (a) und der Binomialsatz, d.h. aus H4:(1+x)ⁿ=∑ⁿ_k=0 ⁿ_k

x^kmit ⁿ_k

=_k!(n−k)!^n! .)