Höhere Mathematik I

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J.H. Bruinier Fredrik Strömberg

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT

A

Höhere Mathematik I

11. Übung

Abgabe Hausübungen: W. 7

Gruppenübungen

(G 44)

Berechnen Sie das Integral^R₀^bf(x)dx,b≥0, für f(x) =x² durch Approximation mit Treppenfunktionen. Betrachten Sie dazu folgende Folgen von Treppenfunktionen:

Für n∈Nsei x_k= ^b_nk, 0≤k≤n. Zu dieser Unterteilung definieren wir die Treppen- funktionen

ϕ_n:[0,b] → R, ϕ_n(x) = f(x_k−1) fürx∈[x_k−1,x_k), ψ_n:[0,b] → R, ψ_n(x) = f(x_k) fürx∈[x_k−1,x_k). (a) Zeichnen Sie f,ϕ_n,ψ_nfürn=4 undb=2.

(b) Berechnen Sie^R₀^bϕ_n(x)dx,^R₀^bψ_n(x)dx.

(c) Zeigen Sie, dass

n→∞lim Z b

0

ϕn(x)dx= lim

n→∞

Z b 0

ψn(x)dx=b³ 3 . (d) Folgeren Sie, dass f integrierbar ist und berechnen Sie^R₀^bf(x)dx.

(Hinweise:∑ⁿ_k=1k²=¹₆n(n+1) (2n+1).) (G 45)

Berechnen Sie die folgenden Integrale.

(a) Z _6π

0

sinxdx, (b) 1

π Z ^π

2

−^π₂cos²xdx (c) Z ₅

2

x³dx,

(d) Z _2π

0

e^3xdx, (e)

Z ₁

−1

xe^x2dx.

(G 46)

Berechnen Sie die folgenden unbestimmte Integrale unter Verwendung partieller Inte- gration.

(a) Z

x²lnxdx, (b) Z

arctanxdx, (c) Z

xe^−xdx, (d)

Z √

xlnxdx, (e) Z

e^xcosxdx.

(G 47)

Berechnen Sie die folgenden Integrale mit der Substitutionsregel.

(a) Z

cosx e^sinxdx, (b) Z ₁

0

1

e^x+2+2e^−xdx, (c) Z ₁

−1

1

x²+2x+3dx (d)

Z 1

xlnxdx, (e)

Z 1

sinx+2dx.

(Hinweise für (e): Die Substitution ist durchu=tan^x₂ gegeben. Siehe auch H13)

Hausübungen

(H 21) [2+2+2+2+2P]

Berechnen Sie die folgenden Integrale.

(a) Z

e^−xsinxdx, (b)

Z 1

sinx+2dx, (c) Z

(lnx)²dx,

(d) Z

ln 1+x²

dx, (e)

Z arctanx x²+1 dx.

(H 22) [2+2+2+2+2P]

Berechnen Sie die folgenden Integrale.

(a) Z ₁

0

e^xln(1+e^x)dx, (b) Z ₁

0

cos

x¹³

dx, (c) Z _b

0

r

a²−a b

2

t²dt, a,b>0 Konst., (d)

Z _2π

0

e^−x|sinx|dx, (e) Z ₁

−1

dx coshx. (Hinweise: coshx= ¹₂(e^x+e^−x).)