Aufgabe 1: 20 Punkte

(1)

Klausur-Knz. BB-WST-P11-080607

Datum 07.06.2008

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich die- se bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei numerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genann- ten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Bearbeitungszeit: 120 Minuten Hilfsmittel: — Studienbriefe

Anzahl Aufgaben: - 5 - — HFH-Taschenrechner

Höchstpunktzahl: - 100 -

Bewertungsschlüssel

Aufgabe 1 2 3 4 5

max. Punktzahl 20 20 20 20 20

Notenspiegel

Note ^1,0 ^1,3 ^1,7 ^2,0 ^2,3 ^2,7 ^3,0 ^3,3 ^3,7 ^4,0 ^5,0

(2)

HFH • Hamburger Fern-Hochschule

BB-WST-P11-080607-AUFGABEN Seite 2

Aufgabe 1: 20 Punkte

In der folgenden Tabelle sind die monatlichen Ausgaben für die berufliche Weiterbildung

von Mitarbeitern einer Firma des IT-Bereiches klassifiziert aufgeführt. 16 P

Ausgaben in € von xiu bis unter xio

Anzahl fi der Mitarbeiter

150 – 200 8

200 – 240 14

240 – 260 16

260 – 300 10

300 – 350 6

350 – 450 6

a1) Berechnen Sie unter Verwendung der jeweiligen Klassenmitten xi und der absoluten Häufigkeiten fi das arithmetische Mittel (1 Dezimalstelle) und die Varianz (2 Dezimal- stellen) .

a2) Erweitern Sie Ihre Tabelle zu a1) so, dass Sie durch Feinberechnung das erste Quar- til, den Median, das 3. Quartil, das 4. Dezil und das 8. Dezil bestimmen können.

In der nachstehenden Tabelle ist für einen Zeitschriftenverlag in der Reihe1 die Entwick- lung des Umsatzes für die Jahre 1999 bis 2003 bezogen auf das Basisjahr 1998 und in der Reihe2 die Entwicklung des Umsatzes für die Jahre 2003 bis 2007 bezogen auf das Basisjahr 2003 festgehalten.

4 P

Jahr 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Reihe1 103,6 107,8 108,5 110,6 112

Reihe2 100 102 103,5 104 106,25

b1) Verketten Sie die beiden Reihen durch Fortschreibung zu einer Reihe für die Jahre 1999 bis 2007 mit dem Basisjahr 1998 (bis zu 2 Dezimalstellen).

b2) Verketten Sie die beiden Reihen durch Rückrechnung zu einer Reihe für die Jahre 1999 bis 2007 mit dem Basisjahr 2003 (bis zu 3 Dezimalstellen).

(3)

Aufgabe 2: 20 Punkte

In einer klinischen Ambulanz wurden an sechs zufällig ausgewählten Patienten die Kör- permasse x (in kg) und der systolische Blutdruck (in mm Hg) bestimmt. Das Ergebnis ist in folgender Tabelle festgehalten.

Körpermasse x 46 58 72 80 84 98

systolischer Blutdruck y 106 120 136 150 156 172

a) Berechnen Sie anhand einer geeigneten Arbeitstabelle den auf 3 Dezimalstellen ge- rundeten Wert des Bestimmtheitsmaßes. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis in Bezug auf einen vermuteten tendenziell linearen Zusammenhang zwischen den Merkmalen x und y.

8 P

b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x (3 Dezi-

malstellen). 4 P

c) Nennen und interpretieren Sie den Regressionskoeffizienten. 2 P d) Welcher systolische Blutdruck (1 Dezimalstelle) ist im Mittel bei einer Person mit einer

Körpermasse von 48 kg zu erwarten? 2 P

e) Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von x auf y (bis zu 5

Dezimalstellen). 4 P

Aufgabe 3: 20 Punkte

Der Durchmesser x von auf einer Anlage gefertigten Stahlkugeln sei normalverteilt mit dem Mittelwert 25 mm und der Standardabweichung 0,05 mm.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine der laufenden Produktion entnommene Stahlkugel einen Durchmesser

a) von höchstens 24,972 mm besitzt? (3 Dezimalstellen) 3,5 P

b) von wenigstens 24,954 mm aufweist? (3 Dezimalstellen) 3,5 P

c) von mindestens 24,855 mm und von höchstens 25,064 mm hat? (3 Dezimalstellen) 4 P

d) von genau 25 mm aufweist? 2 P

(4)

BB-WST-P11-080607-AUFGABEN Seite 4

Aufgabe 4: 20 Punkte

Ein fairer Würfel wird 24-mal geworfen. Es beschreibe x die Anzahl der Würfe mit der Augenzahl 6 unter den 24 Würfen.

a) Wie viele verschiedene Werte kann die Zufallsvariable x real annehmen? 0,5 P b) Wie ist x verteilt? Nennen Sie alle zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten notwen-

digen Parameter. 0,5 P

c) Bestimmen Sie den Erwartungswert (Mittelwert), die Varianz (gemischte Zahl oder

gerundet auf 5 Dezimalstellen) und die Standardabweichung (5 Dezimalstellen). 2,5 P d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 24 Würfen genau zweimal eine Sechs zu

erzielen? (6 Dezimalstellen) 2 P

e) Ist es wahrscheinlicher, bei 24 Würfen genau 3 Sechsen oder genau 4 Sechsen zu

erzielen? (6 Dezimalstellen) 4,5 P

f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei den 24 Würfen höchstens eine Sechs zu er-

zielen? (6 Dezimalstellen) 5 P

g) Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl x1 so, dass p(x ≤ x1) > 0,8 gilt. 5 P

Aufgabe 5: 20 Punkte

Die nachstehende Tabelle nennt die Mengen- und Preisentwicklungen eines Warenkor- bes mit den ausgewählten Gütern A, B, C, D, E und F für die Jahre 2005, 2006 und 2007.

Waren- 2005 2006 2007

korb Menge Preis (€) Menge Preis (€) Menge Preis (€)

A 10 8,00 10 8,00 8 9,50

B 15 10,00 12 12,00 13 11,00

C 8 6,00 8 6,50 9 6,00

D 14 9,00 12 9,50 14 9,50

E 25 12,00 21 13,00 16 14,00

F 16 6,00 12 8,50 14 7,00

a) Berechnen Sie die Preisindizes nach Laspeyres für die Berichtsjahre 2006 und 2007

mit dem Basisjahr 2005 (bis zu 3 Dezimalstellen). 6 P

b) Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse zu a). 4 P

c) Berechnen Sie die Preisindizes nach Paasche für die Berichtsjahre 2006 und 2007

mit dem Basisjahr 2005. 6 P

d) Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse zu c). 4 P

Viel Erfolg!

(5)

Klausur-Knz. BB-WST-P11-080607

Datum 07.06.2008

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich vorgeschrieben:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stossen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung eines Teilschritts führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weiter gerechnet, erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor: Erstkorrektur in rot, evtl. Zweitkorrektur in grün.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebene Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in die Ergebnisliste ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Notenschema zu Grunde zu legen:

Note 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0

notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5–0

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

25. Juni 2008

an Ihr Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine

Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich Ihrem Studienzentrums- leiter anzuzeigen.

(6)

BB-WST-P11-080607-KORREKTURRICHTLINIE Seite 2

Lösung Aufgabe 1: 20 Punkte

a)

von xiu bis unter xio xi fi xifi (xi-

x

)² (xi-

x

)²fi

150 − 200 175 8 1400 7310,25 58482,0

200 − 240 220 14 3080 1640,25 22963,5

240 − 260 250 16 4000 110,25 1764,0

260 – 300 280 10 2800 380,25 3802,5

300 – 350 325 6 1950 4160,25 24961,5

350 – 450 400 6 2400 19460,25 116761,5

60 15630 228735,0

2 x

15630 228735

x 260,5 s 3812,25

60 60

= = = =

von xiu bis unter xio fi

f

cⁱ

150 − 200 8 8

200 − 240 14 22

240 − 260 16 38

260 – 300 10 48

300 – 350 6 54

350 – 450 6 60

1

2

3

4 8

0,25 60 15 Q 200 15 8 (240 200) 220 14

30 22

0,50 60 30 x Q 240 (260 240) 250 16

45 38

0,75 60 45 Q 260 (300 260) 288 10

24 22

0,40 60 24 D 240 (260 240) 242,5 16

0,80 60 48 D 300

⋅ = → = + − ⋅ − =

⋅ = → = = + − ⋅ − =

⋅ = → = + − ⋅ − =

⋅ = → =

%

b) b1) und b2)

Jahr 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Reihe1 103,6 107,8 108,5 110,6 112 114,24 115,92 116,48 119

Reihe2 92,5 96,25 96,875 98,75 100 102 103,5 104 106,25

2 P

1 P 2 P

1 P

2 P

2 P 2 P 2 P

(7)

Lösung Aufgabe 2: 20 Punkte

a)

xi yi xi−73 yi−140 (xi−73)² (yi−140)² (xi−73)( yi−140)

46 106 –27 –34 729 1156 918

58 120 −15 –20 225 400 300

72 136 −1 –4 1 16 4

80 150 7 10 49 100 70

84 156 11 16 121 256 176

98 172 25 32 625 1024 800

438 840 1750 2952 2268

438 840 2268

2

x 73 y 140 B 0,996

6 6 1750 2952

= = = = = ≈

⋅

Da r relativ sehr nahe an +1 liegt, kann von einem relativ sehr guten tendenziell linearen

Zusammenhang ausgegangen werden. 1 P

b)

yx yx

b 2268 1,296 1750

a 140 1,296 73 45,392

= =

= − ⋅ =

Die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x lautet:

ˆy 45,392 1,296 x

= + ⋅ . 2 P

c) Der Regressionskoeffizient lautet byx = 1,296. Bei einer Zunahme der Körpermasse um 1 kg ist im Mittel eine Zunahme des systolischen Blutdruckes um 1,296 mm Hg zu

erwarten. 2 P

d)

ˆy(48) 45,392 1,296 48 107,6

= + ⋅ = 2 P

e)

xy

b 2268 0,76829 2952

a 73 0,76829 140 34,5606

= ≈

≈ − ⋅ ≈ −

1 P 1 P

1 P 1 P 1 P

1 P 1 P

4 P

(8)

Lösung Aufgabe 3: 20 Punkte

a)

24,972 25

p(x 24,972) p z p(z 0,56) 0,5 p(0 z 0,56) 0,05

0,5 0,212 0,288

≤ = ≤ − = ≤ − ≈ − ≤ ≤

≈ − ≈

 

 

 

^{3,5 P}

b)

24,954 25

p(x 24,954) p z p(z 0,92) 0,05

p(0 z 0,92) 0,5 0,321 0,5 0,821

≥ = ≥ − = ≥ − =

= ≤ ≤ + ≈ + ≈

 

 

 

^{3,5 P}

c)

24,855 25 25,064 25 p(24,855 x 25,064) p z

0,05 0,05

p( 2,9 z 1,28) p(0 z 2,9) p(0 z 1,28) 0,498 0,4 0,898

− −

≤ ≤ = ≤ ≤ =

= − ≤ ≤ = ≤ ≤ + ≤ ≤ ≈ + ≈

 

 

 

^{4 P}

d)

p(x = 25) = 0 2 P

e)

{ } { }

24,888 25 25,126 25

p(Ausschuss) 1 p(24,888 z 25,126) 1 p z

0,05 0,05

1 p( 2,24 z 2,52) 1 p(0 z 2,24) p(0 z 2,52) 1 0,488 0,494 0,018

− −

 

= − ≤ ≤ = −  ≤ ≤ =

= − − ≤ ≤ = − ≤ ≤ + ≤ ≤ ≈ − + ≈

4 P

f)

Es sind im Mittel

250 0,018 4,5 ⋅ =

Kugeln zu erwarten, die Ausschuss sind. 3 P

(9)

Lösung Aufgabe 4: 20 Punkte

a) x kann real 25 verschiedene Werte annehmen. 0,5 P

b) x ist binomialverteilt mit den Parametern n=24 und p= 1 / 6. 0,5 P c)

x

2 x

2

x x

E(x) n p 24 1 4 6

1 5 1

n p (1 p) 24 3 3,33333 6 6 3

1,82574 µ = = ⋅ = ⋅ =

σ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ = ≈ σ = σ ≈

1 P 1 P

0,5 P d)

2 22

24 1 5

p(x 2) 0,138873

2 6 6

     

= =     ⋅ ≈

   

 

2 P

e)

3 21

4 20

24 1 5

p(x 3) 0,203681

3 6 6

24 1 5

p(x 4) 0,213865

4 6 6

     

= =         ⋅     ⋅ ≈

     

= =         ⋅     ⋅ ≈

Es ist wahrscheinlicher, 4 Sechsen zu erzielen.

2 P

0,5 P f)

0 24

1 23

24 1 5

p(x 0) 0,012579

0 6 6

24 1 5

p(x 1) 0,060380

1 6 6

p(x 1) 0,012579 0,060380 0,072959

     

= =     ⋅ ⋅ ≈

   

 

     

= =     ⋅ ⋅ ≈

   

 

≤ ≈ + ≈

2 P

1 P g)

5 19

p(x 4) 0,072959 0,138873 0,203681 0,213865 0,629378

24 1 5

p(x 5) 0,171092

5 6 6

p(x 5) 0,629378 0,171092 0,80047

≤ ≈ + + + ≈

     

= =         ⋅     ⋅ ≈

≤ ≈ + ≈

Die gesuchte Zahl heißt 5.

2 P

1 P

(10)

Lösung Aufgabe 5: 20 Punkte

a)

05 / 06 L

10 8 15 12 8 6,5 14 9,5 25 13 16 8,5 906

P 100 100 113,25

10 8 15 10 8 6 14 9 25 12 16 6 800

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ = ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

05 / 07 L

10 9,5 15 11 8 6 14 9,5 25 14 16 7 903

P 100 100 112,875

10 8 15 10 8 6 14 9 25 12 16 6 800

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ = ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

b)

Die Preise sind 2006 unter Verwendung der Mengen des Basisjahres 2005 gegenüber

2005 im Durchschnitt um 13,25% gestiegen. 2 P

Die Preise sind 2007 unter Verwendung der Mengen des Basisjahres 2005 gegenüber

c)

05 / 06 P

10 8 12 12 8 6,5 12 9,5 21 13 12 8,5 765

P 100 100 112,5

10 8 12 10 8 6 12 9 21 12 12 6 680

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ = ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

05 / 07 P

8 9,5 13 11 9 6 14 9,5 16 14 14 7 728

P 100 100 112

8 8 13 10 9 6 14 9 16 12 14 6 650

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ = ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

d)

Die Preise sind 2006 unter Verwendung der Mengen des Berichtsjahres 2006 gegenüber

Die Preise sind 2007 unter Verwendung der Mengen des Berichtsjahres 2007 gegenüber

2005 im Durchschnitt um 12% gestiegen. 2 P

3 P 3 P

3 P