Zeitschrift des österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins, 66.1914, H. 18-22 = S. 341-440, Tafel III-IV

(1)

341

Alle Reohte vorbehalten.

ZEIT

SCHRIFT

DE

S

ÖSTERR. INGENIEUR· UND ARCITITEKTEN

.

VR

=,R=E

=I=NE

=S=N

=r=.=

18 = = = = = = = =

1914

1.Mal.

==== ~

-I

essun z en e

i ne G

eschwindigkeitsberechnung

zul

ä ssi g

war

,

w

odurch

den V

ergleich sresultaten

mit d

en

übri

gen

F

ormeln

k

ein g

l eich es Ge

wicht

~ukommt. Au~ le~ztere.m

Grund

e

wurde di

e

mittl

er e A

b weich ung d

er

mit

H

Ilfe e

me r F

ormel

be

stimmten,

v

on

d

er

h

ydrom etrisch .

er ho be nen Geschwind

ig-k

eit

ohne RU

cksicht

auf da

s

V

orz ei chen

au

s

[±

t:.

vJ

*)

"

1 =

-1-

N

e

r mit telt wobei

N

f

ür

d

ie

Er

zebnisse nac

h d

er

Lindb

oesch en

F

orm el

d

en

Wert 1

35,

bei

a

l len

ü

b r ige n

a

ber 1

50 hat. Die

Re

sultate s

ind f

olg ende:

Li

n

d

b

0

e

:

N

=

1

35 I

t:.

vi

=

1014

CIIl

'In

=

-/-

7'5

cm,

Her m

an

ek:

},'

=

1

50 1:1

.::

t:.

v]

=

1329

cm

m

.

= -/-

S'9

em,

G r

ü

ger:

K

=

1

50 [='

-

t:.

vJ

=

68 cm

m.

=

-+

5'8

C1n,

Aus di

esen

und den fr

üher

v

er üffentlichten

V

ergleichs-re

sultaten

geht hervor

,

daß die Rechnun

gsergebnisse

nach

meiner F

ormel

den h

ydrom etri sch

be timmt

en

Ge

schwindig-k

eiten

al

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den Erh

ebungen

i

n

der

atur,

a

m

besten

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nt-s

p rechen .

.

Die g rap

h i

s

C

h e D

ar

s

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ell

u n g

meiner

G?

-schwindizkeitsf

ormel

gestaltet sich

üb

erau s e

in fa ch, wie

scho

n

a~s

den Tafeln der s

einer

z

eitigen

Veröffentlichung

zu ersehen war. Nachdem sie sich logarithmieren läßt

,

er

-hält man

auf L

ogarithmenpapier

-

als Abszissen die

log

Tm

und

als Ordinaten die zug

ehöri.gen

l

og

V

m

au,r-getragen

-

ein

e

Sch.ar von Ger

aden

gleicher

Gef~lle,

die

zueinander parall

el

sind und d

eren

Tang~nten

gleIC? dem

Exponent

en

von

Tm

.der .Formel

,

al

so

gle.ICh 0

'776

sind.

Eine noch

weit

einfach

ere

graphische

Darstellung

bietet aber

das

n

0

m

0

g rap

h i

s

c

h e

Ver fa h ren

von

d'

0 c a

g n e

,

das sich

für meine Formel ganz

be-sonders ei

gnet**).

Wie aus

Abb. 1

zu sehen ist

,

sind auf

den

drei zueinander parallel

en

Geraden

,

deren Ab

stände

beli

ebig

groß

,

jedoch gleich

se

i.n mU s.en, die Tm

,

~

'"

und

.

J

direkt abzulesen. Um nun für

irgendein

Tm

und ein

J

die

mittlere Profil

sgeschwindigkeit

V",

zu erhalten. verbindet

man

T

'"

und

J

geradlinig. Der

chnittpunkt dieser

Ver-bindungsgeraden mit der G

eschwindigkeitslinie

gibt bereits

das gesuchte V",. Für folgende Beispiele sind diese

Ver-bindungsgerad

en

in Abb.

1 eingezeichnet:

Für

T

m=

0'3

111

und

J

=

0 '05% 0

ist V

m=

0'1

m]

ek.

,

"

Tm

=

0'3

m

"

J

=

]: 50% 0

:;

"

V

m

=

0'6

m]

ek.

,

"

T",

=

0'7

tn "

J

=

0'40

%0

"

V

m

=

0 '5

m/

ek.

,

"

Tm

=

1 '5

m

"

J

=

0'50

%0

"

V

m

=

1'0 m/Sek.

Seit der Veröff

entlichung

meiner

Geschwindigkeits-f

orm el

habe ich mich mit der E r w ei t e run g

ihr e r

G ü 1ti g k e i t s g.r e n zen

e

i~gehen d

beschäfti

gt.

In

er

st er

R ihe war ICh b

estrebt,

sie

d

crar~

ausz.ubauen

,

daß

sie fUr

alle natürlichen ProfIlstIefen

ent-pre

ch end

gute R

esultate

li.

efert. .

Wie

i

ch

b

er eits se

merze lt betont

e,

befindet sich

unter dem

von

mir

g

ew ählten

Unt

ersuchungsmaterial

*) ~lit

±

6. "

sind die Abwei cb un gen der mit Hilf~ ~er Formeln bestimmten von denbydrometrisch erhobenenGescbwlDdl

g-keitswerten bezeichnet. I tb

*

*)

Dr.

J

.

1\Is ndI: n.Graphisch.e D':fst elung von ma e-mstischen Formeln" ("Al1gememe ßauzeltung 1902).

Eine neue Geschwindigkeitsformel für natürliche Flußgerinne.

Von Ur. tec h u, Olto

I

lrii

p

cr,

k. k. Ingenieur im Minist eri um für öffentlic he Arbeiten.

[Iliczu die TafelnIU und IV.)

In

di

eser

"

Ze itseh ri ft" 1

91 3

,

Nr

. 35

. h

abe ic

h

e

ine

~

e u e

h

y

d r

au

1i

s

c

h

e

G

e s

c

h

w

i

'

n

d

i

g

k

e

i t

s

_

..

~

r m.e l f U r

n

a

t U r

1 i

ch

e

F I

u

ß

ge

r i n

n e

v

er.

IJ.

ent~lcht

,

zu

d

er

i

ch

auf d

em

gege

nwä r tig

un

d

vo

ra us.

Slchtl

.lch

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och

lan

ge

Z

eit

einzi

g

zum Zi

ele

führe

nd en

W

ege,

~amhch

dem

e

mpir ischen, auf Grund

e

ing ehe nde r krit

isch er

1ß~~s~hungen

gelangte

,

w

ofür

i

ch

ein umfa

nzreiche

h

ydro-L

~lsch~s

Untersuchung

smaterial

g

esamme lt

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atte.

Im

d aUße d

.leser S

t ud ien

gelangte i

ch

zu

der

ü

be r zeug ung,

k a.

dIe G r

o

ß o der mit t

1e

r e n G e

s c

h w i n

d i

g-I .

e

i

t

(V

zn)

i n

e

i n e m

F

I

u ß pr

o

f i l e b e i n

a

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U

r-b

Irc

h.

e n

F'

I

u

ß

g

er

i n n

e

n

,

der

e

n

Wu

s

s e

r

s

pie

g e

1-1

0 e

i

t e

(B)

ein e u n te r e

G

r e n z e v

on

u n g

e

f

11

h r

S

.m

Ub e r

s

t e i g

t,

nur

d

u r

c

h

da

s

Wa

s s e

r-t pI; gel

g

e

f

11

I I

e

(J)

und di

e

mit t

1 e

r

e

Pr

o

f i

I

s

-dIe

e

(Tm)

b

e

s

tim

m

t

ist.

Ein

en

dir

ekten

Einflu

ß

k

e~

Flußbr

eite

(B)

a

uf die

mittlere

Profilsgescbwindi

g-D

~I~

(V",)

konnt

e

ich

unter d

en

ange

g ebenen U

m

t

l\nd~n

v/

t

fe

s~stellen.

In

e

inem g

ewissen

M

aße

k

ommt

j

a

di

in a

d

sersp~egelbreite

bei natUrlichenFlußgerinn

en

j

ed enfall

Q

~r

mIttl

eren

Profil

sti efe

zum Ausdruck

,

da letzter

e

d

en

U

otlent

e

n au

s

d

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b netzten Profilsfl

äche

und d

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Flu

ß-b

r

.

F

elte

T",

=

B

darstellt.

Auf graphis

ch -l ogarithmischem

~eg.e

k

onnt~

ich b

ei

meinen s

ein erzeitigen

Unter

suchungen,

ör:

in

d

.er

eIngangs genannten Ver

öffentlichung nä

he r

er-rn

i~rt

SInd, zwi

schen

dem Wasser

spiegelgefälle

(J)

der

ges

hr~n

. Pro.filsti

efe

(Tm)

und

der

mittleren

Profils-feste

t

~tndlg~Clt.

(V

m

) eine ganz bestimmte Ges

etzmäßigkeit

g

let

h

en, die ICh sodann mit Hilfe mathematischer

Aus-mi

t

\ ung

von

154 vollkommenen Flügelmessung

en

w

elche

a

usg

esohderer Sorgfalt aus meinem Untersuchungsmaterial

g

lei

ehw

ä

lt

w~rden

in Ge

stalt

folg

ender

Geschwindigkeit

-c ung erhIelt:

u _

')3

'78 t

,.,l1·776

J

O'45S , In- - •.:L"rn · .

154 hD~e

zur Aufstellung dieser Gleichung verwend

eten

d

er

d

rometrischen Erh

ebungen

bewegten

ich innerhalb

J

ren zen

Tm

=

0 '2

111

bis

4'0

m,

B"'1n

=

10 mund

lila"

=

5 °/00,

vo

llk

Zur Kontrolle dieser Formel habe i

ch

weit

ere

150 g

leichlll~~ne

Flügelmessungen herange

zogen

und zum V

er-k

annt e

I~für

auch die Geschwindigkeit

en

nach den

be-e

rrnitt:~t

l'o~meln

von

Siedek

und Mataki

e.w,icz

sic

h

. DIese 150 K

ontrollmessungen

charakteri i

eren

Gesch'°

:

a~

lem.

dadurch

,

daß di

e

h

ydrometrisch

erh

oben en

Arit

te

WI~dlfkClten

in der Uberwiegenden M

ehrzahl

in di

e

S

ie dz

wksc en die bezüglichen Re hnungserg

ebnisse

nach

a

Us reich

d

und 111

~

t a k i e w i c z

fallen, w

a

mir al

e

in

f

Ur 1\.on:n

ll

e

r BeweIS

er~chien,

daß di se Messun

gen

einen

k

eitsgr ad

O

h

- un

d

Ve~g

lelChszwecke

hinlänglich

en

G

enauig-'r

abell en 3 atten.

D16. Vergleichsergebni s

e s

ind in

d

en

zu

sammen

utnd

ll

4 mOiner seinerzeitigen Ver

öffentlichung

ges e

t.

e

itdem

h b

.

I

d'

se

hWilldigk

't

~ a e IC

1

lesen Vergleich auch auf die

Ge-a

Usgedehn

~I

s or

.meln.

von 11 e.r man

kund Li n d b

0

e

d

en

1

50

I{ ).

H lezu ISt alle

rdlDgs

zu b merken.

da

ß

v

on

m

it

R

Uck

?~t

rolhnessungen

nach der Lindb

oe

chen F'

ormel

~c

1

auf deren Gü

ltigk

itsgrenzen nur bei 135

W d *) Die Gescb . d' k .

( 'l

.

t

en mit 1I' lf Will Ig eltswerte nllch der Lindbo seb n Form el nOsterr. W

o

ch~n: bd~f

'fradf In VOll

!

ng. E bre n b erg0 r ermittelt

(2)

welches

die

gesamten

bis

zum

Jahre

1913

im

ö

ster-rei

chischen

hydro

graphischen

Di

en st e

dur

chgeführten

zahl-r

ei ch en

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ydrom etri sch en

Erh

ebun gen

umfa

llt

d

och

nur

e

ine g

erin ge

A

nz ahl

v

on

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ollkommen en

Fl

ügelmeseuu gen

b

ei

mittler

en

Pr

ofil

ti

efen

v

on

m

ehr a

ls

4

111. Au

ßeröst

er-r

eichische

M

e s

ungen

w

ollte

i

ch

zur

Erw

eiterung

d

er

Gulti

gkeit

m

ein er

F

ormel

ni

cht

h

eranzieh en ,

da ich

s

ie

auf ihre Richti

gkeit

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äßlichkeit

hin nur s

ehr sc

h we r

o

de r

g

ar ni

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überprüf

en

konnt

e,

welch

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Kontr

olle a

be r

f

ür

di

e

Au

fst ellun g

e

in er

Ge

schwindigkeitsformel

vo

n

g

röß te r Wi

chtigkei t

i

st .

FUr die Erweit

erung

der G

Ultig-k

eitsgrenzen

blieb d

aher

ni

chts a

nde res übri

g, a

ls Fl

ügel-m

essun g en

mit mittl

eren

Ti

efen

unt

er

4 m

h

eranzuzieh en ,

so

wei t

di

es

mit

RU

cksicht

auf

di

e

Erg

ebnisse

mein

er

s

einer zeitig en

gr

aphisch-l og arithmischen

Unt

ersuchungen

zulässig war.

Ich fand nun,

daß

ich zur Err

eichung

d

er

.

l

oden

g~-w

ie

IC

h

a

n d

en

n

ah ezu

200 M

essung en

-

aS

n Ullt

sa

m te n

ö

t

errei ch i

se

hen

h

y drom etri sch e n

Erh

ebu~gc'ndil1'

Tm>

2 m

-

gef

un den h

ab e,

d

en

bis

bc r igc n

O

es

c

\Vl

_ll1;

· k

eit sfor mel n

an Geu

auizkeit

übe

r leg n 1

8t.

.lhr

cR~c~nung

g

raphisc he D

ar s t el lu n g in A bb .2m

c

h~Jede ~l

ende

übe

r tlüssig .

Al

s

B

ei

p

iel e i

nd in

die

r Abbildun

g

0

g

G

eschwi nd igk eitserm ittlun g neinge

zeichnet:

,

'> 0

d

0 0

0 /

.

T

'

-

0 '30

m

/

Sek.

,

E

U

r

Tm

= ~. In

un

.J

=

'

1

00 I t

m

-

3 I"'

ck

T

m

=

2·0

m

J

=

0'

100°

/

I'

m=

0 '

6 m

k'

0 0 " _

1 '30 1/11

e .,

"

T

m

=

7 '0 /11

"

J

=

0'

100°/

01) "

Vm

- ,

1 c

k.

7 '

-

"I'()

J

-

0,

')300

l'

=

2 '00

m

" m - •

n l "

-

100 01

,

. b ner

fur

Z

ur

Y

ont

ro lle m

ein er Ge c

bwi ndigke it

g

lell~

u

_Il1

der

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roße T

iefen

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öchte

i

ch

hie

r die

i

n d

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Tabe e tischen

'ic

de k8chen V

eröffentli chun g

*)

e

n thalte ne n

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ydro~le

~enicnz

Erhebungen

a u

LI e

r

ö s

t

e

r r

e

ich i

s c

h

er

1'0\ tS I-() I tO , S

/

I

.,

I 1>, 10

,

01 I>B OB 01 1'0 I I

I

/

06 1>7 j 06 0" 1» 1>>1 1>' 0,", O~ 0' 1>, 1>1 01 iO 1>7 0', 01'

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, o.

0-'

OS I I

I

O:U 0"10 o-s 0·5 I I I 01' 01 I ootölle(Jlin%0:

~~-+

-""""""-""""+----"""--+----+----+---r--,...-,...,..---+---"'----::::--;; "

Milll,liefe<Tm)inm:

Abb. 1.

h bereits

beab

sichtigt en

Gültigk

eitserweiterung

m

ein er

F

ormel

hin

-

mit

POl

übe r

2 m h

eranzi eh en

f

ür

di

d

ort

nue Forltlcl

:

si.chtlich

d

er

Tiefe bereit

s

alle

Me

ssungen

von

T

m

=

2 die

G

c c

h w ind ig ke it ' n

nach

d

er

iedek~h:~le

nr

ab-bi

s

4.17/

h

eranzieh en

k

önne,

w

odurch

ich mit j

enen

h

ydro-

w

el che a

us d

en

J

e

un

a en

d

er

0'

n

annten

a Cd

177

aUs

!' .

d d

'

f

olgen

e

m

etri c

h en Erh

ebungen,

deren

T

m

>

4 m i

st ,

nahezu

200 ge

le ite t i t b

erechn et

ind

.

E

s

Sill

ies

.

v

ollk omm en e

Flügelm

e s sun g en

erhielt.

Au

s

di

e e

n

d

en

Jahr

e~

1 7

7 bi

1

90 s

ta m me nd e M

sungen.

e

r~ab s~

ch

mit Hilfe. meiner in der

e

rs te n V

eröffentlichun g

PoetnuDlDlcr der ledoktch0 Taball. U1 G" eo

r

m;tg~t

e~ten

g r a

h

P

ldI

s

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r-

Id

0

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a r i t h m i s

e

h

e

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6

4 .

~:~me

g

el

c

s

m e t

0

e

0

g

en

e

ess

ch win dig k eit

g

le ic h ung :

9 .

K

oc'her,

V

-

')')'11

pO'"

J

O·.Iß

m- - - .' m · •

11 G

Rhein,

Diese Gl

eichung

gilt

so

m it

für

mittlere Tiefen über

127. 260

,

:!

5 .

Unstrut,

2 m, wä

h re n d die frUher veröffentli

chte

für

mittl

ere

Ti fen

179 "

Rh

one,

v

on

0 '20

bi

s

2111

zu b

enutzen

i

st.

221 Iulde

2 "1 -'>_53

Ich

h

abe

e

s diesmal

unterl

assen

die

v

or

t h

ende

_u

Iun

Gl

ei chune a

u s einer Reih

e

v

on

mit müzlich

st er

o

rg f lt

321 ,

32:.

.

291 ~

~

270.271 2 2 2 4.

:!

5,

2!l2

-

,u \

au

sgc

ucht

en

guten

M

essungen

präzis

er

abzul

eiten ,

da

303 :....-305 *.)

310 ,

31 319,

?2,

d

eren

Au

sw ahl

in di

esem

Falle

s

eh r

schwi

erig

gewe

r

e

n

32n 331

,

332 ,334-342.344,

MD

I

EIbe,

Wär

e,

hand

elt

es sich d

och

dabei um hydr

ometri sch e

Er-

3

51 355,

3 '

7 _

35n

,

3G2

-369.

h

ebung en ,

di

e

in

e

i ner nicht gerinO'

en

Zahl mit Hilf

e

d

es

371 :-376,

414 -429

433 -43G

c

h wim mflUge ls,

al

so

nicht mit Flug In an f

e

ter

t

auge

W

olga.

und teilw

ei se

s

ogar

auch im B

ereich e

v

on

Br

ücken

dur

ch-

442 -537

• ittlul1g

f

üh

_t

d

. d

0 .

1 b

h

- - - -

.

F

rmel

zur

Er~

Wi

eJl

g

e

r

w

or e

n

s

m u,

egenwl1rtI

g

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l!JOI, B

rau müll er.

.

'

Eibe bei

Tetscb:~lbe

'

Vorläufig

genügt

meine

Geschwindigkeit

sgleichu~g

**)

Die le Bungen

r.

50;1

bie

30? -.-

h

le sungen

für

den

praktischen W asserbau

vollkommen,

zumal Sie,

wurden in die e

'

ammlung außeröBterrelchlSC er

(3)

1914

343 h b

Di

e mitt

leren

Tiefen dies

er

177 h

ydrometrisch en

Er-d~ un

gen schwanken zwischen 2-0111,

und

1 3-t)

111.

Ob

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F

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Messungen seit z

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acht

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.

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G

_r

_{unde liegt.}

60 70

MiUl.Tiefe(T~)in m: 1"0 60 l]1)10 11 "l " 4'tt5

I

" "0

Über die Torsionsbeanspruchung von

Wellen.

l

eichtern möge

,

was mi

r

ja bei

als

Z

iel vor A

ugen

schwebte.

0)St. V e n a ot, l'ario,.Me m. I'r6 1. pardl v.on." 14(165),1'. 233. 00) Doch haben sieb derartige Form eln bio ia die jlln got e Zeit inTaoehen· büehe ruu,d~l. erbaltrn. Vergi. mei neZuscbrif : in die..r .Zeitecb ri ft " 1912,Nr.11.

Von Ing, Marku Rei n er in 'zer nowitz.

I. Ei nleil ung.

Das Pr oble m der Tors ion zyI i n d r i s c her tühe is t von B. de

t.

V enant

*

)

allgemein fürden Fall, daß der~Iantel des Zylinders s P11nnung sfrei ist, gelöst worden. eine Lösung schließt die scho n früh er von Co u 10m b gefundene für den Kr e i8· zy I i n der als pezialfall in sich. Nach dieser Toreionstheorie [d ie mau vor t, V ena nt zu Unrecht auch auf andere Querschnitts-for me n aus de hnte]

**

)

bleiben

1. die Quers ch ni t t e des tordierten tabes e ben;

2. ist die ein z i g auftretende pannung eine c h u b-span nu ng ~t., welche in den Querschnitten wirkend normal zum Radiusvektor r geric h tet ist und proportional dem Abstande von der Achse wächs t und der eine eben 0 große.chubspannungin den Radial-schnitten entspr icht;

3. ist der auf die Lä ngen einheit des Stabes bezogene Ver. drehungswinke l ;) proportional dem Torsionsmomente M. und um-gekeh rt proportional dem polaren Trägheit momente

1 1'

und einer elastische n Konstanten

G.

Die Formlin de r ung des Stabes besteht in einer über die ganze Länge des tabes hin konstanten Verd rehung der Querschnitte gegeneinander. In den Endquerschnitten muß das, aus den in den einze lnen Flächenelementen angreifen den Sch ub-spann ungen ~l. resultierende Mo ment dem angreifen den 'I'orsions -momente

lI

r

.

gleich sein.

At'

=

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₌

pooltly Hl lll~ re Abweieho,,~

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I

A".

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[±AI) elor ..Dnjf:

I

Anzahl [±6. vl [-6. ,.] der [+6.I'] der

_{" ' = -}

--I= - _<-_{6" )} <+ 6.,.) 177

~

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n6~clllI 123 446rll/

44

1409cm fn= 7-9r lll röger _53!1rll/ 7

50

rll/ 67

1047

CIJI

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l

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i

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111,

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_ _ _

e

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enh an g

d

er

B

eweg ung

s

el ement

e

~~t~en

,

da sie nicht

0

enstes, Sondern ::n ,'gan endes öster reichischen hydrographischen n I rofessor Il n rI a c h er aus gef ühr t wurden.

(4)

344

Sind

X»,

Y., Z.

die gegebenen Kom p0n e nt e n der

0

b er.

tl ä ehe n k ra f t Pv, die auf ein r'lächenelement wirkt, dessen uBere

•'ormale v ist; sind ferner (xvl , (y v) und (zv) dieWinkel, die v mit

den Koordinatenachsen

x,

y und zeinsehlieBt (Abb.1), so best hen

in jedem Punkte der Oberfläche des Körpers die Gleichungen:

Xv= Clx cos(x v) + 'txy cos(y v)+ 'tu cos (z v),

I

: .,= 'txy cos(x v)

+

Cly cos(yv) + 'tyz cos(z v), " 2).

Z,= 'tu cos (x v)

+-

tYIcos(1/v)

+

Cl. cos (zv)

Dies si nd die G ren z b e d in" u n gen für die Differential.

gleichungen 1).

7 ).

5)· -1).

3

. 3). !tuoe _. d • i,l d

r v.rJ'"

. ' . toU-nach d 11Kaordll1l1 U\ - 0r% Ur lh - 0 r Ver chiebull'b b (yv)

=

: -

(

:c

v). 0 - . ung e

.1. 0 laut n di G rOllzb0dillg

.

'

O

U

Ix-

-a;.; ,

Dag

g

n Die Komponenten di n sind

'

)

~

!

~

__

I tll~ oelorr rkl. iooWlnk . l~

=

• r • ank I I,ro L D eU'IDb II ,J ach

I

H.

lJie 'I. Vena ucM Cau"'"

11 )

LQslt Tl'}' .

rflib

rt

bei

, . k d' t r - und. 'Oll

Ein Punkt mit den Zyhnd r oor Ina en '. T DeforlT1l1tl

der durch d·le St.

V

e n ntsehe Lö un" b schrieb nend d Koord'\0 tell

r

eine Verschiebung b, die normal zu r steht un en

und : proportional i t.

Wir sotzen daher

etzt man (:c'1 für den Mantel

X

.

ox cos,} + txy sin.;., } 6).

Y

oe: 'txy':0••}

+

GYsin'}, . . . .

Z

. =

tucos·!. + 'ty. ill'}

"

,,;::;0

. l .t -v')_ :-:, bez .

Für die Endfläcben z-

0

und

z

IS '" ') _

O.

d ( ' ) cos(yv - d'

e

omit cos IV')= - 1 bezw.

+

1 un cos xv - fU r I

, d' gen

Es

nehm n dah r die ren z be lngu11

End t

1

c h e n folgend Form an:

X

l

-

tI X/I= O.

,

=

1 .

)

y/ - - 'tYI/ .=O.&=1, . . ' Z/

01 /. =

0,

&_1

E

G

=

.

)

(

+

1) . . '

~ /11 • "ird,

A b

I"'ewäh lt

I

Für einen Z yI i11der, dessen Achse zur

z

-

c s~.." den l!lllpte

zerfallen die Gr nzbedingungen :!) in zwei ruppen.

Fur

des Zylinders ist

(

z ~

)

=

-T'

somit cos

~

z

v)

=

O.

Ferner ist

Dabei ist:

H der

E

las t i zit tsm0d u

I,

m die

P

0 isso11sehe

K

0 n s t a11te,

Oder G1e i t m0d uI.

Und zwar ist

c

v

ty=

y

'

c

w

cv 1Y'

=

Ti

+

a;-'

Clu

w

r·..

= -~-+-- , GZ 0x

o

v

O

U

1xy= -- + - - .

o

x C1/

E

laStI'

In einem elast isc hen Körp r, der dem Il0 0k schen lineare

z i t11t

s

g e

s

etz gehorcht, ind die pannun g kompollentehn t

d geke r·

Funkt i ollen der Yerzerrungskomponenten un um

Wenn das Material isotrop ist, hab n wir

tx =

~

[Clx - m(Gy

+

"

.)),

1 &y-

E

{

"y

-

m(Cl' + '1) 1, 1 &1- E (", -m(oz:+ Cly)}. 1 1 1 1y'= -otYI, rlx= G tn , r

r

r :

a:..

y . d d Körper

Unter der Einwirkung der Oberß chenkrl1fte wir er I'"

s-verzerrt. Die Verzerrung ist bestimmt durch die

~

Ver z

~

r

rL~g~n'

ko m p0n eJlte n"tx, ty.,t I, ryl , rlY, rxy. tx .ISt dieI auf die Lioien'

einh eit bezogene Dehnung eines zur x·Ach se paralleleo te

iJll

. derKosi . k . I' ienelemen

elementes, rYI Ist er

K

osiaus

d

es

\VIn eis zweI r ~1D bezl\'.

verzerrten Zustande, di im unverzerrt n Zustande der y' ,

z·Achse parallel waren. _. _{unverZerr .}ten

ind x, y, z die Koord inaten eines Punktes Im _ktesllJl

Zustande, x+

u

,

y+

v

, z

+ w di Koordinaten dess lben Pun dorch

verzerrten Zustand e, solassen ich die VerzerrungskoUlponente;lJ}",ie

die Differentialquotienten der Verschie b u nge n

u, v

un

folgt ausdrücken: . . 1).

>

z

--:<

·'

1'

Abb. 1.

Il

.

Die Grundgleichungen der mathematiachen Elasti

zität8theorie.

Es sei Clx die Normal (Zug. oder Druckjspanuung in einem

Fläcbenelement, das zur x·Achse normal st eht ; tYI die Schubspannung

in der Richtung der e-Achse, die auf ein Plächenelernent wirkt, das zur y.Achse normal steht. Diese Schubspannung ist bekanntlich aus

Gleichgewichtsgründen gleich jener in der Richtung der y-Achse die

auf ein Element wirkt, das zur s-Achse normal steht. '

Man nennt Clx, Cly, 01, tp, tu, txy die S pan nun g s kom p

o-n e o-n t e o-n. Io-n eio-nem Körper, auf deo-n keine ~Iassenkräfteeinwirken

und der sich unter der Einwirkung von Oberflächenkrätten im Gleich.

gewichte befindet, befriedigen sie in jedem Punkte des Körpers die

folgenden GI e ich g e w ich t

s

be d

i

n gun gen:

o

Clx + 0txy

t

0tu = 0

o

x

o

y

o

z

'

O'tXY+ OCly + O'tY B

- -

_o

_x

- -

_o

_y

_~-

-

0

_, (''tn

+

O'tYI

+

OCl, = 0

x

0y

o

z

Nach diesen Leitsätzen geschieht durchwegs die Fes t i g.

keitsberechnung von Wellen; danach wird die größte

S pan nung bestimmt und der Halbmesser der Welle gewählt.

Dieser Berechnungsart gegenüber ist aber einzuwenden, daB für

Fälle der Praxis die

0

b e r f Iä c he n k rä fte durchaus nie h t in

den End q u e r s c h n i t t

e

n angreifen, son der n im Gegenteile i n

R i n g t eil end e r 1\1a n tel f111 c h e und daB daher der Man tel

durchaus nich t spa n nungs fr e i ist, sondern in der Regel die

Endfll1c h e n, Allerdings hat

81.

V e n an t seiner Lösung das sogenannte

t.

V e n a nt

se

he

Prinzip hinzugefügt, nach welchem die Lösung rur

alle Querschnitte genau genug gilt, welche von der Angriffsstelle der

äußeren Kräfte g e n ü gen d w e i t entfernt sind. Doch ist damit für

den Techniker der Übe I8t and ni c h t b eh0b en, Denn für die

Dimensionierung eines Konstruktionsteiles ist der "g

e

fä h rIich e

Qu e r

s

c h n i t tUmaBgebend, das ist derjenige Querschnitt,in welchem

die größten Spannungen auftreten - und dies ist eben jener Quer.

schnitt, in dem äußere Kräfte angreifen.

Es ergibt sich somit die Aufstellung einer T he0r i e der

Tor8io n z yIin d r i s c her S t ä b e dur c h K r11 fte, die auf

den 1\1 a n tel ein wir k

e

n, als eine Forderung der Praxis. Eine

solche Theorie wird in den folgenden Ausführungen für den Kreis.

(5)

345

ZEI T SCH RI FT DE

-==================-=-=======

1!l14 . 29), , . 2). . . aO). "·_·" -1;·" .- ...

~

...

A-

z.•.

~

't/y, = O O' X( A- Z), }

t

'.

=

-

G~,Y (l - z) .

___

1'1'---

_,--. -I \ .1 ~

i,l

I '\i~

I

If

..:

m

z

I

~

j-qb

-1Hz

I

,.

-l-

-

- -

_I

~

'"

-

- ---

--4-

_

__

J_

i -

-Z

I I I

-

I'.. : dL,

0)Jedocb bat blor~, nicht dlos. lbo Bedoutnng wlo oben 3.k ist oin. Konlt nlO.

..) Wo Konlta n tokin Glaichnng 26)Istsomit=A.

In dem Querschnitte

z

= 0 wirkt nu n eine ch ubspa nn u ng, die wie im vorigen Kapitel

't'l'/,=~=

k

G~'r*) . . "

25 )

geset zt werden kann. Diese ch n bs pa n n un g nimmt gegen den Quer-schnitt

z

= A ab und ist dort = 0, da der links davon befindliche Wellentoil, auf den llußere Kräfte nicht einwirken, auch seinerseits auf den rechten Wellenteil nicht einwirkt. Da er somit nicht ganz for tfallen könnte, kann der Querschnitt z= l als Endqu erschnitt b e-trachtet werden. !\Ian geht kaum fehl, wenn man annimmt, daß die chubspannung gleichmäßig abnimmt, wenn das Torsionsmoment

J/

.

gleich mä ßig über Averteilt ist; eineAnnahme, die in der Folge veri-fiziert wird. Man kann somit einführen:

m.=

~.

.

2 6),

wo m, das Torsionsmoment pro Längeneinheit Belaetungsläuge ist. Ferner ist mit obig er Annahme

t'tz= Go'r(l-z)

**

)

27).

Zerlegt man diese 'ch u bs pa nn u ng in Kompon enten parallel den Koordinatenachsen, so erhält man

Von den übrigen pannungen se tzen wir

a'x

=

O"y

=

G'Z

=

0 .

wogegen t'x. fraglich sei.

Durch 29) ist vorläufig eine Hypot h ese ausgedrückt, die einer Verifizierung bedarf. Diese Verifizierung und zugleich ein en Ausdruck für t'xy er häl t man aus den Gleichgewicbtsbedingung en 1).

Die ersten zwei der selben nehmen fol g ende Form an

C

't/xY

+

G

0/

Y

= 0,

1 o

y

o

't/:s.y _ O~'

x

=

0 o

x

Die dritte Bedingung ist iden t isc h er fü llt. Aus Gleichung 30) fol gt durch Integra t ion

t'xy=

0:1

0'

(X2- y2)

=

G

o~rt

(

cos'

~

- sin

'

~)

=

G

~r'

cos29 31).

Läßt man eine maximale chubspannu ng

t

zu, so er hält ma n aus 23) bei geg e bene m maxima lem Angriffsmomente maxj[ . den not -wendigen 'Vellenradius

R

aus der For mel

s

R

=

I

r

2lila:!:

J[, .

.

24).

, :: t

Dies ist die Dimensionie rung sform el nach der t. Venan ts chen Theori e.

1 V, T

heorie

für Torsion durch .J

IunJelkräfle.

'Vir nehm en an, es wir kten auf den Man tel eine r Well e äußer e Kräfte ein, und zwar auf zwei (oder meh r ) Ringteil e desselben von der Breite All

b

ezw.

A! (allgemei n A). Die Kräfte setz te n sich dort zu je einem Torsionsmomente .M, zusa m men , das übe r den betreffenden Mantelring verteilt sei. AusGleichgewic h tsgrün de n müs sen die beiden ~lomenteeinander entgegeng esetzt gle ic h sein. Das Koordinaten system werde, wie in Abb. 2 eing etrag en, ang onommen .

Abb. 2

.

11) 10),

12)

.

13). 14). 15). 16). 1 ). 17).

1 9),

21 11,

T 'tto=~' 22). 2 maxMo max'ttz= ::R' . . , . . . . 23). 'tt,=

G

or.

.

. .

2 1),

Inan für/l den Ausdruckaus 20) einführt und fürJpjenen

Dahe r ist tt

=

utsin9

=

-

a

z r sin'f

= -

a

z y,

I

t'

=

u

,

cos cp= ~zr costp

=

ö

zx,

J. w

=

0 Somit folg t aus 3)

"x =

0, Iy= 0, I,= 0 } "(yo= Öz, "(Zlt

=

-

0

y,

"(xy=

0

und die Spann ung sk om pon en t en sin d nach 4)

~

=

~

=~

~

=O}

'tyz=

G

a

X, 't,x= -

Ga

y,

'txy= 0

id .Durch diese Funktionen sind die Gle ich g ewich ts bed ing u ng en 1)

I entIscb e füllt . di . .

D' r u ,womit ie Annnhmen 8) und

9 )

verifiziert werden. 1e Grenzbedingun gen

6)

für den Mantel geben

X'I₌ _0, Y,= 0,

l

Z

v

=

Go (-ycoscp+ xsin<:p)=

=

G

Ör

(

-

sin<:pcos<:p + coscp sin<:p)=

0 J

Es _muß _{somi t der Mantel ta}tsä chli ch spa nn ung s frei sein. I"ür die Endflll.che

z

=

0 ist

X

· "

=

G

ö y,

Y,

,'

= -

G OX,

Z

,,

=

O .

.

Daraus folgt X·

=

flX.,'dxdy

=

G,>s«

=

0,

y

.

=

.L\'

1'.

,/d

x

d

y

'= -

G ö Sy

-

0, zo= HZ,'dxdy= 0,

J

1[x·=

I'l

z"

ydxely = 0 "

,

.1ly

· =

_.

\'

_J

rZ"

xd.xtl

y

=

0 ,

J1[z·=1',\'(Y",x X,,'y)dxely=

-

G o

J

p

be Dabei bedeutet Sx das stati che Momen tdes Querschnittes in

Zu", aufd'

pol ö rex-Achse, '

r

dasselb ein bezug auf die y.A chseundIpdas

are 1'rilgheitslllolllent. Und zwar ist

x=

S

y

= 0,

I

_p

=

1t

R'

') }1'ür die Endfläche

z

= l i st-X,'= -

G

oy ,

'l

Y

,'

=

+

G

o x,

J

Z

,,

=

0

Daraus folgt wieder

XI

=

YI

=

Zi - 0,}

lxi = J1Iy l= f',

M

.I

= G~IJl

dah

D~e ~uf

die Endflilchen wirkenden äußeren Kräfte müssen sich lasser einZig zu je einem Momente um die z-Achse zusammensetzen

D

_{e e}

n,

Diese bei den Momente sin d einander en tgeg engese tzt gleich,

r ganze tab '

, Ist dahor im G leichgewichte.

etzt man .M.I

=

_

.Mo•

=

jI.

so ist

o

=

.3~~

20 ).

GJ

p

t , ty< und 'tZlt lassen sich zu einer ch ubspa nn u ng von der Größe

Yl

+

't'x' - G' hl

mit d - 0T zusammensetzen. Die e chubspannung sc ießt

er x'Achse einen Winkel ein, dessen Kosinus gle ich ist :

_ - : , ,% y .

= - -= - sl n9

. t l lt

+

tl.S.2 r

mit der

y

A h '

. c se einen Winkel, dessen Kosinus gleich ist

'ty,

X

• / = - '=costp,

S.

v ' tYZz + 't'x' T

F

'

ie hat somit di I" I

(lichen I re ue Itung der Tangento und da sie auf

, e einente wirkt di I '

Sie n:it r ' ie norma zur x·Achse tehen, beseichnen wir

t,'

Es ist somit ode r Wenn sus16) :

(6)

346 ZEITSCHRIFT DES

Ö

TERR. INGENIEUR·

1914

=

. 39

),

41 ).

40)

.

. . .

t lide er-pannungszUS

.

. . .

x

m. Nt .

N

"

=

-

I

,

:

T

SIO

4 :;

,

m. R' .

T"

=

-- --

_I,.

111'

2 '

:!

"

G

o

'

r' . G

,

=

-

- 4 - 104-':1

o

v»

0"1- + -

₄

-si n 4~_T' o" t,=' U, ~"l.

Gil'

r(A- z), t"n - 0, G~'r ~"'I ~sin' 2cp Daher ist: und us 39) aus 37) o'r

=

G

~

1" sin4T, \ G0' 1" 0/,- - - 4 -sin4'T, 0'1

=

0, t/t z

=

G

o'

l'(i.-

z

,

t' ,z 0, Go'

r'

t"1

=

-

2-

co~'

2

l' Ulnde von Durch bere inanderlagerun g solcher pannungszuB 'dreht

. . d ei W' kel GIver

denen Jeder gegen den anderen um irgen einen III h

·tt

sn-ist,

Il\ßt

sich eine Reihe von

r.

e

ungen für den Kreisquersc

;\1

der gebe n . Die wichtigste Lösung ist jedenfall jene

I

ür

den a

.

entialJ.:rä//t·

V. Tornon durch gleichförmig überden Umjanq

t'

er~\lte

Tang.

erhl1_ll 'Vie aus dem Diagramm für

T

'

unmittelbarzu ersehen

\~t,

A

b-.. d . vorIgen

man diese Lösung dnrch Uberelnand er l gerun g er IIn . m deli schnitt gegebenen

L

ö

ung mit einer anderen , die gegen Jene u

- ~ so folgt

Winkel Ct=

i

verdreht ist. etzt m n statt 'f...CP+

T'

Durch ..bereinanderlagerung der beid n h lt man:

der Koordi-syste m bezogenen und

I

,

m, n die Ricbtungsk osinuss e

natenachsen gegeneinand er nac h folg endem che ma :

x

y

z

Xl

1\

m\ n1

Yl

I,

m,

n,

%\ I, In,

n,

.

In unserem

F

lIe gilt da folg nde TransformationBkreu Z:

%

y

Z r co 'P aine 0,

t

-

sinCf' cose 0, %

0

1.

j

35),

v

Abb. 3.

1:

2:::

j.

G;,'

R

'

j'

Y

,

R d

-:;

=

- - : ! - cos 2Cf'cosCf'

d

Cf'

=

0, o 2:::

m

.

=

J(l",X- XvY)Rd q>=

G

Ö~

~

Jcos' 2 q>d <:P = o 2:::

J

"

X'IR dCf'= -

Gö' R3

-2 -

J

cos2tpsin'=Fd'P

=

0, o

;\ h nlich kann man zum Zwecke einer anschaulichen \)

r-s~el1ung auc~

die pannungs- und V

l'rze

rrungsko~ponenten

parallel

e~nem

KoordlOatensystem angeben, das vom Radiusvektor und einer

Normalen darauf gebildet ist. Die Transformation wird nach folgenden Formeln ausgeführt:

0".

=

~

'

0"+

m

1' <1y+

n\'

o.+ 2m111\

~ya

+ 2

n

₁

1\

t

."

+

2

~

m₁r,y,

I

~"

I

Y.

=

1

_1.0,

+

m l m, Oy

-

I-

11111,Oa

+

(mi11,

+

m, rn\)

~Y'

+

3 ).

+

(n\ 1.

+

11.1\)

~z

+

(l1m,

+

I, rn,)r"y

Dll,bei sind O'u r"IY, die auf das neue Koordinat nsy t m h _ zogenon•pannungskomponenten, OX, t" y die auf das alte KoorJin

ten-0) V 'Ill. d•• S.SCGdarDbr nomorkl O.

av

RC;;

:!

=

G

r,'l

p

das heißt, die auf den ~Ianteleinwirkenden Kräfte geben einzig ein Moment um die z-Achse. Dadurch ist auch die Annahme, daß die an-genommene chubspannungsverteilun g 27) einem gleichförmig ver. teilten Torsionsmomente entspricht, verifiziert.

Aus 35)erhält man " _

niz

.

o - G11' 36).

Zerlegt man die ans

X

v

und

Y

v resultierende Kraft

P»

in die Komponenten

T'

und

N

'

parallel der Tangente und l:ormalen, so

findet man (ve rg l. Abb. 3)

~11

X

+

)

"

G;,' R' . m. R ' .

1

•, = vcosCf' .,SID Cf'= - - -B1ll 4Cf'

=

-

- - S ill4'1',

4 I..

4 "

Go' R"

fnz

R"

.

37).

T =

X

v

slnCf'+ Y·,costp

=

- - -cos' 2 op

= -

- cos :!<:p

2 11' :?

N

'

und

T'

lassen sich graphisch folgendermaßen darstellen (Ab b. 4 und 5). • 'u n folgt aus 4)

,'"

=

,

')"

=

E',

=

0,

\

r

'p

=

;/

x(.l.-z), y'u= - ,,'

y

(A.-

e

),

I

'

.

32 ).

~Irl

r

'"

y

=

+~cos2 -.;

Die Grenzbedingungen für die

Endfl

ä

che

z

= A. *) geben

X

"

=

Y

· ,I

=

Z

· .'

=

0 33)

.

Es ist somit die Endfläche spannungsfrei. Die Grenzbedin-gungen für den ~Iantel geben:

G

~'

Rl

1 x

.

= - -2 -cos2 Cf' sinq>, GÖ' R' . . . 34).

Y

,

= - q- - cos"2<:pcos<:P,

f

Z,=

G

o'

(A -

z) (-

y

cosCf'+ Xsmtp)

=

0

Daraus folgt ---t---~-....!-LJ--~:x.

(7)

1914

=--

D ARCffiTEKTE '

.VEREINES

Ir.

1 ₃₄₇

50) . . . . 55). . 60). der dritten der · . . . . 56) • • . . . 59) · . . . . 54). . . . 51). . . . 53). omit ist

Aus den ersten zweien dieser Gleichungen folg t :

0

2

_v

e

2_U

~_~= 4 1,1(J.-Z) .

o

z

o

x

o

y ,

;z

und diese Gleichung gibt in Ver bind ung mit der dri tten der

Gleic h unge n 49): G2

_v

BZo

~

=

20'(I.. - z),

ei l t , • - - =

-

2

0

(A.-z)

e

yo z

Differenziert man die ers te n zwei der Gleich unge n 48) nach e,

so erhält man -2

~

_o

=

-2ö'x

1 z

'

,

l

J

.

. .

.

52).

Schließlich erhä lt man durch Differ ent iation

Gleichungen 48) nach

x

und nach y

Clvo

3

ö'X.

o

x

l

= + -

2-(_{2 1/0}

3

ö'

y

-'(ryl = - - , , -Aus 51), 52) und 53) folg t Vo

=

G'x {z(21..- z)

+

~2

},

l

U

o

= -

O

'v

{z

(

:?A

-

Z) +

y~}

J

1l = - 0'y

[

z

(2A.- z)

+

~I

II

v

=

0'

x

l

z

(

2

J. -

z

)

+

~]

J

Man findet dann leicht, daß

10=

0 .

.

bis auf solche Verschiebung, die aneinem star re n Körper möglichist. u und

v

sind die Komponenten eine r Ver sch iebung, welche die Richtung der Tangente hat. Ihr Wert ist

U

t

=

o

'r

[z (2 A. - Z

)

+

r;

]

57).

Eine Verschiebung in radialem Sinn e findet nicht stat t.

Ur=

o

.

. .

.

5 ).

Die Verschiebung setzt sich zusamm en aus einer über die ga nze BelastungsilInge I.. konstanten Versch iebung

(I) 0'

,.s

U. = - 4- .

und einer zweiten, die quadratisch mit z wächst und linear von r

abhll.ngt. (2) Ut

=

(,1rZ(~A- z) . 4·1). . '(i), . . 45). setz t ma n die

.

4 ).

. . . 43). r,'

I

"4

x

2_V

+

U

o

(y1

z

),

+

~

:ry2

+

V,(z , x)

J

v

11=

o

0/r2 • 0"

= -

-

2 -

Sln~cp,

o

l'r2

0,

=

+ - -s in2 r-2 T' Oz= 0, '1Z=

200'

x (I..- z),

'zx

=

-

200'V(I..- z),

0 0'

r2 t"y

=

+-

_~

-

cos~e

.

Daraus folgt nach Gle ichung 6)

X

a

»

R2

• Y =-~sin 'f,

Y

Y= + -00'_ _W cosrn :2

T'

m2₌

I

₍

_Y

y

x

~

_X

_y

_y₎_R_{d cp}₌

₊

_{0 0'}

_R'_::

=

_20ö

'

lp Aus 44) folgt: ode . k

r In artesis ch e Koordinaten nach den GI . h 3 ) " k

I

t_ransformi_{ert :} eic ungen ' ruca

-Ol

=~

_~Gll₎ _{. . .} _. '" Zur Berechnung der Verzerrungskomp onenten

erte aus 43) in 4) ein und er hä lt : 0'r2

s-t" = - - 4- .sin2rn= XV T ~ I ;,r' 1')' ty

=

+ - - sin2Cl

=

+

-

x

V

4 : 2 '

t.=

0,

.

4

61.

Y)'z - 2O'

x

(A

z ,

y""

=

:2

Ö'V(I..

z ,

1,'r2

_ö'

Y"1

= + ~ cos 2cp

=

+

""2

(Xl- y2)

die

V~u~ ~en

Verzerrungskomponenten erhält man durch Integration

Gle' hehlebungen. Und zwar folgt aus den er st en zweien der IC ungen 46) durch partielle Integrat ion

Wllhrend aus der

allein ist. drittun folgt, daß 10 eine Funktion von

x

und V

Dann gehen dieletzten drei Gleichungen46)in die folgenden übe r:

010

ov

:;-+

_ 0

=

2 0'

x(A. - z),

uy

Z

c

U'

U ~_uX

+

~

_oz

-

2Ö'

Y

(A.

z

),

~

+

(11/~

=

30' (X 2_ VI ) C

x

!I 4 .: -:~::

-Abb.8.

.

...

.."..

1\

-_.._

~._

_

.

_..

_

.

1\

-_

~

I

.,.

"""t-...L..-~j..

Ü

'

.q,:a,lZ"-

~

Abb. 6

.

Differellzie t ... .

z\\'eite h r man uie erste dieser Gleichun gen n ch

x,

die

lIac y und die dritte nach

z,

80 er hält IIlAn :

02₁₀ ₀2V

('xcy+

(z/- - n ' (A. -z), (2 10 ( l U

exf.Y

- +

o

yez

- 21,'(A. Z), . • • • 4~1).

c

2 V -2

_

'

+

C tlo (Zr;

y-;

0

Gleichung 59) ist die Gleichung einer kubischen Parabel'

.\Lb, 6 gibt die gra phisc he Darstellun g der Abhllng igk eit. (2)

In Abb, 7 ist die Abhängigk eit von 11\ von r, in Abb. von z da rgest ellt .

Die eine m beli ebi gen

z

(k leiner als A) ontspreche nde Ver -ch i bung Ut erhält man durch "b reinan derla ger ung d r beiden Ver