Prof. Dr. W. M¨uller Bonn, den 30. 11. 2006 Mathematisches Institut
Universit¨at Bonn
Analysis auf Mannigfaltigkeiten I (WS 2006/07)
Ubungsblatt 6¨
Aufgabe 1.Es sei ρ =xdx+ydy die radiale Form aufR2 und ω= −y
x2+y2dx+ x x2+y2dy
die Windungsformauf R2\ {0}. Zeige:ρ und ω sind geschlossen.
Aufgabe 2. Es sei P : R2\ {0} → R2\ {0}, (r, φ) 7→(rcosφ, rsinφ) die Polarko- ordinatenabbildung auf der gelochten Ebene. Zeige:
i. F¨ur die radiale Form gilt:P∗ρ=rdr.
ii. F¨ur die Windungsform gilt:P∗ω =dφ.
Aufgabe 3. Es seiM eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, α eine 1-Form auf M undγ :I = [0,1]→M ein Diffeomorphismus zwischenI und der Spur Tr γ =γ(I).1 Es sei γ∗α=a(t)dt. Dann definieren wir das orientierte Integral
Z
Tr γ
α= Z
I
γ∗α :=
Z
I
a(t)dλ(t),
wobei λ das Lebesgue-Maß auf I bezeichne. Zeige: Das Integral ist wohldefiniert, d.h. f¨ur eine weitere diffeomorphe Parametrisierung ϕ : I → Tr γ mit ϕ(0) = γ(0) und ϕ(1) =γ(1) gilt:
Z
I
γ∗α= Z
I
ϕ∗α.
Ist ϕ hingegen orientierungsumkehrend, d.h. ϕ(0) =γ(1) und ϕ(1) =γ(0), so gilt:
Z
I
γ∗α=− Z
I
ϕ∗α.
Sei nun weiterhinf :M →Reine differenzierbare Funktion und γ(0) =γ(1). Zeige:
In diesem Fall gilt:
Z
Tr γ
df = 0.
Folgere: Die Windungsformω ist auf der gelochten EbeneR2\ {0}nicht exakt, d.h.
es existiert keine Funktion f :R2\ {0} →R mit df =ω
aufR2\ {0}. (Die Rechnung wird leicht, wenn Sie Aufgabe 2 verwenden.)
Bitte wenden.
1D.h.T γ besitze eine stetige Fortsetzung6= 0 auf den Rand∂I ={0} ∪ {1}.
Aufgabe 4.Es sei P die Polarkoordiantenabbildung aus Aufgabe 2 und H ={(r, φ) :r >0} ⊂R2\ {0}.
Es sei weiterhin η eine beliebige geschlossene 1-Form auf der gelochten Ebene. Wir betrachten
P∗η =a(r, φ)dr+b(r, φ)dφ aufH. Zeige
∂
∂φa= ∂
∂rb , und folgere, dass
f(r, φ) := (r−1) Z 1
0
a(1 +t(r−1), tφ)dt+φ Z 1
0
b(1 +t(r−1), tφ)dt
eine Stammfunktion zuP∗η liefert. Es sei
g(r, φ) := φ
2π f(r,2π)−f(r,0)
= φ 2π
Z 2π
0
b(r, t)dt.
Zeigen Sie, dass g nicht von r abh¨angt, d.h.
Z 2π
0
b(r, t)dt= Z 2π
0
b(s, t)dt
f¨ur beliebige r, s > 0, indem Sie auf Wissen ¨uber Kurvenintegrale aus der Funk- tionentheorie zur¨uckgreifen (P∗η ist geschlossen!), und dass f¨ur
h(r, φ) :=f(r, φ)−g(φ) und k∈Z gilt:
h(r, φ+ 2πk) =h(r, φ).
Aufgabe 5.Verwenden Sie die Ergebnisse aus Aufgabe 4 und Aufgabe 2, um folgen- des zu beweisen: Sei η eine beliebige geschlossene 1-Form auf der gelochten Ebene R2\ {0} und ω die Windungsform. Dann gibt es genau eine Zahl R∈R, so daß
η−Rω
aufR2\ {0} exakt ist. R heißt Residuum von η im Nullpunkt.
Bemerkung:Auf diesem Blatt wurde HdR1 (R2\ {0})∼=R gezeigt.
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