Prof. Dr. W. M¨uller Bonn, den 09. 11. 2006 Mathematisches Institut
Universit¨at Bonn
Analysis auf Mannigfaltigkeiten I (WS 2006/07)
Ubungsblatt 3¨
Aufgabe 1. Es sei M ⊂Rn eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit in Rn und f eine differenzierbare Funktion in einer Umgebung eines Punktes p ∈ M, die auf M konstant ist. Zeige:
∇f = t
∂f
∂x1, ... , ∂f
∂xn
ist im Punkt porthogonal zu TpM.
Aufgabe 2.Sei f :S2 →R4 gegeben durch
f(x, y, z) = (yz, xz, xy, x2+ 2y2+ 3z2).
a) Zeige: TpS2 ={v ∈R3 : hv, pi= 0}.
b) Berechne die Tangentialabbildung Tpf f¨urp∈S2 und zeige, dass diese stets injektiv ist.
Aufgabe 3.Es sei Φ :Rm →Rn eine lineare Abbildung. Bestimme die Tangential- abbildung TpΦ :TpRm →TΦ(p)Rn in einem beliebigen Punkt p∈Rm.
Aufgabe 4. Es sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und f : M → Rn eine differenzierbare Abbildung. F¨ur festes p∈M gelte: Rang(Tpf) = dimM =m.
Zeige: es gibt Indizes 1≤j1 < ... < jm ≤n, so dass (fj1, ..., fjm) in einer Umgebung von peine Karte ist.
Aufgabe 5.SeiM eineC∞-Mannigfaltigkeit,p∈M undF eine Klasse reellwertiger Funktionen auf M (etwa F =C∞ oder F =C). Auf
Fp0 ={(U, f) :U ⊂M offen, p∈U, f ∈ F(U)}
ist eine ¨Aquivalenzrelation gegeben durch: (U, f) ∼ (V, g) :⇔ Es existiert eine offene Umgebung W ⊂U ∩V von p mit f|W =g|W. Die R-Algebra FM,p =Fp0/∼ heißtR-Algebra der Keime reeller F-Funktionen aufM im Punktp. Eine R-lineare Abbildung δ :FM,p→R mit δ(f g) =f(p)δ(g) +δ(f)g(p) f¨ur alle f, g ∈ FM,p heißt Derivation.
a) Zeige: Der TangentialraumTpM ist isomorph zum R-Vektorraum der Derivatio- nen δ : CM,p∞ → R auf der Algebra der Keime reeller C∞-Funktionen im Punkt p.
(Hinweis: Sei M =Rn und p= 0. Dann besitzt jeder Funktionskeim f ∈ CR∞n,0 eine Darstellungf =f(0) +f1x1+...+fnxn mit fj ∈ C∞
Rn,0 und f(0) ∈R.)
b) Zeige: Jede Derivation δ:CX,p →Rauf der R-Algebra der Keime stetiger reeller Funktionen im Punktpist die Nullabbildung. (Hinweis: F¨urf ∈ CM,pistf =f+−f−
und f+ = (f+1/2)2, wobeif+ und f− stetige reelle Funktionskeime sind.)