Prof. Dr. W. M¨uller Bonn, den 07. 12. 2006 Mathematisches Institut
Universit¨at Bonn
Analysis auf Mannigfaltigkeiten I (WS 2006/07)
Ubungsblatt 7¨
Aufgabe 1. Es sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, U ⊂ M offen und x = (x1, ..., xn) : U → Rn eine Karte. Die Koordinaten in Rn seien mit t1, ..., tn bezeichnet. Verdeutlichen Sie sich folgende Aussagen:
i)x∗ ∂
∂xj
= ∂t∂
j und x∗(dtj) =dxj.
ii) Istdxj die ¨außere Ableitung von xj, so gilt:
dxj ∂
∂xi
=δij.
Das heißt, die ¨außeren Ableitungen dx1, ..., dxn bilden tats¨achlich die zu ∂x∂
1, ...,∂x∂
n
duale Basis.
Aufgabe 2. Sei nun y = (y1, ..., yn) : V → Rn eine weitere Karte. Verwende die Uberlegungen aus Aufgabe 1, um¨
dyi =
n
X
j=1
∂yi
∂xj
dxj und ∂
∂yi
=
n
X
j=1
∂xj
∂yi
∂
∂xj
aufU ∩V zu zeigen. Verwende weiterhin
∂yi
∂xj
= ∂
∂tj
(yi◦x−1) ,
um
dy1∧...∧dyn= det Jac (y◦x−1) dx1∧...∧dxn zu berechnen. Dabei bezeichnet Jac die Jacobi-Matrix.
Aufgabe 3. Eine Riemannsche Metrik ist ein Schnitt g ∈ C∞(M, T∗M ⊗T∗M), so dassgp in jedem Punkt p∈M ein Skalarprodukt auf TpM induziert. Auf U ∩V besitzt g die lokalen Darstellungen
g =
n
X
k,l=1
gkl dxk⊗dxl bzw. g =
n
X
k,l=1
hkl dyk⊗dyl
mit Koeffizienten gkl, hkl ∈ C∞(U ∩V). Zeige, das f¨ur die Koeffizientenmatrizen G= (gkl)nk,l=1 und H = (hkl)nk,l=1 die Relation
H = J GJt
ref¨ullt ist, wobeiJ = Jac (y◦x−1) wieder die Jacobi-Matrix bezeichnet (und Jt die transponierte Matrix).
