Prof. Dr. W. M¨uller Bonn, den 02. 11. 2006 Mathematisches Institut
Universit¨at Bonn
Analysis auf Mannigfaltigkeiten I (WS 2006/07)
Ubungsblatt 2¨ Aufgabe 1 (Ein-Punkt-Kompaktifizierung).
Es sei X ein lokal kompakter Hausdorffraum und X+ =X ∪ {∞}, wobei ∞ einen (beliebigen) Punkt bezeichnet, der nicht inX liegt. Eine TeilmengeS ⊂X+sei offen genau dann, wenn sie entweder in X offen ist oder S = X+\C f¨ur eine kompakte Menge C⊂X gilt. Zeige: X+ ist ein kompakter Hausdorffraum.
Aufgabe 2.
Ein topologischer Raum heißt σ-kompakt, wenn er abz¨ahlbare Vereinigung kom- pakter Teilr¨aume ist.
i) Es seiX ein lokal kompakter topologischer Raum.
Zeige:X ist σ-kompakt ⇒ X ist parakompakt.
ii) SeiX ein lokal kompakter Hausdorffraum mit abz¨ahlbarer Basis (der Topologie).
Zeige: Die Ein-Punkt-Kompaktifizierung X+ ist ein kompakter Hausdorffraum mit abz¨ahlbarer Basis, und X istσ-kompakt.
Aufgabe 3.
Es seiM eine (topologische) Kopie vonRund Φ : M →Rgegeben durch Φ(x) =x3. Die Karte Φ definiert eine differenzierbare Struktur auf M. Beweise oder widerlege die folgenden Aussagen:
i)M ist diffeomorph zu R.
ii) Die Identit¨atsabbildungId:M →R, x7→xist ein Diffeomorphismus.
iii) Φ und die Identit¨atsabbildungId liefern einen Atlas.
iv) Auf der Ein-Punkt-Kompaktifizierung M+ liefern Φ und die Abbildung Ψ gege- ben durch Ψ(x) := 1/x (f¨urx6= 0, Ψ(∞) = 0) einen Atlas.
Aufgabe 4.
Seien (r, θ) ebene Polarkoordinaten und (x, y) kartesische Koordinaten auf R2\R+. Berechne ∂r∂, ∂θ∂ in kartesischen Koordinaten und ∂x∂ , ∂y∂ in Polarkoordinaten.
Aufgabe 5.
Einen-dimensionale MannigfaltigkeitM heißtparallelisierbar, falls ein Diffeomor- phismus Φ :T M → M ×Rn existiert, so dass Φ|TpM : {p} ×TpM → {p} ×Rn in jedem Punktp∈M ein linearer Isomorphismus ist. Zeige:
i)M ist genau dann parallelisierbar, falls n linear unabh¨angige Vektorfelder aufM existieren.
ii) Auf der Sph¨are S2 existiert kein nirgends verschwindendes Vektorfeld.