Analysis auf Mannigfaltigkeiten I (WS 2006/07)

Prof. Dr. W. M¨uller Bonn, den 23. 11. 2006 Mathematisches Institut

Universit¨at Bonn

Analysis auf Mannigfaltigkeiten I (WS 2006/07)

Ubungsblatt 5¨

Aufgabe 1. Es sei V ein n-dimensionaler R-Vektorraum und g : V ×V → R eine nicht-entartete symmetrische Bilinearform. Zeige: Dann definiert g Isomorphismen

]:V^∗ →V, [:V →V^∗,

die durch die Vorschriftv^[(w) = g(v, w) und]=[⁻¹ gegeben sind.

Aufgabe 2. Es sei M eine Untermannigfaltigkeit in Rⁿ und f :M →R eine C^∞- Funktion. Dann kann die Tangentialabbildung als Pfaffsche Formdf ∈C^∞(M, T^∗M) aufgefasst werden (vgl. Vorlesung).M sei versehen mit der Einschr¨ankung der Stan- dardmetrik vonRⁿ auf M. Das Gradientenfeld ∇f von f aufM ist gegeben durch

∇f|_p =df|^]_p nach Aufgabe 1 mit V =T_pM f¨ur allep∈M.

i) F¨ur 1≤k < nseiM ={x= (x₁, ..., x_n)∈Rⁿ :x₁ =...=x_k= 0}und f(x) =x₁. Berechne das Gradientenfeld∇f und bestimme den Fluss.

ii) Es sei M =S² ⊂ R³ und f(x, y, z) = xy. Berechne das Gradientenfeld ∇f und skizziere die Flusslinien.

Aufgabe 3.Es sei g⊂M(n,R) eine Lie-Algebra von Matrizen, d.h. ein Untervek- torraum, so dass

∀A, B ∈g: [A, B] =AB−BA ∈g.

Wir setzen f¨ur g ∈GL(n,R):

lg :GL(n,R)→GL(n,R), h7→gh.

i) Es seiA∈T_IdGL(n,R)∼=M(n,R). Zeige:

(l_g)∗A:=T_Idl_g(A) = gA.

ii) ZuA∈g betrachte man das zugeh¨orige linksinvariante Vektorfeld X_A ∈C^∞(T GL(n,R)), X_A(g) =gA.

Man zeige:

[X_A, X_B](g) = g[A, B], [X_A, X_B] =X_[A,B].

Bitte wenden.

Aufgabe 4 (Tensoren vom Typ(r, s)).SeiV einn-dimensionalerK-Vektorraum.

Wir definieren

Ten^r_s(V) = ⊗^rV

⊗ ⊗^sV^∗ .

Die Elemente in Ten^r_s(V) heißen Tensoren vom Typ (r, s). Ferner definiert man Ten(V) = M

r,s≥0

Ten^r_s(V),

und setzt f¨urR:=v₁⊗ · · · ⊗v_r⊗ξ₁⊗ · · · ⊗ξ_s ∈Ten^r_s(V) und R⁰ :=w₁⊗ · · · ⊗w_r⁰⊗ η₁⊗ · · · ⊗η_s⁰ ∈Ten^r_s⁰0:

R⊗R⁰ :=v₁⊗ · · · ⊗v_r⊗w₁⊗ · · · ⊗w_r⁰ ⊗ξ₁⊗ξ_s⊗η₁ ⊗ · · · ⊗η_s⁰ ∈Ten^r+r_s+s⁰0(V) Ten^r_s(V) ist eine Z⁺×Z⁺-graduierte K-Algebra. ( ¨Uberpr¨ufen!)

Die (i, j)-Kontraktion wird definiert durch:

C_jⁱ : Ten^r+1_s+1(V) → Ten^r_s(V),

v₁⊗ · · · ⊗v_r⊗ξ₁⊗ · · · ⊗ξ_s 7→ ξ_j(v_i)· v₁⊗ · · ·vb_i· · · ⊗v_r⊗ξ₁⊗ · · ·ξb_j· · · ⊗ξ_s ,

und dann linear fortgesetzt¹. i) Zeige, dassC_jⁱ wohldefiniert ist.

ii) SeiA∈End(V) =V ⊗V^∗ = Ten¹₁(V). Zeige, dass C₁¹(A) = TrA.

Aufgabe 5. Es sei V ein n-dimensionaler R-Vektorraum und g : V × V → R eine nicht-entartete symmetrische Bilinearform. Es sei an die durch g definierten Isomorphismen] und [ erinnert (Aufgabe 1).

Falls A=v1⊗ · · · ⊗vr⊗ξ1⊗ · · · ⊗ξs und a≤r+ 1, b≤s, so setzen wir

↑^a_b A:=v₁⊗ · · · ⊗va−1⊗ξ_b^]⊗v_a⊗ · · ·v_r⊗ξ₁⊗ · · ·ξb_b· · · ⊗ξ_s und, fallsa≤r,b ≤s+ 1,

↓^a_b A:=v₁⊗ · · ·vb_a· · · ⊗v_r⊗ξ₁⊗ · · · ⊗ξb−1⊗v^[_a⊗ξ_b⊗ · · · ⊗ξ_s.

Man zeige, dass ↑^b_a und ↓^b_a auf Ten^r_s(V) linear fortgesetzt werden k¨onnen. Weiter zeige man

↑^a_b ◦ ↓^a_b=↓^a_b ◦ ↑^a_b=Id.

1Die Schreibweise· · ·vbi· · · zeigt an, dass dasvi weggelassen wird, d.h.· · · ⊗v_i−1⊗vi+1⊗ · · · usw.

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