1 AUFGABE 27 1
1 Aufgabe 27
Die L¨osungskurve, sofern sie existiert, ist der Spline zu den Kontrollpunktenp0, dem Schnitt- punkt der beiden Tangenten und p1. Die Tangenten sehen dabei aus wie folgt:
T0 :p0+at0
T1:p1+bt1
Es folgt direkt, dasst0 undt1 linear unabh¨angig sein m¨ussen, sonst gibt es keinen Schnitt- punkt. F¨ur den Schnittpunkt der Tangenten gilt also wie im Bild eingezeichnet
(1)p0+λt0=p1+µt1=q Der L¨osungsspline l¨asst sich schreiben als
f(t) =b31(t)p0+b32(t)q+b33(t)p1
Durch Ableiten erh¨alt man an der Stelle 0:
f0(0) = 2·(b21(0)
|s21| p0−b22(0)
|s22| p0+b22(0)
|s22| q−b23(0)
|s23| q+b23(0)
|s23| p1−b24(0)
|s24| p1
= 2(b21(0)·p0+b22(0)(q−p0)) = 2(q−p0) = 2λt0
Es gilt also
f0(0)
||f0(0)|| = λ
|λ|t0
Es muss also auchλgr¨oßer als 0 sein und alsoµkleiner als 0, was direkt aus (1) folgt. Das waren auch bereits die gesuchten notwendigen und hinreichenden Bedingung f¨ur eine L¨osung des Problems: λ > 0; µ < 0; t0, t1 linear unabh¨angig. Jetzt m¨ussen wir die beiden ersten Bedingungen noch auf die gegebenen Vektoren ¨ubertragen.
Wir nennen den Vektor vonp0 nachp1d:
λt0−µt1 =p1−p0 =d Wir multiplizieren im Kreuzprodukt mitt1
λ(t0×t1)−µ(t1×t1) =λ(t0×t1) =d×t1 Woraus wiederum folgt
λ= d×t1 t0×t1
Das soll wie wir wissen gr¨oßer als 0 sein und alsod“zwischen”t0 undt1 liegen.
Gleiches Ergebnis erhalten wir bei der Beziehung zu µ:
µ=−t1×t0
d×t0
Es sind also die notwendigen und hinreichenden Bedingungen an die in der Aufgabe gegebenen Gr¨oßen:
1 AUFGABE 27 2
t0 und t1 m¨ussen linear unabh¨angig, also nicht parallel, sein, und d, der Verbindungsvektor von p0 nach p1 muss geometrisch zwischent0 und t1 liegen.
