Aufgabe 1 Lineares R¨auber-Beute-Modell (Zustandsraum)

Mathematik II: Lineare Algebra und Systemanalyse ¨Ubungen WS 2004/05 Teil Systemanalyse

Dieter Imboden

¨Ubung 2, vom 06.12.2004 R ¨uckgabe am 13.12.2004

Aufgabe 1 Lineares R¨auber-Beute-Modell (Zustandsraum)

R¨auber-Beute-Modelle (RBM) werden herangezogen, um das Zusammenspiel und die Abh¨angigkeiten von Populationen verschiedener Spezies aufzuzeigen. Eine Fragestellung w¨are z.B., wie h¨angt die Wildhasen- Population von der Fuchs-Population in der Schweiz ab? In diesem Fall, w¨aren die Wildhasen die Beutetiere und die F ¨uchse die Raubtiere oder R¨auber. In Kapitel 6 Ihres Skriptes werden die nicht linearen R¨auber-Beute- Modelle von Lotka-Volterra und von Holling-Tanner besprochen, welche Sie f ¨ur diese Fragestellung verwen- den k¨onnten. In dieser ¨Ubungsaufgabe sollen Sie Ihr eigenes lineares RBM aufstellen und k¨onnen sich ¨uber dessen Anwendbarkeit Gedanken machen.

Betrachten Sie eine Landschaft oder ein Gew¨asser, in welchem Beutetiere und Raubtiere leben. Die Anzahl Beutetiere und Raubtiere

seien die Systemvariablen. Stellen Sie Modellgleichungen f ¨ur ein lineares RBM auf, welches nur die folgenden Prozesse ber ¨ucksichtigt:

Prozess A: Beutetiere vermehren sich frisch und fr¨ohlich. Jedoch teilen sich diese Nahrungsresourcen, welche nicht unbeschr¨ankt zur Verf ¨ugung stehen. Bei Abwesenheit der R¨auber w ¨urde sich eine Beute- Population von einstellen. Die charakteristische Zeit, mit der sich dieses Gleichgewicht (Beutetiere-Nahrungsresourcen) einpendelt, sei

.

Prozess B: Die Raubtierpopulation w ¨urde sich bei Abwesenheit der Beutetiere auf

mit der cha- rakteristischen Zeit

einstellen, weil Sie auch noch auf andere Nahrungsresourcen zur ¨uck- greifen k¨onnen. Auch andere Prozesse, wie z.B. die nat ¨urliche Sterberate, soll in diesem Prozess bereits inkludiert sein.

Prozess C: Beutetiere werden durch Raubtiere gefressen, was die Anzahl von verringert und Raubtiere dazu veranlasst, sich weiter zu vermehren, also die Anzahl an Raubtieren

erh¨oht. Die Anzahl der Beu- tetiere welche gefressen werden, sei dabei direkt proportional zu

, die Proportionalit¨atskonstante sei

. Der Betrag, um welchen sich die Raubtiere vermehren, sei hingegen direkt Proportional zur Beutetierpopulation alleine, die Proportionalit¨atskonstante sei

.

Beantworten Sie mit Ihrem Modell die folgenden Fragen:

(a) Unter welchen Voraussetzungen sterben die Beutetiere nicht aus? Sie k¨onnen die Antwort auf diese Frage mit Hilfe eines Zustandsdiagrammes, wie z.B. in Abbildung 5.4 im Buch oder direkt direkt mit Hilfe des Station¨arzustandes finden.

(b) Es sei

und die Regenerationszeit

. Sterben die Beutetiere aus, falls

ist und 3000 Beutetiere pro Jahr get¨otet werden.

(c) ¨Uberlegen Sie f ¨ur sich, ob und welche realen Beispiele mit diesem Modell beschrieben werden k¨onnen?

Aufgabe 2 Eindimensionales nichtlineares System (Pr¨ufungsaufgabe Fr¨uhjahr 2003) F ¨ur die Konzentration

sei die Modellgleichung

. '

. * /

(0',214365

gegeben, wobei

durch die Funktion in der folgenden Grafik bestimmt ist:

0 6 12 18 24 30 36 42

-200 -100 0 100 200

C [kg m ]

u( C ) [kg h m ]

-3

Bestimmen Sie grafisch die Fixpunkte und charakterisieren Sie diese bez ¨uglich ihrer Stabilit¨at f ¨ur (a)

,

(b)

.

(Sie k¨onnen die Fixpunkte auch in die obige Grafik einzeichnen.)