Aufgabe 1. (R¨ auber-Beute-Modell) Die Lotka-Volterra-Gleichungen

Einf¨ uhrung in die numerische Mathematik

Sommersemester 2017 Prof. Dr. Sven Beuchler Dr. Markus Siebenmorgen

Aufgabenblatt 8. Abgabedatum: 20.06.2017.

Aufgabe 1. (R¨ auber-Beute-Modell) Die Lotka-Volterra-Gleichungen

y ⁰ ₁ (t) = y ₁ (t)(α ₁ − β ₁ y ₂ (t)) y ⁰ ₂ (t) = y 2 (t)(β 2 y 1 (t) − α 2 )

beschreiben die Wechselwirkungen einer R¨ auberpopulation y 2 und der zugeh¨ origen Beutepopulation y 1 , wobei α 1 die Reproduktionsrate der Beute, α 2 die Sterberate der R¨ auber wenn keine Beute vorhanden ist, β ₁ die Fressrate der R¨ auber pro Beutelebewe- sen (Sterberate der Beute pro R¨ auber) und β 2 die Reproduktionsrate der R¨ auber pro Beutelebewesen angeben. Wir setzen α 1 = 0.5, β 1 = 0.02, α 2 = 0.4 und β 2 = 0.004.

Zudem seien als Startpopulation (t = 0) 5000 Beutetiere und 1000 R¨ auber vorhanden.

Zeigen Sie, dass es einen positiven Endzeitpunkt T > 0 gibt, so dass die Lotka-Volterra- Gleichungen auf [0, T ] eine eindeutige L¨ osung besitzen.

Hinweis. Sowohl die Wahl der Parameter als auch die Startpopulationen dienen lediglich der Einfachheit und zur Anschauung.

(4 Punkte) Aufgabe 2. (Transformation in ein System von Differentialgleichungen)

Transformieren Sie die Differentialgleichung 3. Ordnung in ein System von Differential- gleichungen 1. Ordnung und l¨ osen Sie dieses:

y ⁰⁰⁰ = 9y ⁰⁰ − 26y ⁰ + 24y, y(0) = 2, y ⁰ (0) = 1, y ⁰⁰ (0) = −3.

(4 Punkte)

Aufgabe 3. (Eindeutigkeit der L¨ osung von gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen) Zeigen Sie, dass das Anfangswertproblem

y ⁰ = p

|y| ³ , y(0) = 0

nicht eindeutig l¨ osbar ist. Weisen Sie weiter nach, dass dies nicht im Widerspruch zum Satz von Picard-Lindel¨ of steht.

(4 Punkte)

Aufgabe 4. (Stetige Abh¨ angigkeit vom Anfangsdatum)

Sei f stetig und erf¨ ulle die sogenannte einseitige Lipschitz-Bedingung f (t, y) − f (t, z) T

(y − z) ≤ l ky − zk ² ₂

f¨ ur alle (t, y), (t, z) ∈ [0, T ] × R ⁿ und ein l ∈ R . Ferner seien y, z : [0, T ] → R ⁿ L¨ osungen der Anfangswertprobleme y ⁰ = f (t, y) mit y(0) = y ₀ bzw. z ⁰ = f(t, z) mit z(0) = z ₀ mit Vorgaben y 0 , z 0 ∈ R ⁿ .

a) Zeigen Sie f¨ ur x(t) := ky(t) − z(t)k ² ₂ und ein beliebiges Intervall (a, b) ⊆ (0, T ) mit x(t) 6= 0 f¨ ur t ∈ (a, b) die Beziehung

x ⁰ (t) x(t) ≤ 2l.

b) Zeigen Sie, dass

ky(t) − z(t)k ₂ ≤ e ^lt ky ₀ − z 0 k ₂ f¨ ur alle t ∈ [0, T ].

Damit h¨ angt y ⁰ = f (t, y) stetig von den Anfangsdaten ab.

Hinweis: Betrachten Sie R _d

dt log x(t) dt mit x(t) aus a) ¨ uber geeigneten Integrations- grenzen.

(4 Punkte)

2