Nachdem unser Modell nach Voraussetzung linear sein soll, ergeben sich die Modellgleichungen f ¨ur die An- zahl Beutetiere und Raubtiere

Mathematik II: Lineare Algebra und Systemanalyse ¨Ubungen WS 2004/05 Teil Systemanalyse

Dieter Imboden

¨Ubung 2, vom 06.12.2004 R ¨uckgabe am 13.12.2004

Aufgabe 1 – L¨osung: Lineares R¨auber-Beute-Modell

Nachdem unser Modell nach Voraussetzung linear sein soll, ergeben sich die Modellgleichungen f ¨ur die An- zahl Beutetiere und Raubtiere

zu

(1)

(2)

wobei

die Anzahl Beutetiere bezeichnet, welche pro Raubtier und Zeiteinheit gefressen werden. Die spezifische Rate bezeichnet die Reproduktionsrate der Raubtiere pro gefressenem Beutetier. H¨angt die Beutetierpopulation nicht von der Raubtierpopulation ab, ist also

, so stellt sich die station¨are Beutepo- pulation

^"!

mit der charakteristischen Zeitkonstanten

^#

ein. Ist andererseits die Reproduktionsrate der R¨auberpopulation unabh¨angig von den get¨oteten Beutetieren, ist also

, so stellt sich die station¨are R¨auberpopulation

^!

mit der charakteristischen Zeitkonstanten

ein.

1. Die L¨osung auf diese Frage ergibt sich aus dem Wertepaar

^%$

im station¨aren Zustand

^{&!'$ !(}

: Die Beutepopulation sollte gr¨osser Null sein (

^!*)

). Den station¨aren Zustand

^{! $ !}

erhalten wir aus den Schnittpunktkoordinaten der zwei Fixpunktgeraden, welche sich aus den obigen Systemgleichun- gen mit

⁽⁺

und

⁺

ergeben

(3)

"

,

(4)

Aus der graphischen Darstellung dieser beiden Fixpunktgeraden im B-R-Diagramm in Abbildung 1 ist ersichtlich, dass die Bedingung

^!-.

immer erf ¨ullt ist, w¨ahrend

^{"! )}

nur f ¨ur

^{/0 +}

gilt.

PSfrag replacements

1 2

2436587:9

;=<?>

243@2A

B

2"C

DFE 1GC

D&H

B

2C

IE 1JC

IKH

1 B2 H

3ML:9ONPL

Q=R

<?S 1 B2 H

3ML:9ONTL

QVU

<WS

183 L:9

Q R < S

183 L:9

Q U <S

183@1A

2 B1 H

3M7XNP7:9

;V<W>

Abbildung 1: Phasendiagram f ¨ur das lineare R¨auber-Beute-Modell. Die Gerade

ist f ¨ur zwei verschiedene Werte von

,

^ZY

,

^\[

mit

^\[]/-ZY

gezeichnet. Die zugeh¨orenden station¨aren Zust¨ande –

^{&!Y $ !Y}

mit

!

Y

/^

und

^{"![ $ [!}

mit

^{"![ )}

– werden durch die Schnittpunkte mit der zweiten Bestimmungsgleichung

festgelegt. F ¨ur

^{/. +}

ist das ¨Uberleben der Beute-Spezies (in diesem Modell) gesichert.

Abbildung 1 zeigt

f ¨ur zwei verschiedene Werte von

,

^_Y

,

^X[

mit

^X[]/MZY

. welche zu den L¨osungen f ¨ur den station¨aren Zustand

^{"!Y $ !Y}

mit

^{!Y /6}

und

^{"![ $ ![}

mit

^{![ )}

f ¨uhren. F ¨ur

`/.

+

ist das ¨Uberleben der Beute-Spezies (in diesem Modell) gesichert.

Diese Antwort l¨asst sich auch mit Hilfe des Station¨arzustandes finden. Wir erhalten

!

:a

bXc?d

Y

bXc?d

(5) Damit ist

^"!

genau dann gr¨osser Null, wenn

^{bXc ad )}

ist.

Mit

⁾

0 ist auch

^{! )}

, dies folgt direkt aus Gleichung (2).

2. F ¨ur

, also einer zeitlich konstanten Raubtierpopulation

^!

, ist

^!

. Weil nur

"! )

sinnvoll ist, muss

^{./e +} ,gf h%i] jTk

sein. Jedoch ist

^{h llm+ /nj}

Y ,o

i` jTk

und somit gr¨osser als erlaubt. Demzufolge sterben die Beutetiere aus.

Aufgabe 2 – L¨osung: Eindimensionales nichtlineares System

p

ist Fixpunkt (FP), wenn

^{q p sr t q p _r t}

Schnittpunkt von

^{q p}

mit

^_r

. Mit

^{u p wv q p Fr}

: Stabiler FP, wenn

^x#y

x{z

/^

, instabiler FP, wenn

^{x y}

x{z )

.

1. Aus der Grafik f ¨ur

^r

: Fixpunkte sind

^p

(instabil),

^#|

(stabil),

^}~

(instabil) und

^{h Z€mZ‚'jPƒ}

(stabil).

0 6 12 18 24 30 36 42

-200 -100 0 100 200

C [kg m ]

u(C) [kg h m ]-1-3

-3

stabiler FP stabiler FP

instabiler FP instabiler FP

2. Aus der Grafik f ¨ur

^{r lZ€m„j}

Y

‚…jPƒ

: Fixpunkte sind

^{p @†}

(instabil) und

^{} €mZ‚‡jPƒ}

(stabil).

0 6 12 18 24 30 36 42

-200 -100 0 100 200

C [kg m ]

u(C) [kg h m ]-1-3

-3

stabiler FP

instabiler FP