Universität Rostock Rostock, den 22.11.2021 Fachbereich Mathematik
PD Dr. M. Sawall
7. Übung zur Vorlesung „Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften“
Aufgabe 23:
Berechnen Sie zu
f(x) = sin(x)
und zum Entwicklungspunkt x0 = 0 das Taylor-Polynom bis zum Grad5.
Aufgabe 24:
Finden Sie den Schnittpunkt der Kurven x = N(p) = 5 exp(−p/5) und x = A(p) = √ 1 +p.
Stellen Sie dazu eine geeignete Funktion auf und berechnen Sie deren Nullstelle. Nutzen Sie (a) das Bisektionsverfahren (führen Sie 4 Schritte aus),
(b) das Newton-Verfahren (2 Schritte).
Wieviele Schritte des Bisektionsverfahrens wären nötig, um sicher eine Genauigkeit der Appro- ximation (Intervallbreite) von ε= 10−5 zu erreichen?
Aufgabe 25:
Gesucht ist der Preis p∗, so dass A(p∗) =N(p∗) gilt mit der Angebotsfunktion A(p) = 0.1 + 0.001·p2 und der Nachfragefunktion N(p) = 5/(1 + 0.0005·p3). Bestimmen Sie Näherungen an p∗ mittels
(a) des Bisektionsverfahrens, so dass |A(p)−N(p)|<0.1 gilt, und (b) des Newtonverfahren (2 Schritte ausführen).
Wählen Sie ein geeignetes Startintervall bzw. einen geeigneten Startwert jeweils selbst.
Aufgabe 26:
(a) Bestimmen Sie zu Aufgabe 24 eine geeignete Fixpunktiteration und führen Sie 2 Schritte mit dieser aus. Wählen Sie ein geeignetes Intervall und zeigen Sie, dass die Vorausset- zungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt sind.
(b) Untersuchen Sie zudem die Iteration, die sich ergibt, wenn Sie die Gleichung auf die andere Art zu einer Fixpunktiteration umstellen. Welche KonstanteC ergibt sich in diesem Fall für eine Abschätzung der Form |f(y)−f(z)|< C|y−z|um den Fixpunkt?
Die Aufgaben sollen sowohl zur Bearbeitung in den Seminaren als auch zur selbstständigen Übung dienen. Ins- besondere reichen die 90 Minuten einer Übung mitunter nicht zur Besprechung und Bearbeitung aller Aufgaben.
Universität Rostock Rostock, den 22.11.2021 Fachbereich Mathematik
PD Dr. M. Sawall
Aufgaben zum Selbststudium & zusätzlichen Üben zur 7. Übung Übungsaufgabe 23:
Berechnen Sie zu
f(x) = ln(x)
und zum Entwicklungspunkt x0 = 1 das Taylor-Polynom bis zum Grad3.
Übungsaufgabe 24:
Gegeben seien die Angebotsfunktion A(p) und die Nachfragefunktion N(p) mit A(p) =−2 + exp(p/10), und N(p) = 10−√p.
Gesucht sind Näherungen an p∗ mit A(p∗) =N(p∗). Stellen Sie zur Berechnung des Schnitt- punktes eine geeignete Funktion auf und approximieren Sie deren Nullstelle. Nutzen Sie dazu
(a) das Bisektionsverfahren zum Startintervall [15, 25], führen Sie 2 Intervallhalbierungen zur Einschachtelung aus,
(b) das Newton-Verfahren zum Startwert p0 = 20, führen Sie 2 Schritte aus.
Übungsaufgabe 25:
Berechnen Sie Näherungslösungen der Gleichung x2= exp(x). Nutzen Sie das Bisektions- und das Newton-Verfahren.
Wieviele Schritte des Bisektionsverfahrens wären nötig, um sicher eine Genauigkeit der Appro- ximation (Intervallbreite) von ε= 10−6 zu erreichen?
Übungsaufgabe 26:
Bestimmen Sie zu Übungsaufgabe 25 eine geeignete Fixpunktiteration und führen Sie 2 Schritte mit dieser aus. Beachten Sie die sinnvolle Wahl des Vorzeichens beim Umstellen (Vorzeichen beim Ziehen der Wurzel). Wählen Sie ein geeignetes Intervall und zeigen Sie, dass die Voraus- setzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt sind.
