Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit
19. Juni 2019H¨ohere Mathematik II (MB)
26. ¨ Ubung : Komplexe Funktionen
26.1 Gegeben ist die Funktion
f(z) =z2, z∈C mit x= Re (z), y= Im (z).
(a) Bestimmen Sie Realteilu(x, y) und Imagin¨arteilv(x, y) vonf, und skizzieren Sie die Niveaulinien vonuundv.
(b) Zeigen Sie, dassfholomorph inCist, und geben Sie die Ableitungf′(z) an.
26.2 F¨ur welchezist die Funktion f(z) =|z|, z∈C
differenzierbar ?
26.3 Die Funktionf(z) mit Realteiluund Imagin¨arteilvsei holomorph inD⊆C. (a) Zeigen Sie, dass inDgilt:
gradu·gradv= 0.
(b) Was bedeutet dies f¨ur die Niveaulinien vonuundv?
26.4 Bestimmen Sie Realteil und Imagin¨arteil vonf(z) = cosz= 12(eiz+e−iz). 26.5 Berechnen Sie die algebraischen Formen.
(a) 2i (b) Ln(−i) (c) ii 26.6 Finden Sie eine Zahlzmit sinz= 2 .
26.7 Berechnen Sie das Integral vonf(z) = ¯z l¨angs der Kurven.
(a) K1: vonz0= 0 bisz1= 1 +igeradlinig
(b)K2: vonz0= 0 bisz2=i geradlinig, dann vonz2 bisz1= 1 +igeradlinig Hatf eine Stammfunktion ?
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit
21. Juni 2019H¨ohere Mathematik II (MB)
27. ¨ Ubung : Fourier-Reihen
27.1 Berechnen Sie.
I= Zπ
0
t e−itdt , Ik= Z π
0
e−iktsint dt , k∈Z Hinweis : sint=eit−2ie−it
27.2 Sind die Funktionen periodisch ? Falls ja, geben Sie die Periode an.
(a) tant
(b) 2 sin 2t+ 3 cos 3t+ 4 sin 4t (c) sint·cost
(d) cos12πt+ cos23πt (e) sint+ sinπt
Sind die Funktionen gerade oder ungerade ? 27.3 Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der Funktion
f(t) =12(sint+|sint|), t∈R,
indem Sie die Formeln f¨ur die komplexen Koeffizienten auswerten.
Schreiben Sie die Reihe auch in reeller Form auf.
Wie ist das Abklingverhalten der Amplituden ?
27.4 Entwickeln Sie die Funktionfmit der PeriodeT= 2 in eine Fourier-Reihe.
Verwenden Sie die reelle Form, und nutzen Sie die Symmetrie vonf.
f(t) =−1, t∈[−1,−12), f(t) = 1, t∈[−12,12), f(t) =−1, t∈[12,1), f(t) =f(t+ 2), t∈R
Wie ist das Abklingverhalten der Amplituden ?
27.5 Finden Sie die komplexe Form der Fourier-Reihe der 2π-periodischen Funktion.
f(t) = 0, t∈[0, π), f(t) = (t−2π)2, t∈[π,2π), f(t) =f(t+ 2π), t∈R Geben Sie die AmplitudenA1, A2, A3 an (mit vier Nachkommastellen).
27.6 Entwickeln Sie die Funktionfmit der PeriodeT= 2 in eine Fourier-Reihe.
Verwenden Sie die reelle Form, und beachten Sie die Symmetrie vonf.
f(t) =−(t+ 1), t∈[−1,−12), f(t) =t, t∈[−12,12), f(t) = 1−t, t∈[12,1), f(t) =f(t+ 2), t∈R
Differenzieren Sie die Reihe gliedweise. Vergleichen Sie das Ergebnis mit Aufgabe 4 .
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