Nichtlineare Funktionalanalysis - SoSe 2016 Ubungsblatt 10 ¨

PD Dr. J. Wolf

Humboldt-Universit¨at zu Berlin Institut f¨ur Mathematik

www2.mathematik.hu-berlin.de/∼ jwolf

E-Mail: jwolf@math.hu-berlin.de 01. Juli 2016

Nichtlineare Funktionalanalysis - SoSe 2016 Ubungsblatt 10 ¨

(Besprechung in der ¨Ubung am 08. Juli 2016)

Aufgabe 1 Sei X ein Banachraum und F :X →X⁰ Gˆateaux-differenzierbar.

Zeigen Sie: F ist genau dann monoton, wenn

hdGF(x1)x2, x2i ≥0 ∀x1, x2 ∈X.

Aufgabe 2 Sei X ein Banachraum. Wir nehmen an, f¨ur jedes x ∈ X existiert genau ein x^∗ =J(x) ∈ X⁰, so dass kxk² = kx^∗k²_∗ =hx^∗, xi. Die Abbildung J :X → X⁰ heißt Dualit¨atsabbildung.

(a) Zeigen Sie: J ist monoton, koerziv, demistetig und bijektiv.

(b) Wir nehmen an die AbbidungF :x7→ ¹₂kxk² ist Gˆateaux-differenziebar in x∈X mit dG(x)∈X⁰. Zeigen Sie, dass dannJ(x) = dG(x).

(c) Bestimmen Sie J f¨ur X =L^p(Ω) (1< p <+∞).

Aufgabe 3 Sei Ω ⊂Rⁿ ein beschr¨anktes Gebiet. Sei 1< p < ∞. Ferner sei f ∈C⁰(R) beschr¨ankt. Zeigen Sie die Existenz einer Funktionu∈W₀^{1, p}(Ω), so dass

Z

Ω

|∇u|^p−2∇u· ∇vdx+ Z

Ω

f(u)vdx= 0 ∀v ∈W₀^{1, p}(Ω).

Bemerkung: Die Funktionu∈W₀^{1, p}(Ω) heißt schwache L¨osung von

−div(|∇u|^p−2∇u) +f(u) = 0 in Ω, u= 0 auf ∂Ω.

Aufgabe 4SeiA:X →X⁰ pseudomonoton und beschr¨ankt sowieB :X →X⁰ kompakt und schwach ∗-stetig, das heißt

x_k* x in X f¨ur k →+∞ =⇒ B(x_k)* B(x)^∗ in X⁰ f¨ur k →+∞.

Zeigen Sie: Ist ferner A+B koerziv, so istA+B surjektiv .