Clemens Simmer
Einführung
in die Meteorologie (met211)
- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre
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VI Dynamik der Atmosphäre
1. Kinematik
– Divergenz und Rotation
– Massenerhaltung -> Kontinuitätsgleichung (4. meteor. Grundgl.) – Stromlinien und Trajektorien
2. Die Bewegungsgleichung
– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte – Navier-Stokes-Gleichung
– Skalenanalyse (geostrophischer Wind+statische Grundgleichung)
3. Zweidimensionale Windsysteme
– natürliches Koordinatensystem – Gradientwind und andere
– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes (Ekman-Spirale)
Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur
und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie
teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne
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VI.1.3 Stromlinien und Trajektorien
• Stromlinien sind Momentaufnahmen eines
Geschwindigkeitsfeldes. An jedem Punkt bewegt sich zu diesem Zeitpunkt die Luft parallel zu den Stromlinien.
• Trajektorien repräsentieren den Weg eines Teilchens über
eine Zeitspanne
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Stromlinien über Westafrika
Eine Stromlinie ist eine Kurve, deren
Tangente an jedem Punkt die Richtung des Geschwindig- keitsvektors angibt.
Die Tangente y(x) ist definiert durch tan(α) = dy/dx|Tangente =v/u.
dy
dx Strom−
linie
≡ v(x,y,t0)
u(x,y,t0) ⇒ dy = v(x,y,t0)
u(x, y,t0)dx ⇒
Integration;
für kleine Distanzen, u≅const v≅const
! y(x)≈ y0 +v
u (x − x0) Für eine Stromlinie in der x-y-Ebene gilt:
u
α v
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Trajektorien verfolgen den Weg eines Teilchens mit der Zeit, sind also in der Fläche gegeben durch x(t) und y(t).
Die Abbildung zeigt Rückwärtstrajektorien für verschiedene Zeiten für das
Reaktorunglück bei Tschernobyl am 26.4.1986.
Trajektorien berechnet man also durch Integration des Weges (x,y) von
Luftpartikeln über die Zeit:
dy
dt = v(x, y,t) ⇒ dy = v(x, y,t)dt y(t) − y(t0) = v(x,y,t′)dt′
t0
∫
t ≈ v(x,y,t0)(t −t0)Trajektorien über Europa
dx
dt = u(x, y,t) ⇒ dx = u(x, y,t)dt x(t)− x(t0) = u(x,y,t′)dt′
t0
∫
t ≈ u(x, y,t0)(t −t0)6
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
-0.5 0.0 0.5 y'
x' S2
S1 S3 Trajektorie
Beispiel (1): u = U = const , v = A cos 2 π
λ ( x − ct )
"
# $ %
&
'
Die Trajektorie beschreibt auch eine Welle, allerdings mit einer größere Amplitude und einer längeren Wellenlänge als die
Stromlinie, da c und U in die gleiche Richtung gehen und c<U.
In der Abbildung wurden x und y mit der Wellenläng λ normiert (→x‘, y‘) und U=A und c=0,3U gesetzt.
Wie sähe die Trajektorie aus, wenn (a) c=U, oder (b) c negativ ist?
Stromlinie für t=0
Trajektorie mit Start bei y0 = 0 , x0 =0 , t0 = 0 Wellenlänge
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 7 -0.5
0.0 0.5 y'
x' S2
S1 S3 Trajektorie
Beispiel (2): u = U = const , v = A cos 2 π
λ ( x − ct )
"
# $ %
&
'
y(x) = y0 + A U
λ
2π sin 2π
λ (x'−ct)
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
x0 x
= y0 + A U
λ
2π sin 2π
λ (x −ct)
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ −sin 2π
λ (x0 −ct)
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜ ⎞
⎠⎟⎟
Stromlinie zum Zeitpunkt t beginnend bei x
0, y
0dy
dx Strom−
linie
= v(x,y,t)
u(x,y,t) ≡ A
U cos 2π
λ (x −ct)
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
dy = A
U cos 2π
λ (x −ct)
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ dx , y(x) = y0 + A
U cos 2π
λ (x'−ct)
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ dx'
x0 x
∫
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Beispiel (3): u = U = const , v = A cos 2 π
λ ( x − ct )
"
# $ %
&
' Trajektorie (1)
dx
dt = u( x, y, t ) , dy
dt = v( x, y, t ) ⇒ dx = u( x, y, t )dt , dy = v ( x, y, t )dt
x(t)= x(t = 0)+ u(x, y,tʹ)dtʹ
0 t
∫
= x(t = 0)+ U dtʹ0 t
∫
= x(t = 0)+Uty(t) = y(t = 0)+ v(x, y,t′)dt′
0
∫
t = y(t = 0)+ Acos⎛⎝⎜ 2λπ(
x−ct′)
⎞⎠⎟ dt′0
∫
t= y(t = 0)+ Acos 2π
λ
(
x(t = 0)+Ut′−ct′)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ dt′
0
∫
t= y(t = 0)+ Acos 2π
λ
(
x(t = 0)+(
U −c)
t′)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ dt′
0
∫
t= y(t = 0)+ Aλ
2π
(
U −c)
sin⎛⎝⎜ 2λπ(
x(t = 0)+(
U −c)
t′)
⎞⎠⎟t'=0 t'=t
= y(t = 0)+ Aλ
2π
(
U −c)
⎧⎨sin⎛⎝⎜ 2λπ(
x(t = 0)+(
U −c)
t′)
⎞⎠⎟ −sin⎛⎝⎜ 2λπ(
x(t = 0))
⎞⎠⎟⎩⎪
⎫⎬
⎭⎪
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
-0.5 0.0 0.5 y'
x' S2
S1 S3 Trajektorie
0.0 0.5 1.0 1.5 9 2.0 -0.5
0.0 0.5 y'
x' S2
S1 S3 Trajektorie
Beispiel (4): u = U = const , v = A cos 2 π
λ ( x − ct )
"
# $ %
&
'
= y(t0)+ Acos 2π
λ xʹ−
c(x´−x´(t0)) U
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜ ⎞
⎠⎟⎟dx´
x(t0) U
x(t)
∫
= y(t0)+ A
U cos 2π λ
U −c U
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ ʹx − cx´(t0) U
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜ ⎞
⎠⎟⎟dxʹ
x(t0) x(t)
∫
= y(t0)+ A U −c
λ 2π sin
2π λ
U −c U
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟x'(t)− cx(t0) U
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜ ⎞
⎠⎟⎟
x(t0) x(t)
≡ y(x(t))
dx
dt = u(x, y,t) , dy
dt = v(x, y,t)
Trajektorie (2) - alternativ -
x(t) = x(t0)+ u(x,y,t′)dt′
t0
∫
t = x(t0)+ U dt′ t0∫
t = x(t0)+Uty(t) = y(t0)+ v(x,y,t′)dt′
t0
∫
t = y(t0)+ Acos⎛⎝⎜ 2λπ(
x −ct′)
⎞⎠⎟ dt′t0
∫
t substituiere aus x(t) =Ut + x(t0)t = (x(t)− x(t0)) /U, dt = dx /U
R-Program (1)
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Die gestrichelten Kurven geben das Stromlinienfeld wieder; die Windrichtung ist parallel zur Tangente an diese. Das Stromlinienfeld wandert mit der Zeit nach
rechts. Die durchgezogene Kurve gibt eine Trajektorie wieder; zu jeder Zeit ist die Bewegung parallel zu den jeweiligen Stromlinien. Das Partikel bewegt sich in dem Beispiel schneller als das Stromlinenfeld.
R-Program (2)
# set parameters
# A amplitude of v component in m/s
# U u-component in m/s
# c phase velocity of wind field in x-direction in
# m/s
# lambda wavelength of y-disturbance of wind field
# in m
# ampl_SL amplitude of streamline A = 1
U = 1 c = 0.3*U lambda = 1
ampl_SL = (A/U) * (lambda/(2*pi))
# loop over time
# ii time step from ii = 0
for (t0 in seq(0,2,length=361)) { ii = ii + 1
# plot frame
plot(0, 0, type="n", xlim=c(0,2), ylim=c(-.5,.5), xlab="x", ylab="y")
# add streamlines
# x x-coordinate extension and resolution # x0 starting x
# y0 preliminary starting y-coordinate of # streamline
# y preliminary y-coordinate of streamline
# dy shifts the streamlines vertically, such that their absolute maxima are constant this better visualizes the moving
streamlines field
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x = seq(0, 2, length=201) x0 = 0.0
for (y0 in c(-.25, 0, .25)) {
y = y0 + ampl_SL * (sin(2*pi*(x-c*t0)/
lambda) - sin(2*pi*(x0-c*t0)/lambda)) dy=max(y)-(y0+ampl_SL)
lines(x,y-dy, lty=1, col="#033E6B", lwd=1) }
# add tracer and trajectory so far
# y0_t y-coordinate start of the trajectory
y0_t = 0
t = seq(0,t0,length=201) x_t = U*t + x0
y_t = y0_t + A*lambda / (2*pi*(U-c)) * (sin((2*pi/lambda)*(x0+(U-c)*t)) - sin((2*pi/lambda)*(x0)))
lines(x_t,y_t, col="#033E6B", lwd=2)
points(x_t[201], y_t[201], col="#FF4900", pch=19, cex=3)
grid() }
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Übungen zu VI.1.3
1. Gegeben sei ein kreisförmiges Tiefdruckgebiet, dass sich mit einer konstanten Verlagerungsgeschwindigkeit c nach Osten bewegt.
Zeichne qualitativ die resultierenden Trajektorien beginnend an vier Orten (östlich, westlich, nördlich und südlich vom Zentrum) unter der Annahme, dass die zu den Isobaren parallele Windgeschwindigkeit v überall konstant ist für die Fälle v>c und v<c.
2. Gegeben ist ein horizontales Windfeld
mit u=10 m/s, A=5 m/s und λ=1000 km (Wellenlänge).
a) Berechne für dieses Feld analytisch die Rotation und die Divergenz.
b) Bestimme die Gleichung für die Stromlinie und Trajektorie, die durch (x,y)=(0,0) führt und plotte sie.
, sin 2
π
( )⎛
λ
⎞= = = ⎜⎝ + ⎟⎠ u U const v A x ct