Clemens Simmer
Einführung
in die Meteorologie (met211)
- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre
VI Dynamik der Atmosphäre
1. Kinematik
– Divergenz und Rotation
– Massenerhaltung -> Kontinuitätsgleichung (4. meteor. Grundgl.) – Stromlinien und Trajektorien
2. Die Bewegungsgleichung
– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte – Navier-Stokes-Gleichung
– Skalenanalyse (geostrophischer Wind+statische Grundgleichung)
3. Zweidimensionale Windsysteme
– natürliches Koordinatensystem – Gradientwind und andere
– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes (Ekman-Spirale)
Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne
3
• Die Kinematik befasst sich mit der Analyse und Struktur von Windfeldern
– unter Berücksichtigung der Massenerhaltung – ohne Betrachtung der Ursachen (Kräfte).
• Windfelder lassen sich charakterisieren durch ihre
– Divergenz (Volumen/Flächen)inhalt wächst oder schrumpft)
– Rotation (Volumen/Flächeninhalt konstant, ändern der Ausrichtung)
– Deformation (Volumen/Flächeninhalt konstant, Ausrichtung konstant)
VI.1 Kinematik
VI.1.2 Rotation und Zirkulation
• rot-Operator
• absolute und relative Geschwindigkeit
• Zirkulation als integrales Maß der Rotation
• Vorticity
• natürliches Koordinatensystem
5
Rotation eines Vektorfeldes
- Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -
Ist die Vertikalgeschwindigkeit w=0 und sind u und v vertikal konstant, dann gilt offensichtlich:
x y
.
Offensichtlich ist die Rotation aus der
Zeichenebene zum Be- obachter gerichtet. Sie wird als zyklonal
(Zyklone!) bezeichnet.
Die Rotation ist ein axialer Vektor.
Da die Luftströmung großskalig i.w. horizontal ist, hat ς (Vorticity) eine große Bedeutung in der
Meteorologie.
zeta eta
xi
y u x
v x
w z
u
z v y
w
w v
u
k j
i w
v u v
rot
v x y z
z y x
y
u x
k v k
v
v u
k v
x y
6
Beispiele
L/4 L/2
0 0
0
y u v
y u x
v x w z
u
z v y
w v
0
0 0 -u v
0
x
y v
2 0 0 - v
0
sin 2
0
0
L
v x
u
v
L x L
v v
2 2 cos0
0
0
7
Absolute und Relative Geschwindigkeit
• Durch die Erdrotation haben auch auf der Erde ruhende Gegenstände in einem System, das z.B. in der Sonne verankert ist (gedachtes
Inertialsystem), eine von Null verschiedene Geschwindigkeit.
• Wir unterscheiden daher zwischen der Geschwindigkeit, welche die Luft
relativ zur Erde hat (relative Geschwindigkeit v), und der Geschwindigkeit, die die Luft in einem Intertialsystem hat (absolute Geschwindigkeit va).
• Diese Unterscheidung ist wichtig, da z.B. nur für letzteres das 2. Newtonsche Axiom (Kraft = Masse x Beschleunigung) gilt.
• Die relativ zur Erde ruhende Luft hat durch die Erddrehung eine absolute Geschwindigkeit, die wir als Mitführungsgeschwindigkeit bezeichnen.
Die Operatoren sind über räumliche
Ableitungen definiert. Offensichtlich kann sich auch der Effekt des Operators
ändern, wenn man zwischen
Intertialsystem und Relativ(Erd)system wechselt.
v v
v v
v v
a a a
gkeit Geschwindi
relative
gkeit Geschwindi
absolute
Mitführungsgeschwindigkeit der Erde
• Wir vernachlässigen die Jahresbahn der Erde um die Sonne (Erde drehe sich nur um sich selbst).
• Ein auf der Erde ruhender Punkt beschreibt dann im Inertialsystem eine Kreisbahn.
• Eine Kreisbahn ist eine beschleunigte Bewegung, da sich ständig die Richtung ändert.
• Die Geschwindigkeit des Punktes auf der Kreisbahn vR ist die
Mitführungsgeschwindigkeit; sie ist offensichtlich von der Breite φ abhängig.
ds=Rdλ dλ
R R
φ λ
R=r cosφ r
Rotationsvektor der Erddrehung:
φ´
rad/s 10
2722 ,
7
24 60
60 2
5
dt
d
v
Ri
Abstand von der Erd- Rotationsachse radius
2
Definition des sin ´
cos sin( )
R
ds d
v i R i R i r i
dt dt
r i r
v
R9
Rotation der Absolutgeschwindigkeit
Für die Absolutgeschwindigkeit eines sich auf der Erde bewegenden Teilchens gilt also :
Für deren Rotation gilt:
Weiter gilt für die z-Komponente der Rotation (Vorticity)
r v
va
) ( )
( ) ( )
( aus
r r
r
r r
a v r v
v 2
mit absolute Vorticity relative Vorticity
2 sin Coriolisparameter
a f
f
Breite he
geografisc
und
mit
sin
2 2
k v
k v
k a
a
Vorticitygleichung
Pol
Äquator
• f ist die Rotation um die lokale Vertikale, die durch die Erddrehung erzeugt wird (NH
positiv, SH negativ).
• Ist der Drehsinn der Relativbewegung so wie der Drehsinn der Erde, nennt man diesen zyklonal;
zyklonal heißt also auf der NH gegen
Uhrzeigersinn auf der SH im Uhrzeigersinn.
• Für die absolute Vorticity lässt sich unter barotropen Verhältnissen (keine
Vertikaländerungen des Horizontalwindes und keine horizontalen Dichteänderungen) ableiten (barotrope Vorticitygleichung):
.
• Konvergenz erhöht die Vorticity und Divergenz reduziert sie.
• Bei zusätzlicher Divergenzfreiheit führt eine Nordwärtsbewegung eines Tief auf der NH zu seiner Abschwächung und Südwärtsbewegung zu einer Verstärkung.
mit absolute Vorticity relative Vorticity
2 sin Coriolisparameter f
f
z k
11
Vorticity und Zirkulation (1)
So wie die Divergenz als differentieller Operator durch den Gaussschen Satz ein integrales Äquivalent in D durch den Fluss über den Rand eines Gebietes hat, so hat auch die Rotation als differentieller Operator ebenfalls ein integrales
Äquivalent, und zwar in der Zirkulation C durch den Stokesschen Satz:
F L(F)
α
Zur Berechnung des Flächenintegrals der Rotation genügt also der Wind auf dem Rand des Gebietes.
Dies ist schwieriger zu verstehen als der Gausssche Satz.
) (
) (
cos
F L
F L
dl v
l d v C
v
l d F
rot v dF l
d v C
F F
L
Stokesvon ) Satz
(
Vorticity und Zirkulation (2)
Herrscht im Inneren der Fläche eine andere
Drehrichtung (Rotation) als auf dem Rand, so wird diese bezüglich der Rotation
überkompensiert durch die umso stärkere Schervorticity in der Nähe des Randes.
rot v d F l
d v
C
F F
L
Stokesvon ) Satz
(
13
Vorticity und Zirkulation (3)
- Geschwindigkeit sei horizontal -
Letztere Beziehung gibt uns eine Vorschrift zur Berechnung der Vorticity aus endlich voneinander entfernten Messungen.
k F F F d
F
h F
L
h
h
v d l rot v d F k d F dF
C
)
(
1 1
also C
daraus folgt:
F
h h h h
F F
F h
dC dF dC dF dC dF
F F
C F
Vorticity bei Kreisbewegung in der Ebene
Bei Kreisbewegung in der Ebene ist die Vorticity identisch mit der zweifachen Winkelgeschwindigkeit der Strömung um das Zentrum.
Vergleiche das analoge Ergebnis für die Rotation eines auf der Erde ruhenden Punktes.
d
r
l d
dt d
rd dl
v
r F
r d
r
dt rd r d dt rd
rd dl v
l d v dl
v l
d v C
F L
F L F
L F
L
F L F
L h
2 2
2 2 2
2
e Kreisfläch )
(
) ( )
( )
(
) bewegungKreis- (
) (
da
2
F
Ch
15
Natürliches Koordinatensystem
• Zur Untersuchung von Strömungen ist es oft nützlich anstatt des starren und ortsfesten kartesischen
Koordinatensystems ein Koordinatensystem zu
verwenden, das an die Strömung selbst gebunden ist.
• Betrachtet man einen sehr kleinen Ausschnitt aus einer beliebigen dreidimensionalen Strömung, so lässt sich dieser als ein Teil eines Kreisbogens auffassen.
• Ein geeignetes Koordinatensystem wird dann festgelegt durch drei Einheitsvektoren in Richtung
- des Windrichtungsvektors ()
- des Vektors senkrecht dazu nach links in der Strömungsebene (dieser ist dann parallel zur Richtung zum hypothetischen Kreismittelpunkt) () - der Normalen auf der Ebene des Kreises ().
n0
n0
s0
s0
em Rechtssyst ein
bilden
, ,
, k
n s
k n
v s v v
s v
0 0
0 0
0
Krümmungs- und Scherungsvorticity (a)
Δ
Das natürliche Koordinatensystem erlaubt eine formale
Trennung zwischen Krümmungs- und Scherungsvorticity.
Berechnung der Zirkulation und Vorticity über den schraffierten Bereich unter der Annahme, dass Δβ sehr klein ist:
Rs
F
V V + n
s ' s
n
= n
( )
´
, ( ')
C V s s V V n s
n
V s V s V s V n s n
V V s
V s n s V n s
n n n s
V V n s n s n s s F
n s
adius Krümmungsr
mit
lim ,
R s
R V n
V s
n C
s
s s
n 0
17
Krümmungs- und Scherungsvorticity (b)
Scherungsvorticity Krümmungsvorticity
+
+
y
x x
y
a b
R
sV n
V
Übungen zu VI.1.2
1. Schätze die Zirkulation und die relative Vorticity des Horizontalwindes für ein
Gebiet bei 50° Nord mit 100 km Süd-Nord und 100 km Ost-West-Erstreckung ab, bei dem an den zentralen Punkten der West-, Süd-, Ost-, bzw. Nordseite
folgende Windmessungen vorliegen: Ostwind mit 10 m/s, Nordnordostwind mit 9 m/s, Nordostwind mit 10 m/s, bzw. Ostnordostwind mit 9 m/s. Vergleiche den erhaltenen Wert für die relative Vorticity mit der Vorticity der Erddrehung. Wie ändern sich die Werte, wenn tatsächlich an der Westseite die Windstärke 1 m/s höher und an der Ostseite 1 m/s niedriger ist?
2. Berechne die absolute und relative Vorticity eines Luftvolumens, dass sich bei 50° nördlicher Breite kreisförmig um ein Hoch bzw. Tief im Abstand von 250 km vom Zentrum mit 10 m/s relativ zur Erdoberfläche bewegt.
3. Zeige
aus
( ) ( ) ( ) ( )
2
r
r r r r
r
