in die Meteorologie (met211)

(1)

Clemens Simmer

Einführung

in die Meteorologie (met211)

- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre

(2)

2

VI Dynamik der Atmosphäre

1. Kinematik

– Divergenz und Rotation

– Massenerhaltung -> Kontinuitätsgleichung (4. meteor. Grundgl.) – Stromlinien und Trajektorien

2. Die Bewegungsgleichung

– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte – Navier-Stokes-Gleichung

– Skalenanalyse (geostrophischer Wind+statische Grundgleichung)

3. Zweidimensionale Windsysteme

– natürliches Koordinatensystem – Gradientwind und andere

– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes (Ekman-Spirale)

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur

und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie

teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

(3)

3

• Die Kinematik befasst sich mit der Analyse und Struktur von Windfeldern

– unter Berücksichtigung der Massenerhaltung – ohne Betrachtung der Ursachen (Kräfte).

• Windfelder lassen sich charakterisieren durch ihre

– Divergenz (Volumen/Flächen)inhalt wächst oder schrumpft)

– Rotation (Volumen/Flächeninhalt konstant, ändern der Ausrichtung)

– Deformation (Volumen/Flächeninhalt konstant, Ausrichtung konstant)

VI.1 Kinematik

(4)

4

VI.1.2 Rotation und Zirkulation

• rot-Operator

• absolute und relative Geschwindigkeit

• Zirkulation als integrales Maß der Rotation

• Vorticity

• natürliches Koordinatensystem

(5)

5

Rotation eines Vektorfeldes

- Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -

zeta eta

xi

y u x

v

x w z

u

z v y

w

w v

u

k j

i w

v u v

rot

v

_x _y _z

z y x



 





 











 









 









 



 

 



 

 





 

 





 







 

 





 













_^ _^ _^







 



 

Ist die Vertikalgeschwindigkeit w=0 und sind u und v vertikal konstant, dann gilt offensichtlich:

 

 







 



 





 y

u x

k v k

v   

 

x y

.

Offensichtlich ist die Rotation aus der

Zeichenebene zum Be- obachter gerichtet. Sie wird als zyklonal

(Zyklone!) bezeichnet.

Die Rotation ist ein axialer Vektor.

Da die Luftströmung großskalig i.w. horizontal ist, hat ς (Vorticity) eine große Bedeutung in der

Meteorologie.

v u

k v

x y

    ^   ^   ^  ^  

(6)

6

Beispiele

0 0

0

 







 









y u v 



 









 









 



 

 



 

 









y u x

v

x w z

u

z v y

w

v 



 







 













0

0 0

-u v 



0   





 









 x

y v 

 







 













2 0 0

- v 



0 sin 2

0

 





 





 L

v x

u

v  

 





 











L x L

v

v  2 

2 cos 0 0

0

 

_L/4 _L/2

(7)

7

Absolute und Relative Geschwindigkeit

• Durch die Erdrotation haben auch auf der Erde ruhende Gegenstände in einem System, das z.B. in der Sonne verankert ist (gedachtes

Inertialsystem), eine von Null verschiedene Geschwindigkeit.

• Wir unterscheiden daher zwischen der Geschwindigkeit, welche die Luft relativ zur Erde hat (relative Geschwindigkeit v), und der Geschwindigkeit, die die Luft in einem Intertialsystem hat (absolute Geschwindigkeit v_a).

• Diese Unterscheidung ist wichtig, da z.B. nur für letzteres das 2. Newtonsche Axiom (Kraft = Masse x Beschleunigung) gilt.

• Die relativ zur Erde ruhende Luft hat durch die Erddrehung eine absolute Geschwindigkeit, die wir als Mitführungsgeschwindigkeit bezeichnen.

v v

a a a

 























gkeit Geschwindi

relative

gkeit Geschwindi

absolute

Die Operatoren sind über räumliche

Ableitungen definiert. Offensichtlich kann sich auch der Effekt des Operators

ändern, wenn man zwischen

Intertialsystem und Relativ(Erd)system wechselt.

(8)

8

Mitführungsgeschwindigkeit der Erde

• Wir vernachlässigen die Jahresbahn der Erde um die Sonne (Erde drehe sich nur um sich selbst).

• Ein auf der Erde ruhender Punkt beschreibt dann im Inertialsystem eine Kreisbahn.

• Eine Kreisbahn ist eine beschleunigte Bewegung, da sich ständig die Richtung ändert.

• Die Geschwindigkeit des Punktes auf der Kreisbahn v_R ist die

Mitführungsgeschwindigkeit; sie ist offensichtlich von der Breite φ abhängig.

rad/s 10

2722 ,

7

24 60

60 2

5







 





 

dt

 d

v 

R

ds=Rdλ dλ

R

i 

Abstand von der Erd- Rotationsachse radius

2

Definition des sin ´ Vektor (Kreuz)-Produktes

cos

sin( )

R

ds d

v i R i R i r i

dt dt

r

^

i r



 



     

    

R

φ λ

 

v 

R R=r cosφ

r

Rotationsvektor der Erddrehung:

φ´

(9)

9

Rotation der Absolutgeschwindigkeit

Für die Absolutgeschwindigkeit eines sich auf der Erde bewegenden Teilchens gilt also :

r v

v 

_a

  









Für deren Rotation gilt:

 

  

) ( )

( ) ( ) (

aus





























   

































 



 



   

 



 



r r

r

a

v r v

v 2

Weiter gilt für die z-Komponente der Rotation (Vorticity)

mit absolute Vorticity relative Vorticity

2 sin Coriolisparameter

   





  

 

a

f

   

Breite he

geografisc

und

mit

sin



































 

 

2 k 2

v k

v

k

_a

a

(10)

10

Vorticitygleichung

mit absolute Vorticity relative Vorticity

2 sin Coriolisparameter f

f

 







 

 

Pol

Äquator



 







  

z

k

• f ist die Rotation um die lokale Vertikale, die durch die Erddrehung erzeugt wird (NH

positiv, SH negativ).

• Ist der Drehsinn der Relativbewegung so wie der Drehsinn der Erde, nennt man diesen zyklonal;

zyklonal heißt also auf der NH gegen

Uhrzeigersinn auf der SH im Uhrzeigersinn.

• Für die absolute Vorticity lässt sich unter barotropen Verhältnissen (keine

Vertikaländerungen des Horizontalwindes und keine horizontalen Dichteänderungen) ableiten (barotrope Vorticitygleichung):

𝒅𝜼

𝒅𝒕

= −𝜼𝜵

_𝒉

∙ 𝒗

_𝒉.

• Konvergenz erhöht die Vorticity und Divergenz reduziert sie.

• Bei zusätzlicher Divergenzfreiheit führt eine Nordwärtsbewegung eines Tief auf der NH zu seiner Abschwächung und Südwärtsbewegung zu einer Verstärkung.

(11)

11

Vorticity und Zirkulation (1)

So wie die Divergenz als differentieller Operator durch den Gaussschen Satz ein integrales Äquivalent in D durch den Fluss über den Rand eines Gebietes hat, so hat auch die Rotation als differentieller Operator ebenfalls ein integrales

Äquivalent, und zwar in der Zirkulation C durch den Stokesschen Satz:









) (

cos

F L

dl v

l d v C

 

 

F L(F)

α ^d ^l ^ v 

F 

 rot v d F l

d v C

F F

L

 







  

Stokes von ) Satz

(

Zur Berechnung des Flächenintegrals der Rotation genügt also der Wind auf dem Rand des Gebietes.

Dies ist schwieriger zu verstehen als der Gausssche Satz.

(12)

12

Vorticity und Zirkulation (2)

 rot v d F l

d v

C

F F

L

 







  

Stokes von ) Satz

(

Herrscht im Inneren der Fläche eine andere

Drehrichtung (Rotation) als auf dem Rand, so wird diese bezüglich der Rotation

überkompensiert durch die

umso stärkere Schervorticity

in der Nähe des Randes.

(13)

13

Vorticity und Zirkulation (3)

- Geschwindigkeit sei horizontal -

 



 ^ ^ ^ ^ ^



k F F F d

F

h F

L

h

v d l rot v d F k d F dF

C  

)

(  



 

1 1

also C

daraus folgt:

F

h h h h

F F

F h

dC dF dC dF dC dF

F F

C F



  



     



   

Letztere Beziehung gibt uns eine Vorschrift zur Berechnung der Vorticity aus endlich voneinander entfernten Messungen.

(14)

14

Vorticity bei Kreisbewegung in der Ebene

 d

r 

l d 

dt d 

 

 rd dl 

v 



 r F

r d

r

dt rd r d dt rd

rd dl v

l d v dl

v l

d v C

F L

F L F

L F

L

F L F

L h













 



2 2

2

² ²

2

  











e Kreisfläch )

(

) ( )

( )

(

) bewegung (

- Kreis )

(

da



 





   2

 F

C

_h

Bei Kreisbewegung in der Ebene ist die Vorticity identisch mit der zweifachen Winkelgeschwindigkeit der Strömung um das Zentrum.

Vergleiche das analoge Ergebnis für die Rotation eines auf der

Erde ruhenden Punktes.

(15)

15

Natürliches Koordinatensystem

• Zur Untersuchung von Strömungen ist es oft nützlich anstatt des starren und ortsfesten kartesischen

Koordinatensystems ein Koordinatensystem zu

verwenden, das an die Strömung selbst gebunden ist.

• Betrachtet man einen sehr kleinen Ausschnitt aus einer beliebigen dreidimensionalen Strömung, so lässt sich dieser als ein Teil eines Kreisbogens auffassen.

• Ein geeignetes Koordinatensystem wird dann festgelegt durch drei Einheitsvektoren in Richtung

- des Windrichtungsvektors (𝒔_𝟎)

- des Vektors senkrecht dazu nach links in der Strömungsebene (dieser ist dann parallel zur

Richtung zum hypothetischen Kreismittelpunkt) (𝒏_𝟎) - der Normalen auf der Ebene des Kreises (𝒌).

n 

0

n 

0

s 

0

s 

0

em Rechtssyst ein

bilden

, ,

, k

n s

k n

v s v v

s v

 



 



 

0 0

0

   

(16)

16

Krümmungs- und Scherungsvorticity (a)

V V + n

s' s

n

= n

Δ

Das natürliche Koordinatensystem erlaubt eine formale

Trennung zwischen Krümmungs- und Scherungsvorticity.

Berechnung der Zirkulation und Vorticity über den schraffierten Bereich unter der Annahme, dass Δβ sehr klein ist:

( )

´

, ( ')



  

         

 

        



  

   

               

 

 

              

C V s s V V n s

n

V s V s V s V n s n

V V s

V s n s V n s

n n n s

V V n s n s n s s F

n s

adius Krümmungsr

mit

lim

_,







 

 

 

 



_ _ _

 R s

R V n

V s

n C

s

s s

n 0

R_s





F

(17)

17

+

y

x x

y

a b

Krümmungs- und Scherungsvorticity (b)

R

s

V n

V





 

 

Scherungsvorticity Krümmungsvorticity

(18)

18

Übungen zu VI.1.2

1. Schätze die Zirkulation und die relative Vorticity des Horizontalwindes für ein

Gebiet bei 50° Nord mit 100 km Süd-Nord und 100 km Ost-West-Erstreckung ab, bei dem an den zentralen Punkten der West-, Süd-, Ost-, bzw. Nordseite

folgende Windmessungen vorliegen: Ostwind mit 10 m/s, Nordnordostwind mit 9 m/s, Nordostwind mit 10 m/s, bzw. Ostnordostwind mit 9 m/s. Vergleiche den erhaltenen Wert für die relative Vorticity mit der Vorticity der Erddrehung. Wie ändern sich die Werte, wenn tatsächlich an der Westseite die Windstärke 1 m/s höher und an der Ostseite 1 m/s niedriger ist?

2. Berechne die absolute und relative Vorticity eines Luftvolumens, dass sich bei 50° nördlicher Breite kreisförmig um ein Hoch bzw. Tief im Abstand von 250 km vom Zentrum mit 10 m/s relativ zur Erdoberfläche bewegt.

3. Zeige

 

aus

( ) ( ) ( ) ( )

2

r

r r r r

r

  

       

   