Einführung in die Meteorologie (met211)

Clemens Simmer

Einführung

in die Meteorologie (met211)

- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre

2

VI Dynamik der Atmosphäre

1. Kinematik

– Divergenz und Rotation

– Massenerhaltung -> Kontinuitätsgleichung (4. meteor. Grundgl.) – Stromlinien und Trajektorien

2. Die Bewegungsgleichung

– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte – Navier-Stokes-Gleichung

– Skalenanalyse (geostrophischer Wind+statische Grundgleichung)

3. Zweidimensionale Windsysteme

– natürliches Koordinatensystem – Gradientwind und andere

– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes (Ekman-Spirale)

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur

und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie

teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

3

VI.1.3 Stromlinien und Trajektorien

• Stromlinien sind Momentaufnahmen eines

Geschwindigkeitsfeldes. An jedem Punkt bewegt sich zu diesem Zeitpunkt die Luft parallel zu den Stromlinien.

• Trajektorien repräsentieren den Weg eines Teilchens über

eine Zeitspanne

4

Stromlinien über Westafrika

Eine Stromlinie ist eine Kurve, deren

Tangente an jedem Punkt die Richtung des Geschwindig- keitsvektors angibt.

Die Tangente y(x) ist definiert durch tan(α) = dy/dx|

=v/u.

Für eine Stromlinie in der x-y-Ebene gilt:

u

α v

5

Trajektorien verfolgen den Weg eines Teilchens mit der Zeit, sind also in der Fläche gegeben durch x(t) und y(t).

Die Abbildung zeigt Rückwärtstrajektorien für verschiedene Zeiten für das

Reaktorunglück bei Tschernobyl am 26.4.1986.

Trajektorien berechnet man also durch Integration des Weges (x,y) von

Luftpartikeln über die Zeit:

Trajektorien über Europa

dy

dt = v ( x , y ,t) Þ dy = v ( x , y , t)dt y (t) - y (t

) = v ( x , y , t ¢ ) d t ¢

t₀

ò

^{» v ( x , y , t}

^{)(t - t}

⁾

dx

dt = u ( x , y , t ) Þ dx = u ( x , y , t)dt x (t) - x (t

) = u ( x , y , t ¢ ) d t ¢

t₀

ò

^{» u ( x , y ,t}

^{)(t - t}

⁾

6

Beispiel (1):

Die Trajektorie beschreibt auch eine Welle, allerdings mit einer größere Amplitude und einer längeren Wellenlänge als die

Stromlinie, da c und U in die gleiche Richtung gehen und c<U.

In der Abbildung wurden x und y mit der Wellenläng λ normiert (→x‘, y‘) und U=A und c=0,3U gesetzt.

Wie sähe die Trajektorie aus, wenn (a) c=U, oder (b) c negativ ist?

Stromlinie für t=0

Wellenlänge

0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0

- 0 . 5 0 . 0 0 . 5 y '

x ' S 2

S 1 S 3 T r a j e k t o r i e

u = U = const , v = Acos 2 p

l ^{( x- ct)} æ

è ç ö

ø ÷

Trajektorie mit Start bei

y

= 0 , x

= 0 , t

= 0

7

Beispiel (2):

Stromlinie zum Zeitpunkt t beginnend bei x ₀ , y ₀

0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0

- 0 . 5 0 . 0 0 . 5 y '

x ' S 2

S 1 S 3 T r a j e k t o r i e

u = U = const , v = Acos 2 p

l ^{( x- ct)} æ

è ç ö

ø ÷

y(x) = y

+ A U

l

2 p ^sin 2 p

l ^{( x '- ct)} æ

è ç ö

ø ÷

x₀ x

= y

+ A U

l

2 p ^sin 2 p

l ^{(x - ct )} æ

è ç ö

ø ÷ - sin 2 p

l ^(x

^{- ct)} æ

è ç ö

ø ÷ æ

è çç ö

ø ÷÷ dy

dx

linie

= v( x , y ,t )

u (x , y,t) º A

U cos 2 p

l ^{(x - ct )} æ

è ç ö

ø ÷ dy = A

U cos 2 p

l ^{(x - ct)} æ

è ç ö

ø ÷ dx , y( x ) = y

+ A

U cos 2 p

l ^{( x'- ct)} æ

è ç ö

ø ÷ dx'

x₀

ò

8

Beispiel (3):

Trajektorie (1)

u = U = const , v = Acos 2 p

l ^{( x- ct)} æ

è ç ö

ø ÷ dx

dt = u ( x , y , t) , dy

dt = v ( x , y , t) Þ dx = u ( x , y , t)dt , dy = v ( x , y , t)dt

x (t ) = x (t = 0) + u ( x , y , t ¢ ) d t ¢

0

ò

^{= x (t = 0) + U d t ¢}

ò

^{= x (t = 0) + Ut}

y (t) = y (t = 0) + v ( x , y , t ¢ ) d t ¢

0

ò

^{= y (t = 0) + Acos æ} _èç ² _l ^p ( ^{x - c t ¢} ) ^ö _ø÷ ^{d t ¢}

0

ò

= y (t = 0) + Acos 2 p

l ( ^{x (t = 0) + U t ¢ - c t ¢} )

æ èç

ö ø÷ d t ¢

0

ò

= y (t = 0) + Acos 2 p

l ( ^{x (t = 0) +} ( ^{U - c} ) ^{t ¢} )

æ èç

ö ø÷ d t ¢

0

ò

= y (t = 0) + A l

2 p ( U - c ) ^{sin æ} _èç ^{2 l p} ( ^{x (t = 0) +} ( ^{U - c} ) ^{t ¢} ) ^ö _ø÷

t'=0 t'=t

= y (t = 0) + A l

2 p ( U - c ) ^{ì í sin æ} _èç ^{2 l p} ( ^{x (t = 0) +} ( ^{U - c} ) ^{t ¢} ) ^ö _ø÷ ^{- sin æ} _èç ² _l ^{p ( x (t = 0) ) ö} _ø÷

îï

ü ý þï

0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0

- 0 . 5 0 . 0 0 . 5 y '

x ' S 2

S 1 S 3 T r a j e k t o r i e

9

Beispiel (4):

Trajektorie (2) - alternativ -

0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0

- 0 . 5 0 . 0 0 . 5 y '

x ' S 2

S 1 S 3 T r a j e k t o r i e

u = U = const , v = Acos 2 p

l ^{( x- ct)} æ

è ç ö

ø ÷

= y (t

) + Acos 2 p

l ^{x ¢ -}

c ( x ´-x ´(t

)) U

æ

è ç ö

ø ÷ æ

è çç ö

ø ÷÷ dx ´

x(t₀)

U

x(t)

ò

= y (t

) + A

U cos 2 p l

U - c U æ

è ç ö

ø ÷ ¢ x - cx ´(t

) U æ

è ç ö

ø ÷ æ

è çç ö

ø ÷÷ d x ¢

x(t₀) x(t)

ò

= y (t

) + A U - c

l 2 p ^sin

2 p l

U - c U æ

è ç ö

ø ÷ x '(t) - cx (t

) U æ

è ç ö

ø ÷ æ

è çç ö

ø ÷÷

x(t₀) x(t)

º y ( x (t))

dx

dt = u ( x , y , t ) , dy

dt = v ( x , y , t)

x (t) = x (t

) + u ( x , y , t ¢ ) d t ¢

t₀

ò

^{= x (t}

^{) + U d t ¢}

ò

^{= x (t}

^{) + Ut}

y (t) = y (t

) + v ( x , y , t ¢ ) d t ¢

t₀

ò

^{= y (t}

^{) + Acos æ} _èç ² _l ^p ( ^{x- c t ¢} ) ^ö _ø÷ ^{d t ¢}

t₀

ò

substituiere aus x (t) = Ut + x (t

)

t = (x (t) - x (t

)) / U , dt = dx / U

R-Program (1)

10

Die gestrichelten Kurven geben das Stromlinienfeld wieder; die Windrichtung ist

parallel zur Tangente an diese. Das Stromlinienfeld wandert mit der Zeit nach

rechts. Die durchgezogene Kurve gibt eine Trajektorie wieder; zu jeder Zeit ist die

Bewegung parallel zu den jeweiligen Stromlinien. Das Partikel bewegt sich in

dem Beispiel schneller als das Stromlinenfeld.

R-Program (2)

# set parameters

# A amplitude of v component in m/s

# U u-component in m/s

# c phase velocity of wind field in x-direction in

# m/s

# lambda wavelength of y-disturbance of wind field

# in m

# ampl_SL amplitude of streamline A = 1

U = 1 c = 0.3*U lambda = 1

ampl_SL = (A/U) * (lambda/(2*pi))

# loop over time

# ii time step from ii = 0

for (t0 in seq(0,2,length=361)) { ii = ii + 1

# plot frame

plot(0, 0, type="n", xlim=c(0,2), ylim=c(-.5,.5), xlab="x", ylab="y")

# add streamlines

# x x-coordinate extension and resolution # x0 starting x

# y0 preliminary starting y-coordinate of # streamline

# y preliminary y-coordinate of streamline

# dy shifts the streamlines vertically, such that their absolute maxima are constant this

better visualizes the moving streamlines field

11

x = seq(0, 2, length=201) x0 = 0.0

for (y0 in c(-.25, 0, .25)) {

y = y0 + ampl_SL * (sin(2*pi*(x-c*t0)/

lambda) - sin(2*pi*(x0-c*t0)/lambda)) dy=max(y)-(y0+ampl_SL)

lines(x,y-dy, lty=1, col="#033E6B", lwd=1) }

# add tracer and trajectory so far

# y0_t y-coordinate start of the trajectory

y0_t = 0

t = seq(0,t0,length=201) x_t = U*t + x0

y_t = y0_t + A*lambda / (2*pi*(U-c)) * (sin((2*pi/lambda)*(x0+(U-c)*t)) -

sin((2*pi/lambda)*(x0)))

lines(x_t,y_t, col="#033E6B", lwd=2)

points(x_t[201], y_t[201], col="#FF4900", pch=19, cex=3)

grid() }

12

Übungen zu VI.1.3

1. Gegeben sei ein kreisförmiges Tiefdruckgebiet, dass sich mit einer konstanten Verlagerungsgeschwindigkeit c nach Osten bewegt.

Zeichne qualitativ die resultierenden Trajektorien beginnend an vier Orten (östlich, westlich, nördlich und südlich vom Zentrum) unter der Annahme, dass die zu den Isobaren parallele Windgeschwindigkeit v überall konstant ist für die Fälle v>c und v<c.

2. Gegeben ist ein horizontales Windfeld

mit u=10 m/s, A=5 m/s und λ=1000 km (Wellenlänge).

a) Berechne für dieses Feld analytisch die Rotation und die Divergenz.

b) Bestimme die Gleichung für die Stromlinie und Trajektorie, die durch (x,y)=(0,0) führt und plotte sie.

, sin 2 p ( )

l

æ ö

= = = ç è + ÷ ø

u U const v A x ct