Einführung in die Meteorologie (met211)

Clemens Simmer

Einführung

in die Meteorologie (met211)

- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre

- Teil VII: Synoptik

2

VI Dynamik der Atmosphäre

1.  Kinematik

–  Massenerhaltung -> Kontinuitätsgleichung (4.

meteorologische Grundgleichung) –  Stromlinien und Trajektorien

2.  Die Bewegungsgleichung

–  Navier-Stokes-Gleichung (1.-3. meteorol. Grundgl.) –  Skalenanalyse (geostrophischer Wind+statische

Grundgleichung (3. meteorol. Grundgl.)) 3.  Zweidimensionale Windsysteme

–  natürliches Koordinatensystem und geostrophischer Wind

–  Gradientwind und andere

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur

und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie

teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

VII Synoptische Meteorologie

Synoptik ist die Zusammenschau der Wettervorgänge in Raum und Zeit mit dem Ziel der Wetteranalyse und

Wettervorhersage. Die Synoptik ist Teil der Angewandten Meteorologie.

1. Allgemeines

- Darstellungsweisen/Wetterkarten

- dreidimensionale Sicht – thermischer Wind 2. Synoptische Systeme mittlerer Breiten

- verschiedene Skalen

- Wie entstehen Tiefs und Hochs?

- Frontentheorien

- Kopplung Höhen- und Bodenströmung

4

VI Dynamik der Atmosphäre

1.  Kinematik

–  Massenerhaltung -> Kontinuitätsgleichung (4. meteorologische Grundgleichung)

–  Stromlinien und Trajektorien

2.  Die Bewegungsgleichung

–  Navier-Stokes-Gleichung (1.-3. meteorologische Grundgleichung)

–  Skalenanalyse (geostrophischer Wind+statische

Grundgleichung (3. meteorologische Grundgleichung))

3.  Zweidimensionale Windsysteme

–  natürliches Koordinatensystem und geostrophischer Wind –  Gradientwind und andere

•  Die Kinematik befasst sich mit der Analyse und Struktur von Windfeldern

–  unter Berücksichtigung der Massenerhaltung, –  ohne Betrachtung der Ursachen (Kräfte).

•  Windfelder lassen sich charakterisieren durch ihre

–  Divergenz : Volumen von Luftkörpern wachsen oder schrumpfen – ohne ihre Orientierung zu ändern.

–  Rotation : Luftkörper drehen sich im Raum – ohne ihr Volumen zu ändern.

–  Deformation : Luftkörper ändern ihre Form, ohne Orientierung und Volumen zu ändern.

VI.1 Kinematik

6

VI.1.1 Divergenz und Massenerhaltung

Ziele:

1.  Wie quantifiziert man das Zusammenströmen und

Auseinanderströmen eines Fluids – wie der Luft?

è Divergenz

2.  Wie berechnet sich die Dichteänderung der Luft beim Zusammen- oder Auseinanderströmen ? è Kontinuitätsgleichung = 4. meteorologische Grundgleichung

3.  Wie können wir die Kontinuitätsgleichung nutzen um die Vertikalgeschwindigkeit als Folge von Zusammen- oder Auseinanderströmen der Luft zu berechnen?

VI.1.1 Divergenz und Massenerhaltung

div v! = !

∇ ⋅v! = ∂u

∂x + ∂v

∂y + ∂w

∂z div v!_H = !

∇ ⋅v!_H = ∂u

∂x + ∂v

∂y div v!

!" #$= s⁻¹

< 0 > 0 < 0 x

t=0 t=t

Bei Beschränkung auf die horizontalen Windkomponenten wird der Zusammen- hang zwischen der Form des Strömungs- feldes und Divergenz unmittelbar deutlich.

Die Divergenz eines Windfeldes quantifiziert das Zusammen- (Konvergenz, negative Divergenz) oder Auseinanderströmen (Divergenz) der Luft.

Diese kann in 3D oder nur in 2D (z.B. horizontal) berechnet werden.

y

8

Beispiele zur Divergenz (Wiederholung)

v! =

1ms⁻¹ 1ms⁻¹ 1ms⁻¹

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟

⇒ !

∇ ⋅v! = ∂(1ms⁻¹)

∂x +∂(1ms⁻¹)

∂y + ∂(1ms⁻¹)

∂z =0 s⁻¹

v! =

ax ms⁻¹ ay ms⁻¹ az ms⁻¹

⎛

⎝

⎜

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟⎟

⎟

⇒ !

∇ ⋅v! = ∂ax

∂x + ∂ay

∂y + ∂az

∂z =3a s⁻¹

v! =

u₀sin 2π^x L 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟

⎟⎟

⎟

⇒ !

∇ ⋅v! =

∂ u₀sin 2π^x L

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

∂x = 2π^u₀

L cos2π^x L

v! =

u₀ v₀sin 2π^x

L 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⇒ !

∇ ⋅v!=0

L/2 L

L/4 L/2

M_i = v_⊥F

i F_i ρ > 0 wenn Fluss aus V heraus.

mit v_⊥F

i Windkomponente senkrecht zu F_i

Ein Nettomassenfluss M ([M]=kg/s) durch die gedachten festen Volumenrandflächen eines Quaders nach außen führt zu einer Reduktion der Masse m im Volumen V und damit auch der Dichte r.

M ist positiv, wenn Masse das Volumen verlässt;

dann gilt:

M_i sei der Massenfluss durch eine beliebige Randfläche F_i des Quaders. Dann gilt für M_i :

M = −∂m

∂t = −∂(ρV)

∂t = −V ∂ρ

∂t

V, m, ρ=m/V M

Einheitencheck:

kg / s =

( )

( )

(

)

Divergenz und Massenerhaltung (1)

F

F_z⁻ F_y⁻

F_x⁻

≅

1. Term der Taylor-Entwicklung

um x₀!,y₀,z₀

ρu x

(

)

(

)

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ − ρu x

(

)

(

)

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

ΔyΔz

= ∂ρu

∂x

(

)

∂x

(

)

Divergenz und Massenerhaltung (2)

x

y z

Δy Δz

Δx

r!0

Die Quaderkanten seien parallel zu den Koordinatenachsen. Bezeichnen wir die Randflächen entsprechend ihrer

Orientierung mit F_x⁺, F_x⁻,F_y⁺,F_y⁻,F_z⁺ und F_z⁻, so gilt:

v⊥F_x⁺ = u , v

⊥F_x⁻ =−u , v

⊥F_y⁺ = v , v

⊥F_y⁻ =−v , v

⊥F_z⁺ = w , v

⊥F_z⁻ =−w

F_x⁺ _F

y +

F_z⁺

Aufteilung des Massenflusses auf Teilflüsse durch Randflächen M =M_x⁺+M_x⁻+M_y⁺+M_y⁻ +M_z⁺ +M_z⁻ =M_x +M_y +M_z

Betrachte zunächst den Massenfluss M_x durch F_x⁺ und F_x⁻. ρ^v_⊥F

x+/− = ±ρ^u seien jeweils Mittelwerte über einen Querschnitt F_x, variieren also nur mit x :

M_x = M_x⁺ + M_x⁻ = ρ^v_⊥F

x+F_x⁺ + ρ^v_⊥F

x−F_x⁻ = ρ^{u x}₀ + Δx

2 ,y₀,z₀

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Klammer bedeutet

"an der Stelle "

!##"##$

− ρ^{u x}₀ − Δx

2 ,y₀,z₀

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

ΔyΔz

=F_x

!

Taylor Entwicklung

Benötigt man eine Näherung einer Funktion f an einer Stelle x, die nahe an einer Stelle x

liegt, bei der man die Funktion exakt kennt, so kann man f(x) auch schreiben als (Brook

Taylor (1685-1731)):

0 0 0

0 0

0

2 3

2 3

0 0 2 0 3 0

1

0 0 0 0 0

1 1

2

0 0 0

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...

2 6

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

! !

( ) ( ) ( )

x x x

n m n

n n m

n n

n x n x

x

f f f

f x f x x x x x x x

x x x

f f

f x x x f x x x O x x

n x n x

f x f x x O x x x

∞ −

= =

∂ ∂ ∂

= + − + − + − +

∂ ∂ ∂

∂ ∂

= + − = + − + −

∂ ∂

= + ∂ − + −

∂

∑ ∑

f ( x) ≈ f ( x

) + ∂ f

∂ x

0

( x − x

) Approximation erster Ordnung

12

Divergenz und Massenerhaltung (3)

x

y z

Δy Δz

Δx

r !

…analog für die zwei anderen

Richtungen durchführen, also insgesamt:

,

, V

z M w

y V M v

x V

M_x u _{y z}

∂

= ∂

∂

= ∂

∂

= ∂ρ ρ ρ

( )

V w

v u

z y x

z V w y

v x

u

M M

M t V

M _{x y z}

! ! ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

⋅

∇

=

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

∂∂∂∂∂

∂

=

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

+ +

∂ =

− ∂

≡

( ) ^v

t

! !

ρ _{= − ∇ ⋅} ρ

∂

∂ Kontinuitätsgleichung

(Massenerhaltung, 4. meteorologische

Grundgleichung)

Eulersche und Lagrangesche Kontinuitätsgleichung

d ρ

dt = ∂ ρ

∂ t + v ! ⋅ !

( ) ∇ ^ρ ∂ ρ

∂ t = − !

∇ ⋅ ( ) ρ ^{v !}

Euler‘sche Zerlegung für ρ:

Euler‘sche Kont‘gleichung:

Umrechnung:

d

ρ

dt = −!

∇ ⋅

( ) ρ

(

) ^ρ

= − v!⋅ !

(

) ^ρ

^ρ

{ }

aus Produktreg el anwenden auf !

∇⋅( )ρv!

!###"###$+ v%⋅ %

(

) ^ρ

d ! v !

⋅

∇

−

= ρ

ρ

14

Sonderfall: Inkompressibles Medium

Ein Medium ist inkompressibel, wenn man es weder zusammen-

pressen noch auseinander ziehen kann (z.B. näherungsweise Wasser).

Dabei kann es durchaus seine Form verändern oder im Inneren

inhomogen sein (veränderliche Dichte, z.B. eine Wasser-Öl-Mischung).

•  Auch Luft kann für bestimmte Betrachtungen in guter Näherung als inkompressibel angenommen werden. Dann gibt es z.B.

Ø  keine Ausdehnung beim Aufsteigen,

Ø  keine Schallwellen (Vereinfachung der Numerik bei Modellen).

•  Man macht daher die Annahme der Inkompressibilität oft bei der Beschreibung der Strömungsprozesse bei relativ geringen

Vertikalauslenkungen, z.B. Strömungen in der atmosphärischen Grenzschicht.

•  Für inkompressible Medien gilt dann offensichtlich:

Beachte aber:

0 0 ⇔ ∇⋅ =

≡ v

dt

d ! !

ρ

!!

!

≠ 0

∂

∂ t

ρ

dünn

v !

→

Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit (1)

•  Nehmen wir Inkompressibilität an, so folgt aus dem Zusam- menströmen von Luft in der Horizontalen (horizontale Konver- genz), dass die Luft in vertikaler Richtung ausweichen muss.

•  Erfolgt dabei die horizonale Konvergenz am Boden, so muss die Luft durch Aufsteigen nach oben ausweichen.

Ø  Bodennahe horizontale Konvergenz erzwingt Aufsteigen darüber.

Ø  Bodennahe horizontale Divergenz erzwingt Absteigen darüber.

ρ ∇⋅^! !

( )

inkompressibel! 0 ⇒ ∂u

∂x ⁺

∂v

∂y ⁺

∂w

∂z ^{= 0 ⇒ ∂} w

∂z ^{= −}

∂u

∂x ⁺

∂v

∂y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

0 h

•  Beispiel: Küstenkonvergenz

Wind

16

Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit (2)

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ =

⇒ ∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

⇒ ∂

=

⋅

∇ y

v x

u z

w z

w y

v x

v! 0 u 0

!

•  Gehen wir weiter von stationären Verhältnissen aus (∂/∂t=0), und dass w sich nur vertikal verändert (∂z→dz), so kann man die Gleichung integrieren.

w(h) = dw

0 h

∫

#$ %

&

'dz

0 h

∫

%& '

()dz =

0 h

∫

#$ %

&

'dz

0 h

"

∫

#$

%$

&

'$ ($

höhen-gemittelte horizontale Divergenz

!###"###$ h

w(h) = −!

∇_H ⋅ ! v_H^hh

→ Am Boden (h=0) ist w=0; w nimmt linear mit der Höhe zu.

0 h

•  Beispiel Küstenkonvergenz: Der Horizontalwind (nur x-Richtung) nehme über einen Kilometer in einer Schicht von 1 km Dicke im Mittel um 1 m/s ab. Wie groß ist die Hebungsgeschwindigkeit in 1 km Höhe?

Beispiel: Aufsteigen in Tiefs und Absteigen in Hochs

H T

•  Beobachtung: In Hochs ist der bodennahe Windvektor leicht aus dem Hoch heraus gerichtet.

Ø Aus Kontinuitätsgründen muss Luft (bei stationären Verhältnissen) im Hoch absinken (Wolkenauflösung).

•  Beobachtung: In Tiefs ist der bodennahe Windvektor leicht in das Tief hinein gerichtet

Ø Aus Kontinuitätsgründen muss Luft (bei stationären Verhältnissen) im Tief aufsteigen (Wolkenbildung).

Vorgriff: Das bodennahe Ausströmen im dynamischen Hoch bzw.

Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit (3)

18

Horizontale Divergenz und Drucktendenz (∂p/∂t) – ohne Homogenitätann.

=

Aufspaltung horiz.+vertical

! − g !

∇_H ⋅

( )

z

∞

∫

z

∞

∫

∂p(z)

∂t ≡

Ketten- regel

! − g v!_H ⋅ !

∇_Hρ

a)

" #$ %$ + ρ∇^! _H ⋅v!_H

" #$ %b) $

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ dz´

z

∫

c)

!

→ Eine Druckzunahme in der Höhe z kann verursacht werden durch:

a)  Advektion von dichterer Luft in der Luft darüber b)  horizontale Konvergenz in der Luft darüber

c)  Aufsteigen von Luft durch die Höhe z

Beispiel Küstenkonvergenz: Berechne Druckzunahme am Boden

Konvergenz und Vertikalgeschwindigkeit (4)

z, a)

b)

c) t

p

∂

∂ dp = −ρ^gdz ⇒ p(z) ≅

g(z!)≅g g ρ ^dz´

z

∞

∫

∂p(z)

∂t = g ∂ρ

∂t dz´

z

∞

∫

Kont´gleichung! − g !

∇ ⋅

( )

z

∞

∫

Konvergenz und Konfluenz

•  Von Null verschiedene (3D) Konvergenz lässt ein Strömungsvolumen wachsen oder schrumpfen – die Dichte nimmt dabei ab bzw. zu

(Kontinuitätsgleichung).

•  Bei zweidimensionaler Konvergenz gilt der Zusammenhang mit

Dichteänderungen nicht zwingend, da wir nicht wissen was vertikal passiert. Die 3D Konvergenz könnte null sein und die Luft z.B. nach oben ausweichen wie vorher diskutiert.

•  Eine rein horizontale konvergenzfreie Strömung kann immer noch ein gedachtes Fluidvolumen rotieren und/oder deformieren. Deformation kann durch sogenannte Konfluenz oder Diffluenz (auch Richtungskonvergenz bzw.

–divergenz) erfolgen.

•  Konfluente oder diffluente Strömungen können konvergent oder divergent sein! Das gilt in 2D und in 3D.

Beispiel: 2D-Strömung mit Konfluenz und Diffluenz, aber verschwindender Divergenz (angedeutet durch gleichblei- bendes Volumen). Es gleichen sich Richtungs- und Geschwindigkeits- konvergenz gerade aus.

20

Flächenmittel der horizontalen Divergenz und der Integralsatz von Gauss (1)

Die 2D-Divergenz eines Windfeldes ist offensichtlich eine wichtige Eigenschaft, die insbesondere Wetter-relevante Vertikalgeschwindigkeiten beeinflusst.

•  Die Berechnung der Divergenz benötigt ein kontinuierliches Feld, da der Nabla- Operator ein differentieller Operator ist.

•  Aber: Bei Messungen und numerischen Atmosphärenmodellen sind die Zustandsvariablen nur an diskreten Punkten bekannt.

Ø  Der Integralsatz von Gauss (hier nur in 2 Dimensionen für die horizontale Divergenz, gilt analog aber auch für 3D mit F→V, s(F)→F(V) ) verbindet die differenzielle Formulierung mit einer integralen Formulierung, und erlaubt die Berechnung der mittleren Divergenz aus Werten am Gebietsrand.

D

: = !

∇

⋅ v !

=

F≡ dF

F

∫

! 1 F

∇ !

⋅ v !

dF

F

∫

Satz von Gauss (Beweis nächste Folie)

≡

! 1 F

v !

⋅ n ds !

s(

" ∫

⁼ _F ^{1 v}

^ds

s(

" ∫

x y

F

ds

.

v !

v

= !

n ⋅ ! v

n!

s(F)

D_H = 1

F v _nds

s(

! ∫

= 1

F (−)u_a da

∫

∫

∫

∫

#$

%

&

'(

= 1 ΔxΔy

!=F

−u_aΔy−v_bΔx+u_cΔy+v_dΔx

{ }

Die seien Positionen, an denen der Wind gemessen (oder modelliert) wird.

Man denkt sich ein Rechteck (gestrichelt), das die Stationen wie angedeutet verbindet.

x y

F a

b c

d Δx

Δy

Anmerkung:

Grenzwertbildung bei D hinter dem letzten Gleichheitszeichen

(Klammer [ ]) führt mit ∆x,∆y→0 wieder zurück zur Definition der

Flächenmittel der horizontalen Divergenz und der Integralsatz von Gauss (2)

= 1

Δx

(

)

(

)

bildung

! ∂u

∂x + ∂v

∂y

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥ 1 über die Strecke a gemittelte

22

Übung zu VI.1.1

1.  (*)Plotte mit R im Bereich -100km < x < 100km und -100km < y < 100km das Tem- peraturfeld T=273,15K+10*sin(2πx/100)-0,5*y als Konturdarstellung (Dx=Dy=1km). 2.  (*)Auf dem gleichen Gebiet nehme folgendes Windfeld an:

Berechne numerisch approximativ über einfache Differenzen (siehe letzte Folie) mit R die Divergenz und plotte sie als weiteres Isolinienfeld auf das Temperaturfeld von 1. Verwende dabei eine andere Farbe. Diskutiere das Ergebnis.

3.  Im Zentrum eines Tiefdruckgebietes sei der Vertikalwind in 1000 m Höhe 1 cm/s.

Wie groß ist dort dann die mittlere horizontale Divergenz zwischen Boden und 1000 m unter Annahme inkompressibler Luft?

4.  Im Windfeld von 3. liege bei 1000 m die Unterkante einer Wolkenschicht. Es herrsche dort eine Temperatur von 10°C. Berechne die Niederschlagsmenge in mm/h unter der Annahme, dass alles beim Aufsteigen kondensierende Wasser sofort ausfällt (der Sättigungsdampfdruck von Wasser bei 10°C ist 12,2 hPa; die Gaskonstante von Wasserdampf ist 461 J/(kg K)).

(*) Diese Aufgaben ergeben Sonderpunkte im Umfang von 3. und 4.

v! = u₀,v₀ sin 2π^x L , 0

!

"

# $

%& mit u₀ = v₀ =10m/ s und L =100km

Übung zu VI.1.1 (Tutorium)

x y

F a

b c

d Δx=100 km

Δy=50 km 4 m/s, 60°

10 m/s 90°

4 m/s, 120°

8 m/s 90°

1.  Schätze die mittlere horizontale Divergenz D für nebenstehende Beobachtungen ab.

2.  Wie ändern sich die Werte, wenn wegen Messfehler tatsächlich an der Westseite die Windstärke 1 m/

s höher und an der Ostseite 1 m/s niedriger ist?