VI.1.1 Divergenz und Massenerhaltung

VI.1.1 Divergenz und Massenerhaltung

< 0 > 0 < 0 x

t=0 t=t

Bei Beschränkung auf die horizontalen Windkomponenten wird der

Zusammenhang zwischen Form des Strömungsfeldes und Divergenz

unmittelbar deutlich.

Die Divergenz eines Windfeldes quantifiziert das Zusammen- (Konvergenz, negative Divergenz) oder Auseinanderströmen (Divergenz) der Luft.

y

H H

u v w

div v v

x y z

u v

div v v

x y

  

     

  

 

    

 

  

  

2

Eulersche und Lagrangesche Kontinuitätsgleichung

Euler‘sche Zerlegung für ρ:

Euler‘sche Kont‘gleichung:

Umrechnung:

Lagrange‘sche Kont‘gleichung

 

  ^v

t t v dt

d

 

 

 

 









 







 

 

   

   

 

 

aus Produktreg el anwenden auf

v

d v v

dt

v v v



  

  



   

      

 

   

  

  

 

dt v

d  







 



Sonderfall: Inkompressibles Medium

• Ein Medium ist inkompressibel, wenn man es weder zusammenpressen noch auseinander ziehen kann (z.B. näherungsweise Wasser). Dabei kann es durchaus seine Form verändern oder im Inneren inhomogen sein

(veränderliche Dichte, z.B. eine Wasser-Öl-Mischung).

• Auch Luft kann für bestimmte Betrachtungen in guter Näherung als inkompressibel angenommen werden. Dann gibt es z.B.

 keine Ausdehnung beim Aufsteigen,

 keine Schallwellen (Vereinfachung der Numerik bei Modellen).

• Man macht daher die Annahme der Inkompressibilität oft bei der

Beschreibung der Strömungsprozesse bei relativ geringen und langsamen Vertikalauslenkungen, z.B. Strömungen in der Grenzschicht.

• Es gilt dann offensichtlich:

beachte aber:

dicht

0 0    

 v

dt

d  



!!

!

   0

4

Rotation eines Vektorfeldes

- Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -

Ist die Vertikalgeschwindigkeit w=0 und sind u und v vertikal konstant, dann gilt offensichtlich:

x y

.

Offensichtlich ist die Rotation aus der

Zeichenebene zum Be- obachter gerichtet. Sie wird als zyklonal

(Zyklone!) bezeichnet.

Die Rotation ist ein axialer Vektor.

Da die Luftströmung großskalig i.w. horizontal ist, hat ς (Vorticity) eine große Bedeutung in der Meteorologie.

zeta eta

xi

y u x

v x

w z

u

z v y

w

w v

u

k j

i w

v u v

rot

v _{x y z}

z y x













































 



 

 



 

 







 





































 _^ _^ _^











 







 

 

 







 



 





 y

u x

k v k

v   

 

v u

k v

x y

    ^ ^  ^ ^

  

Vorticitygleichung

Pol

Äquator

• f ist die Rotation um die lokale Vertikale, die durch die Erddrehung erzeugt wird (NH positiv, SH negativ).

• Ist der Drehsinn der Relativbewegung so wie der Drehsinn der Erde, nennt man diesen zyklonal;

zyklonal heißt also auf der NH gegen Uhrzeigersinn auf der SH im Uhrzeigersinn.

• Für die absolute Vorticity lässt sich unter barotropen Verhältnissen (keine Vertikaländerungen des

Horizontalwindes und keine horizontalen Dichteänderungen) ableiten (barotrope Vorticitygleichung): .

• Konvergenz erhöht die Vorticity und Divergenz reduziert sie.

• Bei zusätzlicher Divergenzfreiheit führt eine Nordwärtsbewegung eines Tief auf der NH zu seiner Abschwächung und

Südwärtsbewegung zu einer Verstärkung.

mit absolute Vorticity relative Vorticity

2 sin Coriolisparameter f

f

 







 

 





 







  

z

k

6

Natürliches Koordinatensystem

• Zur Untersuchung von Strömungen ist es oft nützlich anstatt des starren und ortsfesten kartesischen Koordinatensystems ein Koordinatensystem zu verwenden, das an die Strömung selbst gebunden ist.

• Betrachtet man einen sehr kleinen Ausschnitt aus einer

beliebigen dreidimensionalen Strömung, so lässt sich dieser als ein Teil eines Kreisbogens auffassen.

• Ein geeignetes Koordinatensystem wird dann festgelegt durch drei Einheitsvektoren in Richtung

- des Windrichtungsvektors ()

- des Vektors senkrecht dazu nach links in der

Strömungsebene (dieser ist dann parallel zur Richtung zum hypothetischen Kreismittelpunkt) ()

- der Normalen auf der Ebene des Kreises ().

n 

n 

s 

s 

em Rechtssyst ein

bilden

, ,

, k

n s

k n

v s v v

s v

 



 

 



 

0 0

0 0

0    

Krümmungs- und Scherungsvorticity (b)

Scherungsvorticity Krümmungsvorticity

+

+

y

x x

y

a b

R

V n

V





 

 

VI.1.3 Stromlinien und Trajektorien

• Stromlinien sind Momentaufnahmen eines Geschwindigkeitsfeldes. An jedem Punkt

bewegt sich zu diesem Zeitpunkt die Luft parallel zu den Stromlinien.

• Trajektorien repräsentieren den Weg eines

Teilchens über eine Zeitspanne

Beispiel (1):

Die Trajektorie hat hier eine größere Amplitude als die Stromlinie, da c und U in die gleiche Richtung gehen, und entsprechend auch eine

längere Wellenlänge.

In der Abbildung wurden x und y mit λ normiert (→x‘, y‘) und U=A und c=0,3U gesetzt.

Stromlinie für t=0

�

0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0

- 0 . 5 0 . 0 0 . 5 y '

x ' S 2

S 1 S 3 T r a j e k t o r i e



 



 





 U const , v Acos (x ct)

u 

 2

0 0 0

Trajektorie mit Start bei

0 , 0 , 0

y  x  t 

10

Reibungskraft (4)

Berechnung der Nettokraft (=Nettoimpulsflussdichte x Fläche) in x-Richtung:

Laminare und turbulente Strömungen (Einsetzen von τ)

, 0 0

0 0

, ,

( / 2) ( / 2)

über ( / 2) ( ) / 2

1 Reibungsbeschleunigung nach x

R x xz xz

xz xz

xz xz

V

R x xz xz

R x

K z z x y z z x y

x y z z z z z z

z

K V

f m z m z

 

   

 



         

 

          

 

  

 



,

2 2

1 1

laminar ( ) turbulent ( ( ))

1 1 1

( )

R x xz

f u

z z z

K z

u u u

z z z z z K z z

u z

 

 

   

  

  



    

      

 

           

              

 



5 2

2

( )

mit , dynamische, bzw. molekulare Viskosität ( 1,5 · 10 m / s) turbulenter Diffusionskoeffizient ( 1 m / s)

K z u

z z

K



   ^

   

    

 



Bewegungsgleichung für die Atmosphäre im Inertialsystem

In der Bewegungsgleichung für das Inertialsystem treten Coriolis- und Zentrifugalbeschleunigung nicht auf!

Ein brauchbares Inertialsystem ist ein in der Sonne verankertes Koordinatensystem, das seine Achsen starr am Fixsternhimmels ausrichtet.

 

 ^{    }



   

 1 1

a

p g

dt

v

d

Coriolisbeschleunigung - formal (4) -

I. Scheinbare Beschleunigung relativ zur Erdoberfläche

II. Beschleunigung im Inertialsystem (= Summe der angreifenden Kräfte)

III. Beschleunigung durch Änderung der Erdrotation (Herbsttag 0,05 s kürzer als Sommertag, i.a. aber vernachlässigbar)

IV. Coriolisbeschleunigung V. Zentrifugalbeschleunigung

        





  

 





 





V IV

II III I

r v

dt r d dt

v d dt

v

d

















 

 

 

2

Navier-Stokes-Gleichung (2)

komponentenweise

f

v k

g p

v t v

v dt

v

d          





















 

  1 2

)  (

,

,

1 2 cos

1

1 2 cos

 



 

    

         

    

    

       

    

    

        

    

R x

R y

du u u u u p

u v w fv w f

dt t x y z x

dv v v v v p

u v w fu f

dt t x y z y

dw w w w w p

u v w g u

dt t x y z z  f_{R z}^,

Skalenanalyse der horizontalen Bewegungsgleichung

U/T 1/   p/L fU fW -

10

10

10

10

- m/s

...Coriolisbeschleunigung und Druckgradientbeschleunigung heben sich gegenseitig auf!

,

1 2 cos

du p

fv w f

dt x 



      



,

1

dv p

fu f

dt  y

    



1

1 fv p

x fu p

y





 



  



Geostrophischer Wind

geostrophischer Wind:

1 1 0 1

, 0

0 1 0

oder mittels Division durch - und Multiplikation von links mit

h h

v u

p p

fv fu , f u f v fk v p

x y

f k

  

     

       

                      



  



0 1

0

1 0

h h

v

u v k p

f

   

        

   

   

   

  

p p 3 p

p 2 p

p 1 p

F F _{P , H}

C , H

v _g

T

p

, v u p

p ρf k

v

g g

h g



 



 









1 1

 1  

16

Fallunterscheidung und Bezeichnungen

Je nach wirkenden Kräften ergeben sich unterschiedliche Bewegungssysteme, die im folgenden diskutiert werden.

Druck-

gradient Coriolis-

Beschl. Reibung Zentrifu-

gal- beschleu-

nigung geostrophischer

Wind

synoptische Systeme Gradientwind

zyklostrophische

r Wind Staubteufel

Trägheitskreis

Grenzschichtstrahlstrom antitriptischer

Wind Äquator

h h

R,s

n fv p R

n v

s f s p

 

 



 

 



:

:



 1 0 1

 2



Gradientwind – gekrümmte Stromlinien

T H

Im Tief kompensieren Coriolis und Im Hoch wirkt Coriolis entgegen der

Zentrifugalbeschleunigung, daher höhere Annahmen

• Stationarität

• keine Bahnbeschleunigung

2 2

: 0 1 Stromlinien || Isobaren

1 1 1

:

g

h h

h h

fv

s p

s

v p p v

n fv v

R n f n R



 



   



 

 

   

      

   

 

 







n s

n s

2

0 0 1 1

v

h h

h G g

R p n

v v p

f n R

v v





 



  

    

 

2

0 0

1 1 _h

h

h G g

R p n

v v p

f n R

v v v





 



  

    

 

h h

R,s

n fv p R

n v

s f s p

 

 



 

 



:

:



 1 0 1

 2



Diskussion - Besonderheit bei Hochs

Diskussion

• Anormale Fälle werden auf der synoptischen Skala nicht beobachtet, da Druckgradient die primäre Bewegungsursache ist.

• Anormale Fälle können nur auf sehr kleiner Skala durch Trägheitseffekte auftreten (Staubteufel, Badewanne)

• Besonderheit des Hochs (R<0^∂p/∂n<0) (Wurzelargument muss positiv sein):

Druckgradient muss zum Zentrum abnehmen.

Hochs sind flach. Tiefs haben diese Beschränkung nicht.

n p R fR

v_G fR



 



 



 



 

2

2 2

f R n

p

n R p R

f n

p R fR

n p R fR

v_G fR

4

2 2

2 2

2 2 2

2









 

 



 











 



 







 



 



 



Welche Luftdruckdifferenz herrscht in einem typischen Staubteufel (Außenrand zu Zentrum) mit 1 m

Durchmesser und einer Windgeschwindigkeit am

Zyklostrophischer Wind

- keine Reibung

- keine Coriolisbeschleunigung (z. B. Äquatornähe, kleiner Krümmungsradius, z.B. Staubteufel)

2

: 0 1 Stromlinien || Isobaren

: 1 und entgegengesetzte

Vorzeichen

h

s p

s

v p p

n R

R n n





   



 

  

 





T

F _P Z F _P Z

v _H

v _H

I s o b a r e u n d S t r o m l i n i e

n n

h h

R,s

n fv p R

n v

s f s p

 

 



 

 



:

:



 1 0 1

 2



Trägheitskreis (1)

Zusätzliche Annahmen - keine Reibung

- kein Druckgradient

0° 20° 43,3 60° 90°

f in 10^-4s^-1 0 0,5 1 1,26 1,46

Umlaufzeit, T=2π|R|/v_h =2π/f, in Stunden ∞ 35 17,5 13,8 12

|R| bei v_h=10 m/s ∞ 200 100 79 69

Als solche in der Atmosphäre kaum direkt beobachtet. Im Ozean dagegen sind diese Trägheitsschwingungen durchaus häufig.

2

0 0

:

: ^h _h

s

n v v v fR

R

v f

R



     

  





h h

f , also R 0 antizyklonal

also breitenabhängige Winkelgeschwindigkeit,

gleich der doppelten "Erdrotationsgeschwindigkeit"

F Z

v _H

n

C S t r o m l i n i e

h h

R,s

n fv p R

n v

s f s p

 

 



 

 



:

:



 1 0 1

 2



Trägheitskreis (2)- Grenzschichtstrahlstrom

Der Trägheitskreis taucht aber in der Form des sogenannten Grenzschichtstrahlstroms auf:

- Ausgangspunkt ist der subgeostrophische Wind in der Grenzschicht bedingt durch Reibung an der Erdoberfläche. Stabilisiert sich die Luft durch Ausbleiben der Heizung vom Boden in der Nacht, so reduziert sich die Reibung.

- Nehmen wir an, dass die Reibung plötzlich entfällt. Bei gegebenem Druck-gradient wird dieser dann nicht durch die Coriolisbeschleunigung ausgeglichen – der Wind beschleunigt zum Druckgefälle hin, wodurch die Coriolisbeschleunigung zunimmt.

- Der Wind beschleunigt, und zwar solange die Windrichtung eine Komponente zum tiefen Druck hat, da die Resultierende von Coriolis- und Druckgradient-beschleunigung eine Komponente in Richtung der Windrichtung hat.

- Ist der Wind parallel zu den Isobaren, so ist er stärker als der geostrophische Wind, er ist supergeostrophisch.

- Die Coriolisbeschleunigung ist nun aber stärker als der Druckgradient, er dreht den Windvektor zum hohen Druck. Die Resultierende „bremst“ dann den Wind. Dies geht so lange bis die Coriolisbeschleunigung kleiner als der Druckgradient ist und wieder eine Linksbeschleunigung wirkt….

Um dies quantitativ zu beschreiben müssen wir wieder zur Bewegungsgleichung im x,y,z-System zurück.

Richtung der Reibung unter Einfluss der Coriolisbeschleunigung

Annahmen:

1. stationäre horizontale Strömung

2. gradlinige Isobaren (keine Zentrifuglabeschleunigung)

Die Reibungsbeschleunigung steht senkrecht auf dem

ageostrophischen Wind - also nicht parallel zum Windvektor.

T

H

 

1 0

also

g

h h R

fk v

R h g R h g ag

p fk v f

f fk v v f v v v



 

     

     

 

 

 



        ^fp

fR

fC

vh

Bausteine der modernen Wettervorhersage

1. Online-Datensammlung

2. Datenassimilation -> aktueller Zustand der Atmosphäre

 Verschmelzen von Beobachtungen und „alter“ Vorhersage

 Methoden

- Nudging

- 3-dimensionale variationelle Datenassimilation - 4-dimensionale variationelle Datenassimilation - Ensemble-basierte Datenassimilation

- …

3. Vorhersagelauf mit Modell

- deterministische Vorhersage - Ensemble-Vorhersage

4. Interpretation der Modellausgabe

– Model Output Statistics (MOS)

24

Höhenkarten

• sind Topographien von isobaren Flächen, angegeben in geopotentiellen Metern (gpm) h=(g/g₀)z

– absolute Topographien, z.B. 850 hPa, 700 hPa, 500 hPa, 300 hPa, … enthalten

• h

, h

, … als Isolinien (sog. Isohypsen) in gpd(eka)m

• Isothermen

• relevante Messwerteintragungen (Radiosonden, Flugzeuge, Satellit) als reduziertes Stationsmodell

– relative Topographien, z.B. h₃₀₀ – h₇₀₀

• geben Informationen über die mittlere virtuelle

Temperatur in den Schichten (niedrige Höhendifferenz

= kalt, große Höhendifferenz = warm, siehe später)

Der thermische Wind

- Zusammenfassung -

Der thermische Wind

(= Änderung des

geostrophischen Windes mit der Höhe durch einen

horizontalen

Temperaturgradienten) „weht“

um ein Kaltluftgebiet, wie der geostrophische Wind um das

W T K

H T

⃗ �

⃗ �

⃗ �

: 1

g H

v k p

 f

   



H v v

thermisch g H v

v

v g

k T

z T f

v v g k T z

T f

  



    

  

   

26

Barotrope und barokline Felder

• barotrop: Isoflächen von Druck und Temperatur sind parallel zueinander

geostrophischer Wind mit der Höhe konstant

• baroklin: Isoflächen von Druck und Temperatur sind gegeneinander geneigt

geostrophischer Wind ändert sich mit der Höhe

0

0 



 





 p

T_v v^g

p ln



0

0 



 





 p

T_v v^g

p ln



Gegenüberstellung von thermischen und dynamischen Druckgebilden

kalt warm kalt H

T

warm kalt warm T

H

Thermische Tiefs und Hochs

Divergenz

T

Konvergenz

H

Dynamische Tiefs und Hochs werden durch Strömungs- strukturen (Divergen- zen und Konvergen- zen) in der Höhe angetrieben.

Die resultierende Strömung am Boden verändert dann aber

28

Allgemeine Vorticitygleichung (2)

Absolute Vorticity η (bzw. relative Vorticity ζ, wenn sich die Breite nur wenig ändert) wird also erzeugt durch:

1. Horizontale Konvergenz

2. Kombination von horizontaler Änderung des Vertikalwindes mit einer vertikalen Änderung des Horizontalwindes

3. Schneiden von Isolinien von Druck und Temperatur (Sonderfall barokliner Verhältnisse).



 











 







 



 











 







 











 











 







 



 











 







 



 







 















 



 











 

x p y y

p x z

u y w z

v x v w

dt d

rm Solenoidte

x p y y

p x m

Tiltingter z u y w z

v x w erm

Divergenzt

y v x

f u dt f

d

h h





 







 







2

2

1

1

 







 







 







 





 

 



 





 















� = 0

� = 0

Barotrope Rossby-Wellen (3)

λ

N

S

Initial- störung

Durch Breitenänderung initiierte Drehbewegung der Strömung

η=f df/dt<0 df/dt>0 df/dt<0

da also also also

� = 0 ^{� > 0}

� < 0

� > 0

30

Barotrope Rossby-Wellen – Ausbreitung (2)

• Rossby-Wellen wandern also mit einer Geschwindigkeit, die von der Strömungsgeschwindigkeit u₀ und der Wellenlänge λ abhängt.

d.h. die Wellen pflanzen sich mit Grundstromgeschwindigkeit u₀ aus, aber vermindert um β/k².

• Je kürzer die Wellen, desto schneller wandern sie in Richtung des Grundstroms (also nach Osten).

• Bei 45° und λ > 7000 km Wellenlänge wandern Die Wellen bei einer

Grundstromgeschwindigkeit ū = 10 m/s nach Westen. Oft sind die langen Wellen quasi-stationär.

• Genauer: Alle Rossby-Wellen laufen bezogen auf ein mitdriftendes Partikel im Grundstrom (also Grundstrom abziehen) nach Westen, und zwar je länger die Welle, desto schneller (k~1/λ).

• Wichtig: Rossby-Wellen erfordern neben der Erdrotation auch die Kugelgestalt der Erde (β-Effekt)!

ge) Wellenlän ,

( l Wellenzah mit

,

² 



π λ k

k k u

c 2

0  



Barokline Rossby-Wellen - Schema (2)

(aus Roedel, 1994)

Aus dem

Divergenz/Konvergenz- muster ergibt sich

Aufsteigen auf der Trogvorderseite und Absteigen auf der Trogrückseite.

• Da die Geschwindigkeiten in der Höhe höher sind als darunter in Bodennähe, überkompensieren die „Vergenzen“ in der Höhe die

„Vergenzen“ in Bodennähe.

• Daraus folgen Druckfall (Tief) auf der Trogvorderseite und Druckanstieg (Hoch) auf der Trogrückseite.

d u v

dt x y

  ^^  ^ ^