Aufgabe VI.3 Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz/Divergenz

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld

Pr¨asenzaufgaben zur Analysis I Blatt VI vom 18.11.2009

Aufgabe VI.1 Es sei P^∞

k=1a^k eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe reeller Zahlen.

Beweisen Sie, dass die Reihen

∞

X

k=1

max{0, ak} und

∞

X

k=1

min{0, ak} divergieren.

Aufgabe VI.2

a) Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x+iy,x, y∈R: 1

3 + 7i,

1 +i 1−i

² ,

√ 3i−1

2 ³

.

b) Beweisen Sie die sogenannte

”Parallelogramm-Identit¨at“:

∀a, b∈C: |a+b|²+|a−b|²= 2(|a|²+|b|²) c) Skizzieren Sie die Mengen

{z∈C| |z+ 1| ≤ |z+i|} und {z∈C| |z−1|=|z+ 1|}.

Aufgabe VI.3

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz/Divergenz. Beweisen Sie ihre Be- hauptung.

a)

∞

X

n=0

3 + 4i 6

ⁿ

b)

∞

X

n=0

(in)³ 3ⁿ c)

∞

X

n=2

(−i)ⁿ·n n−1

1