Die Divergenz eines Vektorfeldes

(1)

Divergenz

Die Divergenz eines Vektorfeldes

F ~ = F

x

~ e

x

+ F

y

~ e

y

+ F

z

~ e

z

wird durch

div F ~ = ∂

x

F

x

+ ∂

y

F

y

+ ∂

z

F

z

definiert.

Sie ist invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen und entspricht physikalisch der Quelldichte des Vektorfeldes.

Divergenz 1-1

(2)

Alternativ l¨ asst sich die Divergenz eines stetig differenzierbaren

Vektorfeldes F ~ (P ) als Grenzwert des Flusses durch die Oberfl¨ ache S eines den Punkt P enthaltenden r¨ aumlichen Bereichs V definieren:

diam

lim

V→0

1 vol V

Z Z

S

F ~ · d S ~ ,

wobei das vektorielle Fl¨ achenelement d S ~ nach außen orientiert ist.

Dies folgt unmittelbar aus dem Satz von Gauß und dem Mittelwertsatz und zeigt insbesondere die Invarianz der Divergenz unter orthogonalen Koordinatentransformationen.

Divergenz 1-2

(3)

Beispiel:

(i) Zentrales Kraftfeld:

F ~ =



 x y z



 = r~ e

r

div F ~ = ∂

x

x + ∂

y

y + ∂

z

z = 1 + 1 + 1 = 3 (ii) Wirbelf¨ ormige Str¨ omung:

F ~ =





−y x 0



 = %~ e

_ϕ

div F ~ = ∂

_x

(−y) + ∂

_y

x + ∂

_z

0 = 0 + 0 + 0 = 0

Divergenz 2-1