Festk¨ orperphysik Prof. K. Ensslin HS 2007

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Festk¨ orperphysik Prof. K. Ensslin HS 2007

7. ¨ Ubungsblatt: L¨ osungen Verteilung 6. November 2007

Besprechung 14./15. November 2007

Aufgabe 1: (Fermi-)Druck der Elektronen in Cu

Die durchschnittliche Energie eines Elektrons kann mittels der Fermienergie bei T=0 K ausgedr¨ uckt werden als E ¯ = 3

5 E

F

(0) = 3 5

¯ h

²

2m (3π

²

n)

²³

, wobei n=N/V die Elektronendichte darstellt (siehe Vorlesung und Literatur).

F¨ ur den Druck p benutzen wir die thermodynamische Beziehung, wobei die Gesamtenergie f¨ ur N Teilchen (und nicht die durchschnittliche Energie pro Teilchen) abgeleitet wird:

E

_ges

= N E ¯ = 3 5

¯ h

²

2m (3π

²

)

²³

N

⁵³

V

²³

,

p = −

∂(N E) ¯

∂V

T ,N

= (3π

²

)

²³

5 ¯ h

²

m n

⁵³

.

In Zahlen: p=38 GPa oder 3.8 · 10

⁵

atm.

Aufgabe 2: Niedrigdimensionale Elektronensysteme

1. 2D-Fall: Zahl der Zust¨ ande mit Energie kleiner als E (Faktor 2 f¨ ur Spin-Entartung):

N (E) = 2 X

k

1 = 2 A (2π)

²

Z

k(E)

0

dkk Z

2π

0

dφ = A 2π

Z

k²(E)

0

d(k

²

) = Am π¯ h

²

Z

E

0

dE

Zustandsdichte in zwei Dimensionen:

D

_2D

(E) = 1 A

dN(E) dE = m

π¯ h

²

= const.

1D-Fall: Zahl der Zust¨ ande mit Energie kleiner als E:

N (E) = 2 X

k

1 = 2 L 2π

Z

k(E)

−k(E)

dk = 2 L 2π

Z

k²(E)

0

d(k

²

) k = L

π r 2m

¯ h

²

Z

E

0

√ dE E

Zustandsdichte in einer Dimensionen:

D

1D

(E) = 1 L

dN(E) dE = 1

π r 2m

¯ h

²

√ 1 E .

0D-Fall: Zustandsdichte (ein Energieniveau E

₀

)

D

_0D

(E) = δ(E − E

₀

) 2. 2D-Fall:

n

2D

= m

π¯ h

²

E

F

= m π¯ h

²

¯ h

²

k

_F²

2m = k

²_F

2π ⇒ k

F

= √

2πn

2D

1D-Fall:

n

1D

= 1 π

Z

kF

−kF

dk = 2k

F

π ⇒ k

F

= π

2 n

1D

(2)

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

energy (arb. units)

density of states (arb. units)

1D2D 0D 3D

Aufgabe 3: Fermifl¨ ache in zwei Dimensionen

Die reziproken Gittervektoren sind b

1

= 1 ˚ A

⁻¹

und b

2

= 2 ˚ A

⁻¹

. Die Elektronendichte ist n

2D

= 3/(a

1

a

2

) = 3/(2π

²

) ˚ A

⁻²

. Der Fermivektor ist daher k

F

= p

3/π ˚ A

⁻¹

.

1.BZ

Fermi-Kreis

Fermifläche in d. 1.BZ

2.BZ

Fermifläche in d. 2.BZ reziprokes Gitter

b

₁

b

2