Theoretische Festk¨orperphysik

Stichworte und Formeln zur Vorlesung

Theoretische Festk¨orperphysik

Heinz Horner

Institut f¨ur Theoretische Physik Ruprecht-Karls-Universit¨at Heidelberg

WS 2002/2003

Inhalt

I GRUNDLAGEN 1

1 Lehrb ¨ucher 1

2 Ziele und Methoden 1

3 Beschreibung idealer Kristallstrukturen 2

3.1 Gitter . . . . 2

3.2 Bragg Streuung, reziprokes Gitter . . . . 3

II EINTEILCHENZUST ¨ ANDE UND ELEMENTARANREGUNGEN 5 4 Elektronen im periodischen Potential 5 4.1 Bloch Theorem . . . . 5

4.2 Fast freie Elektronen . . . . 6

4.3 Stark gebundene Elektronen . . . . 7

4.4 Orthogonalisierte ebene Wellen, Pseudopotentiale . . . . 9

5 Phononen in harmonischer N¨aherung 10

5.1 Adiabatische N¨aherung . . . . 10

5.2 Harmonischer Oszillator . . . . 11

5.3 Phononen im Kristall . . . . 12

5.4 Lineare Kette . . . . 15

5.5 Langwelliger Grenzfall, Schall . . . . 16

5.6 Inelastische Streuung von Neutronen oder γ-Quanten . . . . 17

5.7 Inkoh¨arente Streuung, M¨ossbauer-Effekt . . . . 20

6 Spinwellen in Ferromagneten 21 III STATISTISCHE PHYSIK VON QUASITEILCHEN 22 7 Phononen (Bosonen) 22 7.1 Besetzungszahldarstellung . . . . 22

7.2 Zustandssumme, Freie Energie, Spezifische W¨arme . . . . 22

7.3 W¨armeleitung . . . . 25

8 Elektronen (Fermionen) 31 8.1 Besetzungszahldarstellung f¨ur Fermionen . . . . 31

8.2 Großkanonische Gesamtheit, Grundzustand . . . . 32

8.3 Spezifische W¨arme bei tiefen Tempeaturen . . . . 33

8.4 Elektrische Leitf¨ahigkeit, W¨armeleitung . . . . 35

9 Halbleiter 39 9.1 Intrinsische Halbleiter . . . . 39

9.2 Dotierte Halbleiter . . . . 40

9.3 p-n- ¨ Ubergang, Diode, Transistor . . . . 42

10 Tieftemperatureigenschaften von Gl¨asern 47 IV WECHSELWIRKENDE ELEKTRONEN IN METALLEN 50 11 Hartree-Fock Theorie 50 11.1 Variationsrechnung, Hartree-Fock Gleichungen . . . . 50

11.2 Elektronen in einem homogenen Potential . . . . 52

11.3 Abschirmung (Thomas-Fermi-N¨aherung) . . . . 54

11.4 Optische Eigenschaften, Plasmaschwingungen . . . . 55

11.5 Fermi-Fl¨ussigkeit (Landau-Theorie) . . . . 56

12 Supraleitung 58

12.1 Phononinduzierte Wechselwirkung . . . . 58

12.2 BCS-Grundzustand . . . . 59

12.3 Angeregte Zust¨ande, Quasiteilchen . . . . 62

12.4 Ginzburg-Landau Theorie . . . . 64

13 Elektronen im Magnetfeld 69 13.1 Einteilchenzust¨ande . . . . 69

13.2 Hall Effekt . . . . 71

13.3 Quantisierter Hall Effekt, von Klitzing Effekt . . . . 71

I GRUNDLAGEN

1 Lehrb ¨ucher

N. Ashcroft, D. Mermin: Solid State Physics (Holt, Rinchard, Winston) C. Kittel: Introduction to Solid State Physics (John Wiley / Oldenurg) C. Kittel: Quantum Theory of Solids (John Wiley / Oldenurg)

O. Madelung: Fesrk¨orperthheorie I+II (Springer)

J. Ziman: Electrons and Phonons (Oxford Clarendon Press)

J. Ziman: Principles of the Theory of Solids (Cambridge Univ. Press) W. Ludwig: Festk¨orperphysik I+II (Akademie Verlagsges. Frankfurt) S. Hunklinger, C. Enss: Festk¨orperphysik (Skriptum)

F. Wegner: Theoretische Festk¨orperphysik (Skriptum)

2 Ziele und Methoden

Festk¨orper:

Kristalle (ideal, gest¨ort, ungeordnet, polykristallin) Gl¨aser, Polymere, amorphe Substanzen

Niedrigdimensionale Systeme (Schichten, quasi-eindimensionale Systeme) Mesoskopische Systeme

Fl¨ussige Kristalle, Gele ...

Eigenschaften:

Mechanisch (Elastizit¨at, Plastizit¨at, H¨arte, Spr¨odigkeit, Ultraschall) Optisch (Transparent, absorbierend, reflektierend ...)

Elektrisch (Isolator, Ferroelektrikum, Halbleiter, metallischer Leiter, Supraleiter) Magnetisch (Diamagnet, Paramagnet, Ferromagnet, Antiferromagnet, Spinglas) Thermisch (Spezifische W¨arme, W¨armeleitung)

Phasenumwandlungen (Schmelzen, Erstarren, magnetische Phasenumwandlung ...) Oberfl¨achen, Grenzfl¨achen, mesoskopische Systeme, Defekte (Farbzentren) ...

Theorie:

Quantenmechanik (nichtrelativistisch)

Statistische Physik (klassisch und quantenmechanisch, Transporttheorie) Spezielle Modelle zur Beschreibung von Teilaspekten

Vereinfachungen, Idealisierungen Kristallsymmertien (Translationen)

Zeitskalen (Elektronen ∼ 10

⁻¹⁶

sec, Ionen ∼ 10

⁻¹³

sec, Transport 1 · · · 10

⁻⁶

sec)

Tiefe Temperaturen (Schwach wechselwirkende Quasiteilchen)

3 Beschreibung idealer Kristallstrukturen

3.1 Gitter

a ₁

a ₂ R

Periodische Anordnung identischer Objekte.

Gittervektor:

R

_i

=

3 α=1

n

_i,α

a

_α

(3.1) n

_i,α

ganzzahlig

Basisvektoren: a

₁

a

₂

a

₃

Beachte: Die Wahl der Basisvektoren ist nicht eindeutig, in nebenstehender Figur ist z.B. a

2

= a

2

− a

1

auch m¨oglich.

Voronoi Zellen (f¨ur eine beliebige Menge von Punkten in d-dimensionalem Raum):

Zelle Z

_i

um Punkt am Ort R

_i

so daß f¨ur alle r ∈ Z

_i

: | r − R

_i

| < | r − R

| f¨ur alle = i.

Primitives Gitter: Jede Voronoi Zelle hat die gleiche Form und Orientierung.

Sie wird als Wigner-Seitz Zelle bezeichnet.

Volumen der Wigner-Seitz Zelle: v = | a

1

· a

2

× a

3

|

Deckoperationen: Translationen um Gittervektor, Spiegelungen, Drehungen.

Nichtprimitives Gitter:

Beispiel hexagonales Gitter. Es ent- spricht einem primitiven Gitter mit zwei Punkten pro Elementarzelle.

Deckoperationen: Translationen um Gittervektor, Spiegelungen, Drehungen, zus¨atzlich Gleitspiegelungen ...

a

₁

a

₂

a

₂

a

₁

Beispiel N aCl-Struktur:

Zwei Atome pro Elementarzelle.

Allgemein:

Gitter mit L Atomen pro

Elementarzelle

^{1 14.10.02}

Position eines Atoms “” in der Zelle “i”:

R

_i,

=

3 α=1

n

_i,α

a

_α

+ s

(3.2)

Beispiel:

Kubisch fl¨achenzent- riertes Gitter (dichteste Kugelpackung)

kubisch raumzentrier- tes Gitter

3.2 Bragg Streuung, reziprokes Gitter

Typischer Wert f¨ur Gitterkonstante ∼ 0.3 · · · 1 nm = 3 ˆ · · · 10 A ˚

Streuung von Licht (γ) oder Teilchen zur Bestimmung der Kristallstruktur

0.1 1 10 100 1 10 100 1 10 100

meV eV KeV

1 10 100 1000 ºK 100

10

1.0

0.1

0.01

λλλλ

[nm]

E(k)

Neutronen

Elektronen

Licht (

γγγγ

)

Wellenl¨ange λ und Wellenvektor k λ = 2π

| k | (3.3)

Energie: Licht

E(k) = ¯ hω = ¯ h c | k | (3.4) Teilchen:

E(k) = h ¯

²

k

²

2 m (3.5)

Elastische Streuung an einem Potential:

Energieerhaltung:

¯ h

²

k

²

2m = ¯ h

²

k

²

2m

| k | = | k

| (3.6) Einlaufende Welle

ϕ(r) = e

^{i k·r}

(3.7)

ϑϑϑϑ

k

Quelle k´

Detektor

Gestreute Welle in Born’scher N¨aherung, mit k = | k | und r = | r | ψ(r) = − e

^ikr

r

ψ(ϑ) ˆ ψ(ϑ) = ˆ m 2π¯ h

²

d

³

r

e

^i(k−k)·r

V (r

) (3.8) Streuquerschnitt:

d σ

d Ω (ϑ) = ψ(ϑ) ˆ

²

(3.9)

Streuung an einem Kristall:

s-Wellen Streuung an einem Einzelatom “” mit Streul¨ange b

. V (r

) =

i,

b

δ( R

_i,

− r

) (3.10)

Mit (3.2)

ψ(ϑ) = ˆ m 2π¯ h

²

i

e

ⁱ

^{αni,α(k−k)·aα}

b

e

^i(k−k)·s

(3.11) Konstruktive Interferenz f¨ur (k − k

) · a

_α

= 2 n π mit ganzzahligem n.

Reziprokes Gitter:

Konstruiere Basisvektoren b

1

b

2

b

3

so daß

a

α

· b

β

= 2πδ

αβ

b

1

= 2π a

₂

× a

₃

a

₁

· a

₂

× a

₃

= 2π a

₂

× a

₃

v · · · (3.12) Brillouin Zone: Entspricht Wigner-Seitz Zelle im reziproken Gitter.

Konstruktive Interferenz f¨ur

k − k

= τ

_n

=

α

n

_α

b

_α

(3.13)

Elastischer Streuquerschnitt dσ

dΩ (ϑ) ∼ δ( | k | − | k

| )

n

δ(k − k

− τ

_n

) F

_n

(3.14) Formfaktor:

F

_n

=

b

e

^iτn·s

²

(3.15)

Beachte: τ

_n

h¨angt nur von der Orientierung des Kristalls ab, F

_n

h¨angt nicht von der Orientierung des Kristalls ab.

Anwendung: Monochromator (ϑ fest vorgegeben).

Strukturbestimmung: Messung der Formfaktoren F

_n

und Rekonstruktion der Positionen der Atome innerhalb der Einheitszelle.

Problem: Die Rekonstruktion ist nicht eindeutig (inverses Problem), da die Information

¨uber die Phasen der Summe in (3.15) fehlt.

Hilfsmittel: Variation der individuellen Streul¨angen z.B. durch Verwendung verschiedener Isotope bei Neutronenstreuung oder R¨ontgenstreuung mit Energien in der

N¨ahe atomarer Absorbtionskanten.

^{2 16.10.02}

II EINTEILCHENZUST ¨ ANDE UND ELEMENTARANREGUNGEN

4 Elektronen im periodischen Potential

4.1 Bloch Theorem

Hamilton Operator f¨ur ein Elektron

H = p

²

2m + V (r) (4.1)

Gitterperiodisches Potential (primitives Gitter)

V (r) = V (r + R

_n

) (4.2)

Translationsoperator:

T ( R

_n

) = e

^¯hiRn·p

T ( R

_n

) f(r) T

^†

( R

_n

) = f (r + R

_n

) (4.3) T

^†

( R

_n

) = T ( − R

_n

) [ T

^†

( R

_n

), p ] = 0 (4.4) Ortsdarstellung: p ⇒ − i¯ h ∇

Ubung: Zeige mit Hilfe der Ortsdarstellung, daß (4.3) gilt. ¨

Invarianz des Hamiltonoperators mit periodischem Potential gegen¨uber Gittertranslationen:

T ( R

n

) H T

^†

( R

n

) = p

²

2m + V (r + R

n

) = p

²

2m + V (r) = H (4.5) Dies gilt in einem unendlichen Kristall (Vernachl¨assigung von Randeffektem) oder bei periodischen Randbedingungen.

Wegen [T ( R

_n

), H ] = 0 und [T ( R

_n

), T ( R

_n

)] = 0 k¨onnen simultane Eigenfunktionen gefunden werden. Da T ( R

_n

) unit¨ar ist, sind seine Eigenwerte von der Form e

^iϕ

und wegen T ( R

_n

) T ( R

_n

) = T ( R

_n

+ R

_n

) sind die simultanen Eigenfunktionen von der Form T ( R

_n

) ϕ

_κ

(r) = ϕ

_κ

(r + R

_n

) = e

^iκ·Rn

ϕ

_κ

(r) (4.6) Bloch Theorem:

ϕ

_κ

(r) = 1

√ V e

^{i κ·r}

u

_κ

(r) mit u

_κ

(r + R

_n

) = u

_κ

(r) (4.7) κ kann innerhalb der ersten Brillouin Zone gew¨ahlt werden, da (κ + τ

) · R

n

= κ · R

n

mod 2π.

Station¨are Schr¨odingergleichung f¨ur u

_κ

(r), ist innerhalb der Wigner-Seitz Zelle mit periodischen Randbedingungen (4.7) zu l¨osen.

( p + ¯ hκ)

²

2m + V (r)

u

_κ,

(r) = +

_κ,

u

_κ,

(r) (4.8) wobei eine zus¨atzliche Quantenzahl (Bandindex) darstellt.

Beispiel: κ = 0, eindimensional.

u

_k,3

(r) u

_k,2

(r) u

_k,1

(r)

4.2 Fast freie Elektronen

Freie Elektronen in Bloch Darstellung Wellenvektor k = κ + τ

+

κ,

= ¯ h

²

(κ + τ

)

²

2m (4.9)

ϕ

κ,

(r) = e

^i(κ+τ)·r

u

_κ,

(r) = 1

√ v e

^iτ·r

(4.10)

Fast freie Elektronen:

L¨osungsansatz:

Beispiel:

fcc–Gitter:

Brillouin Zone = ˆ Wigner-Seitz Zelle des bcc–Gitters

κκκκ κκκκ κκκκ κκκκ οοοο οοοο

0 1 2 3 4 5 6

-0.5 0 0.5 1

( 0, 0, 0 ) ( 1, 1, 1 )

( 1, 1,-1 ) ( 1,-1, 1 ) (-1, 1, 1 ) ( 1,-1,-1 ) (-1, 1,-1 ) (-1,-1, 1 ) (-1,-1,-1 )

( 2, 0, 0 ) ( 0, 2, 0 ) ( 0, 0, 2 ) ( -2, 0, 0 ) ( 0,-2, 0 ) ( 0, 0,-2 ) ( 2, 2, 0 ) ( 2, 0, 2 ) ( 0, 2, 2 )

( 0, 0, 0 ) (-1, ±1, ±1 ) ( -2, 0, 0 ) ( 1, ±1, ±1 ) ( 0,±2, 0) ( 0, 0,±2) ( 2, 0, 0) ( -2,±2, 0) ( -2, 0,±2) (-3, ±1, ±1 )

( κκκκ, 0, 0 ) ( κκκκ, κκκκ, κκκκ )

u

_κ,

(r) = e

^iτ·r

+

m(=)

a

_,m

e

^iτm·r

(4.11) Berechne Matrixelement mit (4.8)

1 v

v

d

³

r e

^−iτn·r

¯ h

²

( − i ∇ + κ)

²

2m + V (r) − +

_κ,

u

_κ,

(r) = 0 (4.12) Mit

V

_n,m

= 1 v

v

d

³

r e

^{−i(τn−τm)·r}

V (r) (4.13) und (4.11)

¯ h

²

2m (κ + τ

_n

)

²

− +

_κ,

δ

_,n

+ a

_,n

+ V

_,n

+

m(=)

a

_,m

V

_m,n

= 0 (4.14)

St¨orungsrechnung f¨ur schwaches Potential (nicht entartet):

0. Ordnung:

a

⁽⁰⁾_,n

= 0 +

⁽⁰⁾_κ,

= h ¯

²

2m (κ + τ

)

²

(4.15) 1. Ordnung:

a

⁽¹⁾_,n

= V

_,n

+

⁽⁰⁾_κ,

− +

⁽⁰⁾_κ,n

+

⁽¹⁾_κ,

= +

⁽⁰⁾_κ,

+ V

_,

(4.16) 2. Ordnung:

+

⁽²⁾_κ,

= +

⁽¹⁾_κ,

+

m(=)

a

⁽¹⁾_,m

V

_m,

= +

⁽¹⁾_κ,

−

m(=)

| V

_,m

|

²

+

⁽⁰⁾_κ,m

− +

⁽⁰⁾_κ,

(4.17)

Entartete St¨orungsrechnung (2-fach entartet oder fast entartet) Es sei +

⁽¹⁾_κ,

≈ +

⁽¹⁾_κ,

. m = ,

werde vernachl¨assigt.

Gl.(4.14) f¨ur n = b.z.w. n =

: +

⁽¹⁾_κ,

− +

_κ,

+ a

_,

V

,

= 0

V

_,

+ +

⁽¹⁾_κ,

− +

_κ,

a

_,

= 0 (4.18) L¨osung:

(+

⁽¹⁾_κ,

− +

_κ,

)(+

⁽¹⁾_κ,

− +

_κ,

) −| V

_,

|

²

= 0 (4.19)

+

_κ,

=

¹₂

(+

⁽¹⁾_κ,

+ +

⁽¹⁾_κ,

) (4.20)

±

1

4

(+

⁽¹⁾_κ,

− +

⁽¹⁾_κ,

)

²

+ | V

_,

|

²

Aufhebung der Entartungen.

((((κκκκ,,,,κκκκ,,,,κκκκ)))) ((((κκκκ,,,, ⁰⁰⁰⁰ ,,,, ⁰⁰⁰⁰ ))))

3 22.10.02

4.3 Stark gebundene Elektronen

LCAO (Linear combination of atomic orbitals) Freies Atom:

H

◦

= p

²

2m + V (r) H

^◦

ϕ

^◦_n,µ

(r) = E

^◦n

ϕ

◦_n,µ

(r) (4.21) Hauptquantenzahl n, Nebenquantenzahl µ = { l, m, s } .

Entwicklung der Blochfunktionen nach Atomorbitalen an jeweiligen Gitterpunkten.

Beachte: Die L¨osungen des atomaren Problems an einem Gitterpunkt (z.B. R = 0) bilden bereits eine vollst¨andige Basis, allerdings unter Einbeziehung von Kontinuumszust¨anden.

In der LCAO werden nur gebundene Zust¨ande ber¨ucksichtigt, daf¨ur aber solche an jedem

Gitterpunkt.

ϕ

_κ,n,λ

(r) = e

^iκ·r

µ

a

_κ,n,λ,µ

i

ϕ

◦_n,µ

(r − R

_i

)

+

m(=n)

µ

b

_κ,n,m,λ,µ

i

ϕ

◦_m,µ

(r − R

_i

)

(4.22)

Berechne Matrixelement von (4.8) mit atomaren Zustand:

d

³

r ϕ

^◦∗_n,µ

(r)

p

²

2m +

i

V (r − R

i

) − +

κ,n,λ

ϕ

κ,n,λ

(r) = 0 (4.23)

mit p

²

2m +

i

V (r − R

i

) = H

^◦

+

i(=0)

V (r − R

i

) (4.24)

Es sei

d

³

r ϕ

^◦∗_n,µ

(r)e

^iκ·r

i

ϕ

◦_n,µ

(r − R

_i

) = δ

_n,n

δ

_µ,µ

+ S

_κ,n,n,µ,µ

(4.25) und

d

³

r ϕ

^◦∗_n,µ

(r)e

^iκ·r

j(=0)

V (r − R

j

)

i

ϕ

◦_n,µ

(r − R

i

) = W

κ,n,n,µ,µ

(4.26)

Stark lokalisierte Elektronen (innere Schalen):

S

_κ,n,n,µ,µ

1 W

_κ,n,n,µ,µ

E

^◦n

(4.27) Beschr¨ankung auf ein Band: b

_κ,n,m,λ,µ

a

_κ,n,λ,µ

Eigenwertgleichung f¨ur +

_κ,n,λ

:

µ

_◦

E

n

− +

_κ,n,λ

δ

_µ,µ

+ S

_κ,n,n,µ,µ

+ W

_κ,n,n,µ,µ

a

_κ,n,λ,µ

= 0 (4.28)

Speziell f¨ur ein nicht entartetes Band:

+

_κ,n

= E

^◦n

+ W

_κ,n,n

1 + S

_κ,n,n

(4.29) Schwache Dispersion f¨ur stark lokalisierte atomare Orbits (z.B. f - Elektronen in Ubergangsmetallen), ¨ Starke Dispersion z.B. f¨ur s-Orbitale.

0 κκκκ BZ

1s

2s

2p

4.4 Orthogonalisierte ebene Wellen, Pseudopotentiale

Leitungsb¨ander (LCAO ist hierf¨ur nicht brauchbar) Ebene Welle: | κ Core Zust¨ande (LCAO): | ϕ ¯

_n

(κ) OPW-Ansatz:

| ϕ

(κ) = | κ −

n(<)

| ϕ ¯

_n

(κ) ϕ ¯

_n

(κ) | κ (4.30)

r ϕϕϕϕ

_l

(k,r)

Energie:

+

(κ) = ϕ

(κ) | H | ϕ

(κ) ≈ ¯ h

²

κ

²

2m + E

^◦

(4.31)

¯ h²κ²

2m

: Beitrag der “glatten” Bereiche E

^◦

: Beitrag im “Core”-Bereich.

Pseudopotentiale:

Verallgemeinerter OPW-Ansatz mit zun¨achst freien Parametern b

_n

:

| ϕ

(κ) = | κ −

n(<)

b

_n

| ϕ ¯

_n

(κ) ϕ ¯

_n

(κ) | κ (4.32) Station¨are Schr¨odinger-Gleichung:

H | ϕ

(κ) = H | κ −

n(<)

b

_n

H | ϕ ¯

_n

(κ) ϕ ¯

_n

(κ) | κ

= H | κ −

n(<)

b

_n

+

_n

(κ) | ϕ ¯

_n

(κ) ϕ ¯

_n

(κ) | κ

= +

(κ) | κ −

n(<)

b

_n

| ϕ ¯

_n

(κ) ϕ ¯

_n

(κ) | κ (4.33) Aquivalente Schr¨odinger-Gleichung: ¨

H + V

_c

+

(κ) | κ = +

(κ) | κ (4.34) mit nichtlokalem energieabh¨angigen“Pseudopotentialen”

V

_c

(+) =

n(<)

b

_n

+ − +

_n

(κ) | ϕ ¯

_n

(κ) ϕ ¯

_n

(κ) | (4.35) N¨aherung: Lokale Atomorbitale | ϕ

^◦(i)_n

am Gitterplatz R

_i

V

_c

(+) ≈

n(<)

b

_n

+ − E

^◦n

i

| ϕ

^◦(i)_n

ϕ

^◦(i)_n

) | (4.36) b

_n

k¨onnen angepaßt werden, Pseudopotentiale sind “atomare Eigenschaft”.

Anwendung z.B. Legierungen.

Mit (4.34) und (4.36) erh¨alt man “fast freie Elektronen” auch f¨ur Leitungselektronen.

4 24.10.02

5 Phononen in harmonischer N¨aherung

5.1 Adiabatische N¨aherung

Problem: Separation der elektronischen Freiheitsgrade und der Vibrations- (Rotations-) Freiheitsgrade in Festk¨orpern und Molek¨ulen.

Kerne (Ionen): Masse M

_i

, Impuls P

_i

, Ort X

_i

Elektronen: Masse m, Impuls p

, Ort x

Beachte: M

_i

m i.e. bei gleicher Energie ist die typische Geschwindigkeit der Elektronen groß gegen die der Kerne.

Hamiltonoperator von Elektronen und Kernen

H =

i

P

_i²

2M

_i

+

¹₂

i,j

V ( X

_i

− X

_j

)

+

p

²

2m +

i

W ( X

_i

− x

) +

¹₂

,

v( x

− x

) (5.1)

“Elektron-Hamiltonoperator” mit Kernpositionen als Parameter:

H

_el

(p, x; X) =

p

²

2m +

i

W ( X

_i

− x

) +

¹₂

,

v( x

− x

) (5.2) Schr¨odingergleichung f¨ur Elektronen (bei festen X)

H

_el

(p, x; X) ϕ

_n

(x; X) = +(X) ϕ

_n

(x; X) (5.3) Zeitabh¨angige Schr¨odingergleichung f¨ur zeitabh¨angige X(t)

i¯ h ∂

∂t ϕ(x, t) = H

_el

(p, x; X(t))ϕ(x, t) (5.4) Ansatz:

ϕ(x, t) ≈ e

^{−¯hin(X(t))t}

ϕ

_n

(x; X(t)) (5.5) Zeitabh¨angige Schr¨odingergleichung

i¯ h ∂

∂t e

^{−h¯in(X(t))t}

ϕ

_n

(x; X(t)) =

=

+

_n

(X(t)) + i¯ h

i

d dt X

_i

(t)

· ∇

Xi

e

^{−¯hin(X(t))t}

ϕ

_n

(x; X(t))

≈ H

_el

(p, x; X(t)) e

^{−h¯in(X(t))t}

ϕ

_n

(x; X(t)) (5.6) Absch¨atzung des Fehlers:

Typische Wellenl¨ange der Elektronen: λ

_el

= 2π/k

_el

. Typische Energie: +

_el

≈

^¯h_2m^2k2el

. Typische Geschwindigkeit x ˙

_el

≈

^¯hk_m^el

. Korrektur ∼ m x ˙ X ˙ +

_el

f¨ur X ˙ x. ˙

Typische Energie der Kernbewegung E

_K

≈

¹₂

M X ˙

²

. Adiabatische N¨aherung ist

gut f¨ur +

_el

_M^m

E

_K

. Die adiabatische N¨aherung ist nicht gut f¨ur (fast) entartete

Elektronenzust¨ande (konische Durchschneidungen in Molek¨ulsystemen).

Ansatz f¨ur Gesamtwellenfunktion:

Ψ(x, X ) = ϕ

_n

(x; X) Φ(X) (5.7) Schr¨odingergleichung:

H Ψ(x, X ) =

i

P

_i²

2M

_i

+

¹₂

i,j

V ( X

i

− X

j

) + H

el

(p, x; X)

ϕ

n

(x; X) Φ(X)

= ϕ

_n

(x; X)

i

P

_i²

2M

_i

+

¹₂

i,j

V ( X

_i

− X

_j

) + +

_n

(X)

Φ(X)

−

i

¯ h

²

M

i

∇

Xi

ϕ

_n

(x; X) · ∇

Xi

Φ(X) +

¹₂

∇

X²i

ϕ

_n

(x; X) Φ(X)

≈ ϕ

_n

(x; X)H

_ph

(P, X ) Φ(X) (5.8)

Korrektur in (5.8) ist klein f¨ur +

_el

_M^m

E

_K

.

Effektiver Hamiltonoperator f¨ur Kernbewegung (Phononen) H

_ph

(P, X) =

i

P

_i²

2M

_i

+ W (X) (5.9)

mit

W (X) =

¹₂

i,j

V ( X

_i

− X

_j

) + +

_n

(X) (5.10)

5.2 Harmonischer Oszillator

1-dimensionale Bewegung in einem Potential V (x) H = p

²

2m + V (x) (5.11)

Entwicklung des Potentials um Ruhelage R V (R) = V

₀

V

(x)

x=R

= 0 V

(x)

x=R

= Φ (5.12)

^x

V(x)

R

Auslenkung u = x − R. Harmonische N¨aherung: O (u

³

) vernachl¨assigt:

H = p

²

2m + V

₀

+

¹₂

Φ u

²

(5.13)

Auf- und Absteige-Operatoren:

a =

m ω

2¯ h u + i

√ 2¯ hm ω p a

^†

=

m ω

2¯ h u − i

√ 2¯ hm ω p (5.14) Mit [p, u] = − i¯ h

[a, a

^†

] = 1 (5.15)

Mit (5.14)

u =

¯ h 2m ω

a

^†

+ a p = i

¯ hm ω

2

a

^†

− a (5.16)

Mit ω =

Φ/m

H = ¯ h ω a

^†

a +

¹₂

) + V

₀

(5.17) Grundzustand: | 0 mit H | 0 = E

₀

| 0 mit E

₀

> V

₀

.

Betrachte den Zustand a | 0 :

H a | 0 = a H − ¯ hω | 0 = E

0

− ¯ hω a | 0 (5.18) Damit w¨are | 0 nicht mehr Grundzustand, es sei denn a | 0 ist nicht physikalisch. Dies ist der Fall f¨ur a | 0 = 0, da dieser Zustand dann keine endliche Norm besitzt.

Grundzustand:

H | 0 =

¹₂

¯ h ω + V

₀

| 0 E

₀

=

¹₂

h ω ¯ + V

₀

(5.19) Angeregte Zust¨ande

| n = c

_n

a

^†

ⁿ

| 0 (5.20)

Mit (5.15)

H a

^†

= a

^†

H + ¯ h ω (5.21)

und

H | n = E

_n

| n = (n +

¹₂

)¯ h ω + V

₀

| n (5.22) Besetzungszahloperator: n ˆ = a

^†

a n ˆ | n = n | n

Normierung:

n | n = c

²_n

0 | a

ⁿ

a

^†n

| 0 = n c

²_n

0 | a

ⁿ⁻¹

a

^†n−1

| 0 = n c

²_n

c

²_n−1

n − 1 | n − 1 (5.23) n | n = 1 f¨ur c

_n

= 1/ √

n!

√ 1

n + 1 a

^†

| n = | n + 1 1

√ n a | n = | n − 1 (5.24)

5 28.10.02

5.3 Phononen im Kristall

Mehratomiger Kristall:

i : Zelle µ : Atom in Zelle α : Raumrichtung Ortskoordinaten:

X

^µi

α

= R

ⁱ

α

+ s

^µ

α

+ u

^µi

α

(5.25)

Impulse: p

^µi

α

s^µµµµ Rⁱ

Hamiltonoperator:

H

_ph

=

i,µ,α

p

^µi

α

₂

2m

_µ

+ W X

^µi

α

(5.26)

Harmonische N¨aherung:

W X

^µi

α

≈ W

₀

+

¹₂

i,j

µ,ν

αβ

Φ

^{µνi j}

αβ

u

^µi

α

u

^jν

β

(5.27)

Translationsinvariante Kr¨afte: W X

^µi

α

= W X

^µi

α

+ ¯ u

_α

. Entwicklung in erster Ordnung in u ¯

1 2

i,j

µ,ν

αβ

Φ

^{µνi j}

αβ

u

^µi

α

u ¯

_β

= 0

j,ν

Φ

^{µνi j}

αβ

= 0 (5.28)

Vertauschungsrelation:

p

^µi

α

, u

^νj

β

= − i ¯ h δ

_i,j

δ

_µ,ν

δ

_α,β

p

^µi

α

, p

^jν

β

= 0 u

^µi

α

, u

^jν

β

= 0 (5.29)

1. kanonische Transformation (nur f¨ur mehratomige Gitter notwendig) π

^µi

α

=

√m¹µ

p

^µi

α

ξ

^µi

α

= √ m

_µ

u

^µi

α

Ψ

^{µνi j}

αβ

=

√m¹µmν

Φ

^{µνi j}

αβ

(5.30)

π

^µi

α

, ξ

^νj

β

= − i ¯ h δ

_i,j

δ

_µ,ν

δ

_α,β

· · · (5.31) Hamiltonoperator (mit W

₀

= 0)

H

_ph

=

¹₂

i,µ,α

π

^µi

α

₂

+

¹₂

i,j

µ,ν

αβ

Ψ

^{µνi j}

αβ

ξ

^µi

α

ξ

^νj

β

(5.32)

2. kanonische Transformation

Betrachte einen Kristall mit N = L

³

Elementarzellen (periodische Randbedingungen).

M¨ogliche Wellenvektoren (n

_a

ganzzahlig):

k =

α

n

_α

L b

α

n

_α

= −

¹₂

L · · ·

¹₂

L (5.33) Kanonische Transformation

π(k, λ) =

√¹ N

i,µ,α

η

_α^µ

(k, λ) e

^{ik Ri}

π

^µi

α

ξ(k, λ) =

√¹ N

i,µ,α

η

_α^µ

(k, λ) e

^{ik Ri}

ξ

^µi

α

(5.34) Mit λ = 1 · · · 3z f¨ur einen Kristall mit z Atomen in der Elementarzelle (µ = 1 · · · z) und unit¨arem η

^µ_α

(k, λ)

µ,α

η

^µ_α

(k, λ)

^∗

η

_α^µ

(k, λ

) = δ

λ,λ

(5.35) Vertauschungsrelation:

π

^†

( k, λ), ξ(k

, λ

) = − i¯ h δ

_k,k

δ

_λ,λ

· · · (5.36) Mit

π

^µi

α

=

^√1

N

k,λ

η

^µ_α

(k, λ)

^∗

e

^−ik·Ri

π(k, λ) ξ

^µi

α

=

^√1

N

k,λ

η

^µ_α

(k, λ)

^∗

e

^−ik·Ri

ξ(k, λ) (5.37)

Hamiltonoperator

H

_ph

=

¹₂

k,λ

π

^†

(k, λ)π(k, λ) +

¹₂

k,λ,λ

µ,ν,α,β

D

^{µ ν}_{α β}

(k)η

^µ_α

(k, λ) η

_α^ν

(k, λ

)

^∗

ξ

^†

( k, λ) ξ( k, λ

) (5.38) mit “dynamischer Matrix”

D

^{µ ν}_{α β}

(k) =

_N¹

i,j

e

^{ik·(Ri−Rj)}

Ψ

^{µνi j}

αβ

(5.39)

Eigenwertgleichung:

ν,β

D

_{α β}^{µ ν}

(k) η

_β^ν

(k, λ) = ω

²

(k, λ) η

_α^µ

(k, λ) (5.40) Damit

H

_ph

=

¹₂

k,λ

π

^†

(k, λ)π(k, λ) + ω

²

(k, λ)ξ

^†

(k, λ)ξ(k, λ) (5.41) Der Hamiltonoperator ist eine Summe aus zN unabh¨angigen harmonischen Oszillatoren.

Phononen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren:

a

^†

(k, λ) =

ω(k,λ)

2¯h

ξ

^†

(k, λ) + √ i

2¯hω(k,λ)

π

^†

(k, λ) a(k, λ) =

ω(k,λ)

2¯h

ξ(k, λ) − √ i

2¯hω(k,λ)

π(k, λ) (5.42) Hamiltonoperator

H

_ph

=

k,λ

¯ hω(k, λ) a

^†

(k, λ) a(k, λ) +

¹₂

(5.43) Grundzustand: a(k, λ) | 0 = 0

Angeregte Zust¨ande sind durch Besetzungszahlen n(k, λ) charakterisiert

|{ n } =

k,λ

1

n(k, λ)!

a

^†

(k, λ)

^n(k,λ)

| 0 (5.44)

H

_ph

|{ n } =

k,λ

¯ hω(k, λ) n(k, λ) +

¹₂

|{ n } (5.45) Die Besetzungszahldarstellung, i.e. die Angabe mit wieviel Quanten jeder m¨ogliche Zustand besetzt ist, ist eine Darstellung der Quantenmechanik, die f¨ur Vielteilchensysteme (oder auch Quantenfeldtheorien) besonders geeignet ist.

6 30.10.02

5.4 Lineare Kette

Einatomige lineare Kette

Φ

^i,i

= 2Φ Φ

^i,i±1

= − Φ Φ

^i,j

= 0 f¨ur | i − j | ≥ 2 (5.46) Dynamische Matrix (5.39): Gitterkonstante a: R

ⁱ

= i a

D(k) = ω

²

(k) = 1 m

j

e

^{i k(Ri−Rj)}

Φ

^ij

= 2Φ m

1 − cos(ka) (5.47)

Brillouin-Zone: | k | ≤

^π_a

ω(k) =

(1 − cos(ka))Φ/2m

= 2

Φ/m sin(

¹₂

ka) (5.48)

^k

ππππ a

ππππ

0 a

ωωω ω (k)

Zweiatomige lineare Kette

a

1 2 Φ

^{1,i, i2}

= Φ

^{i, i2,1+ 1}

= − Φ

Φ

^{1,i, i1}

= Φ

^{2,2i, i}

= 2 Φ (5.49)

Ψ

^{1,1i, i}

= 2Φ m

1

Ψ

^{2,i, i2}

= 2Φ m

2

Ψ

^{1,i, i2}

= Ψ

^{i, i2,+ 11}

= − Φ

√ m

1

m

2

(5.50) Dynamische Matrix:

D

^{µ, ν}

(k) = 1 N

i,j

e

^{i k(Ri−Rj)}

Ψ

^{µ, νi, j}

(5.51)

D(k) =



 



2Φ

m1

{ 1 + e

^{i k a}

}

^√_m⁻₁^Φ_m1

{ 1 + e

^{−i k a}

}

^√_m⁻₁^Φ_{m1 m}^2Φ₂



 

 (5.52)

Eigenwertgleichung: D(k) − ω

²

(k) = 0 ω

²

(k) = Φ

m

₁

+ m

₂

m

₁

m

₂

±

m

₁

− m

₂

m

₁

m

₂

₂

+ 4 cos

²

(

¹₂

k a) m

₁

m

₂

(5.53)

k

ππππ a

ππππ

0

a

ωω ω ω

(k)

optisch

akustisch

5.5 Langwelliger Grenzfall, Schall

Einatomiger Kristall mit Inversionssymmetrie:

D

_α,β

(k) = 1 m

j(=i)

e

^{−i k·Ri,j}

− 1 Φ

^i,j_α,β

= 1 m

j(=i)

i

γ

k _✏✏

_γ

R ^✏✏

^i,j_γ ⁰

−

¹₂

γ δ

k

_γ

k

_δ

R

^i,j_γ

R

^i,j_δ

Φ

^i,j_α,β

+ O (k

⁴

)

= 1 m

γ,δ

Z

_α,β,γ,δ

k

_γ

k

_δ

(5.54)

mit R

^i,j

= R

ⁱ

− R

^j

. Der Beitrag linear in k verschwindet wegen R

^i,j

= − R

^i,−j

. Z

_α,β,γ,δ

= − 1

2m

j(=i)

Φ

^i,j_α,β

R

^i,j_γ

R

^i,j_δ

(5.55)

Schallgeschwindigkeit: ω(k, λ) = c( n

_k

,

_λ

) | k | mit n

_k

= k/ | k | . Eigenwertgleichung:

β

1 m

γδ

Z

αβ γδ

n

γ

n

δ

η

β

( n, λ) = c

²

( n, λ) η

α

( n, λ) (5.56)

Symmetrie:

Z

_α,β,γ,δ

= Z

_β,α,γ,δ

= Z

_α,β,δ,γ

= Z

_β,α,δ,γ

(5.57)

Rotationsinvarianz: Betrachte Auslenkungen u

ⁱ_α

=

γ

η

_α,γ

+ ω

_α,γ

R

^ij_γ

(5.58)

mit “Verzerrung” η

_α,γ

= η

_γ,α

und “infinitesimalen Rotation” ω

_α,γ

= − ω

_γ,α

. Die potentielle Energie darf nur von η und nicht von ω abh¨angen, also z.B.

j(=i)

α,β,γ,δ

Φ

^i,j_α,β

R

^ij_γ

R

^ij_δ

ω

α,γ

η

β,δ

= 0 (5.59) Daraus folgt als weitere Symmetrie

Z

_α,β,γ,δ

= Z

_γ,β,α,δ

= Z

_α,δ,γ,β

= Z

_γ,δ,α,β

(5.60) Weitere Einschr¨ankungen folgen aus Kristallsymmetrien (Spiegelungen, Drehungen um 2π/n f¨ur Drehung um eine n-z¨ahlige Symmetrieachse).

Kubischer Kristall:

Z

₁₁₁₁

= Z

₂₂₂₂

= Z

₃₃₃₃

= Z

₁₁

Z

₁₁₂₂

= Z

₁₁₃₃

= Z

₂₂₁₁

= · · · = Z

₁₂

Z

₁₂₁₂

= Z

₁₂₂₁

= Z

₁₃₁₃

= · · · = Z

₄₄

Z

_αβγδ

= 0 sonst (5.61)

Dynamische Matrix D(k), Polarisationsvektoren η

_α

(k

λ) und Eigenwerte c

²

f¨ur k = (1, 0, 0) k

D(k) =



 

Z

₁₁

0 0 0 Z

₁₂

0 0 0 Z

12



 

( 1 0 0 ) ( 0 1 0 ) ( 0 0 1 )

Z

₁₁

/m Z

₁₂

/m Z

12

/m

L T T

(5.62)

f¨ur k = (1, 1, 0)/ √ 2 k



 

1

2

(Z

₁₁

+ Z

₁₂

) 0 0

0

¹₂

(Z

₁₁

+ Z

₁₂

) 0

0 0 Z

₁₂



 

( 1 1 0 )/ √ 2 ( 1 − 1 0 )/ √

2 ( 0 0 1 )

(Z

₁₁

+ Z

₁₂

+ 2Z

₄₄

)/2m (Z

₁₁

+ Z

₁₂

− 2Z

₄₄

)/2m

Z

₁₂

/m

L T T

(5.63)

f¨ur k = (1, 1, 1)/ √ 3 k



 

1

3

(Z

₁₁

+ 2Z

₁₂

)

²₃

Z

₄₄ ²₃

Z

₄₄

2

3

Z

₄₄ ¹₃

(Z

₁₁

+ 2Z

₁₂

)

²₃

Z

₄₄

2

3

Z

₄₄ ²₃

Z

₄₄ ¹₃

(Z

₁₁

+ 2Z

₁₂

)



 

( 1 1 1 )/ √ 3 ( 1 − 1 0 )/ √

2 ( 2 − 1 − 1 )/ √

6

(Z

₁₁

+ 2Z

₁₂

+ 2Z

₄₄

)/3m (Z

₁₁

+ 2Z

₁₂

− 2Z

₄₄

)/3m (Z

₁₁

+ 2Z

₁₂

− 2Z

₄₄

)/3m

L T T

(5.64)

Phononenspektrum

z.B. Argon (kubisch fl¨achenzentriert)

k 0 (1 0 0) (1 1 0) 0 (1 1 1)

ωωω ω(k)

κκκκ κκκκ κκκκ κκκκ οοοο οοοο

7 4.11.02

5.6 Inelastische Streuung von Neutronen oder γ-Quanten

ϑϑϑϑ

k

Quelle

k´

Detektor

E E´

Energie: Neutron Kristall

vor dem Stoß:

^¯h_2m^2k2n

E

nach dem Stoß:

^¯h_2m^2kn2

E