Festk¨orperphysik Prof. K. Ensslin HS 2007

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Festk¨ orperphysik Prof. K. Ensslin HS 2007

5. ¨ Ubungsblatt: L¨ osungen 31. Oktober/1. November 2007

Aufgabe 1: Ein Modell f¨ ur Gitterschwingungen: Phononen und Elastizit¨ at

1. Die Bewegungsgleichung f¨ ur die Atome in der Ebene n lautet M d

²

u

n

dt

²

= X

s

C

s

(u

n+s

+ u

n−s

− 2u

n

).

Dabei beschreibt u

n

(t) die Auslenkung der Atome in der Ebene n senkrecht zu dieser Ebene.

Einsetzen des angegebnen Ansatzes u

n

(t) = A exp [i (nka − ωt)] ergibt ω

²

= X

s

2C

s

M [1 − cos(ska)] = X

s

4C

s

M sin

²

(ska/2).

Die Dispersionsrelation lautet also

ω(k) = s

X

s

4C

s

M sin

²

(ska/2).

2. • F¨ ur die Dispersionsrelation folgt aus Teilaufgabe 1:

ω = r 4C

M |sin(ka/2)| . F¨ ur k → 0 ist die Dispersion linear, d.h. ω = p

C/M ka. Die Steigung ist die Schallgeschwindigkeit c = p

Ca

²

/M.

• F¨ ur k → ±π/a (Rand der ersten Brillouin-Zone) ergeben sich die Amplituden u

n

= A(−1)

ⁿ

exp(−iωt).

Benachbarte Ebenen schwingen also genau gegenphasig, es handelt sich um eine stehende Welle. Die Steigung der Dispersion (=Gruppengeschwindigkeit) ist Null.

• Es soll gelten:

A exp [i(0 · ka − ωt)] = A exp {i [N ka − ωt]} .

Daraus ergibt sich 1 = exp [iN ka], d.h. N ka = 2π · p, wobei p eine ganze Zahl ist, oder k

_p

= 2π

N a · p .

• Es gilt exp [(in(k

⁰

− 2π/a)a] = exp(ink

⁰

a). Der Wellenvektor k = k

⁰

− 2π/a mit der Eigenschaft

−π/a < k < π/a beschreibt also genau die gleichen Auslenkungen wie der Wellenvektor k

⁰

. Damit ist die zweite Brillouin-Zone auf die erste ”zur¨ uckgefaltet”. Gleiches gilt f¨ ur die h¨ oheren Brillouin- Zonen.

• Aus −π/a < k

p

= 2π/(N a) · p ≤ π/a ergibt sich −N/2 < p ≤ N/2. F¨ ur N Ebenen gibt es also N Moden. Die nachstehende Abbildung zeigt das Auff¨ ullen der diskreten Dispersion mit zunehmender Anzahl Gitterebenen.

3 2 1 0 1 2 3

0 0.5 1 1.5 2

3 2 1 0 1 2 3

0 0.5 1 1.5 2

3 2 1 0 1 2 3

0 0.5 1 1.5 2

N=3

N=10

N=30

a=1, C =1, M=1

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3. Das Quadrat der Dispersion ist eine gerade Funktion mit Periode 2π/a. Um die Fourierkoeffizienten zu erhalten, multipliziert man auf beiden Seiten mit cos(nka) und integriert ¨ uber die erste Brillouin-Zone:

Z

π/a

−π/a

dkω

²

(k) cos(nka) = Z

π/a

−π/a

dk X

s

2C

s

M [1 − cos(ska)] cos(nka)

= − 2πC

n

M a .

Daraus folgt:

C

n

= − M a 2π

Z

π/a

−π/a

dkω

²

(k) cos(nka).

4. Taylorentwicklung ergibt:

u

n+s

− 2u

n

+ u

_n−s

= ∂

²

u(x

n

, t)

∂x

²

· s

²

a

²

. Damit lautet die Bewegungsgleichung:

1 c

²

∂

²

u(x, t)

∂t

²

= ∂

²

u(x, t)

∂x

²

, mit

c

²

= a

²

M

X

s

C

s

²

. In der Kontinuumsmechanik gilt der Zusammenhang

c = s

E ρ ,

wobei ρ die Massendichte und E das Elastizit¨ atsmodul des Materials ist. Daraus ergibt sich

E = ρc

²

= ρa

²

M

X

s

C

s

²

.

5. In der kubischen Einheitszelle befinden sich vier Ga und vier As Atome. Unter der Annahme, dass nur benachbarte Ebenen wechselwirken (C

s

= 0 f¨ ur s > 1), ergibt sich aus Teilaufgabe 4:

C

₁

= M c

²

a

²

.

Der Abstand der Ebenen a im fcc-Gitter ist die halbe Gitterkonstante, die Masse M ist die Summe der Massen von Ga und As. Es folgt

C

₁